2026届浙江诸暨中学高二数学第一学期期末调研试题含解析.doc

2026届浙江诸暨中学高二数学第一学期期末调研试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是.

A.90 B.75
C.60 D.45
2．已知为坐标原点，向量，点，.若点在直线上，且，则点的坐标为（）.
A. B.
C. D.
3．设是等差数列的前项和，已知，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
4．如图，已知、分别是椭圆的左、右焦点，点、在椭圆上，四边形是梯形，，且，则的面积为（）

A. B.
C. D.
5．若倾斜角为的直线过，两点，则实数（ ）
A. B.
C. D.
6．已知数列满足，（且），若恒成立，则M的最小值是（）
A.2 B.
C. D.3
7．若是函数的一个极值点，则的极大值为（ ）
A. B.
C. D.
8．已知直线，，若，则实数的值是（ ）
A.0 B.2或-1
C.0或-3 D.-3
9．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点坐标为，则的最大值为（）
A. B.13
C.3 D.5
10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作直线交双曲线的右支于A，B两点.若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
11．正数a,b满足,若不等式对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是
A. B.
C. D.
12．设、是向量，命题“若，则”的逆否命题是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线在点处的切线方程为_______.
14．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为正三角形，分别是的中点，，则球的体积为_________________
15．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是______.
16．一条光线从点射出，经x轴反射，其反射光线所在直线与圆相切，则反射光线所在的直线方程为____.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数在处有极值，且其图象经过点.
（1）求的解析式；
（2）求在的最值.
18．（12分）已知圆与
（1）过点作直线与圆相切，求的方程；
（2）若圆与圆相交于、两点，求的长
19．（12分）双曲线的离心率为2，经过C的焦点垂直于x轴的直线被C所截得的弦长为12.
（1）求C的方程；
（2）设A，B是C上两点，线段AB的中点为，求直线AB的方程.
20．（12分）已知直线l过点A（﹣3，1），且与直线4x﹣3y+t＝0垂直
（1）求直线l的一般式方程；
（2）若直线l与圆C：x2+y2＝m相交于点P，Q，且|PQ|＝8，求圆C的方程
21．（12分）数列{}的首项为，且
（1）证明数列为等比数列，并求数列{}的通项公式；
（2）若，求数列{}的前n项和
22．（10分）如图，底面是矩形的直棱柱中，；

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的大小；
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】样本中产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.3，频数为36，
∴样本总数为.
∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，
∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数为120×0.75＝90.
考点：频率分布直方图.
2、A
【解析】由在直线上，设，再利用向量垂直，可得，进而可求E点坐标.
【详解】因为在直线上，故存在实数使得，
.若，则，所以，解得，
因此点的坐标为.
故选：A.
【定睛】本题考查了空间向量的共线和数量积运算，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.
3、C
【解析】依题意有，解得，所以.
考点：等差数列的基本概念.
【易错点晴】本题主要考查等差数列的基本概念.在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算
4、A
【解析】设点关于原点的对称点为点，连接、，分析可知、、三点共线，设点、，设直线的方程为，分析可知，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出的值，可得出的值，再利用三角形的面积公式可求得结果.
【详解】设点关于原点的对称点为点，连接、，如下图所示：

因为为、的中点，则四边形为平行四边形，可得且，
因为，故、、三点共线，设、，
易知点，，，
由题意可知，，可得，
若直线与轴重合，设，，则，不合乎题意；
设直线的方程为，联立，可得，
由韦达定理可得，得，
，则，可得，故，
因此，.
故选：A.
5、C
【解析】根据直线的倾斜角和斜率的关系得到直线的斜率为，再根据两点的斜率公式计算可得；
【详解】解：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，所以，解得；
故选：C
6、C
【解析】根据，（且），利用累加法求得，再根据恒成立求解.
【详解】因为数列满足，，（且）
所以，
，
，
，
因为恒成立，
所以，则M的最小值是，
故选：C
7、D
【解析】先对函数求导，由已知，先求出，再令，并判断函数在其左右两边的单调性，从而确定极大值点，然后带入原函数即可完成求解.
【详解】因为，，所以，
所以，，
令，解得或，
所以当，，单调递增；
时，，单调递减；
当，，单调递增，
所以的极大值为
故选：D
8、C
【解析】由，结合两直线一般式有列方程求解即可.
【详解】由知：,解得：或
故选：C .
9、B
【解析】利用椭圆的定义求解.
【详解】如图所示：

，
故选：B
10、A
【解析】根据给定条件结合双曲线定义求出，，再借助余弦定理求出半焦距c即可计算作答.
【详解】因，令，，而双曲线实半轴长，
由双曲线定义知，，
而，于是可得，在等腰中，，
令双曲线半焦距为c，在中，由余弦定理得：，
而，，，解得，
所以双曲线的离心率为.
故选：A
【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率的方法：
(1)定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率 ；
(2)齐次式法：由已知条件得出关于 的二元齐次方程，然后转化为关于 的一元二次方程求解；
(3)特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
11、A
【解析】利用基本不等式求得的最小值，把问题转化为恒成立的类型，求解的最大值即可.
【详解】,
，且a,b为正数，
，
当且仅当，即时，，
若不等式对任意实数x恒成立，
则对任意实数x恒成立，
即对任意实数x恒成立，
，
，
故选：A
【点睛】本题主要考查了恒成立问题，基本不等式求最值，二次函数求最值，属于中档题.
12、C
【解析】利用原命题与逆否命题之间的关系可得结论.
【详解】由原命题与逆否命题之间的关系可知，命题“若，则”的逆否命题是“若，则”.
故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、.
【解析】由求导公式求出导数，再把代入求出切线的斜率，代入点式方程化为一般式即可.
【详解】由题意得，
∴在点处的切线的斜率是，
则在点处的切线方程是，
即.
【点睛】本题考查导数的几何意义.注意区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”，前者“某点”是切点，后者“某点”不一定是切点.
14、
【解析】由已知设出，，，分别在中和在中运用余弦定理表示，得到关于x与y的关系式，再在中运用勾股定理得到关于x与y的又一关系式，联立可解得x，y，从而分析出正三棱锥是，，两两垂直的正三棱锥，所以三棱锥的外接球就是以为棱的正方体的外接球，再通过正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线的长求出球的半径，再求出球的体积.
【详解】在中，设，，，,，
因为点，点分别是，的中点，所以，，
在中，，在中，，
整理得，
因为是边长为的正三角形，所以，
又因为，所以，由，解得，
所以
又因为是边长为的正三角形，所以，所以，
所以，，两两垂直，
则球为以为棱的正方体的外接球，
则外接球直径为，
所以球的体积为,
故答案为.

【点睛】本题主要考查空间几何体的外接球的体积，破解关键在于熟悉正三棱锥的结构特征，运用解三角形的正弦定理和余弦定理得出三棱锥的棱的关系，继而分析出正三棱锥的外接球是以正三棱锥中互相垂直的三条棱为棱的正方体的外接球，利用正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线的长求解更方便快捷，属于中档题
15、
【解析】化简椭圆的方程为标准形式，列出不等式，即可求解.
【详解】由题意，方程可化为，
因为方程表示焦点在轴上的椭圆，可得，解得，
实数的取值范围是.
故答案为：.
16、或
【解析】点关于轴的对称点为,即反射光线过点,分别讨论反射光线的斜率存在与不存在的情况,进而求解即可
【详解】点关于轴的对称点为,
（1）设反射光线的斜率为,则反射光线的方程为,即,
因为反射光线与圆相切,
所以圆心到反射光线的距离,即,
解得,
所以反射光线方程为:；
（2）当不存在时,反射光线,此时,也与圆相切,
故答案为: 或
【点睛】本题考查直线在光学中的应用,考查圆的切线方程

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2），
【解析】（1）由与解方程组即可得解；
（2）求导后得到函数的单调区间与极值后，比较端点值即可得解.
【详解】（1）求导得，处有极值，即，
又 图象过点，代入可得.
.
（2）由（1）知，令得
又 ，.
列表如下：

0

2

3

0
+

4
↘
极小值
↗
1
在时，，.
【点睛】本题考查了导数的简单应用，属于基础题.
18、（1）或
（2）
【解析】（1）根据已知可得圆心与半径，再利用几何法可得切线方程；
（2）联立两圆方程可得公共弦方程，进而可得弦长.
【小问1详解】
解：圆的方程可化为：，即：圆的圆心为，半径为
若直线的斜率不存在，方程为：，与圆相切，满足条件
若直线的斜率存在，设斜率为，方程为：，即：
由与圆相切可得：，解得：
所以的方程为：，即：
综上可得的方程为：或
【小问2详解】
联立两圆方程得：，
消去二次项得所在直线的方程：，
圆的圆心到的距离，
所以.
19、（1）
（2）
【解析】（1）根据已知条件求得，由此求得的方程.
（2）结合点差法求得直线的斜率，从而求得直线的方程.
【小问1详解】
因为C的离心率为2，所以，
可得.将代入
可得，由题设.解得，
，，
所以C的方程为.
【小问2详解】
设，，则，.
因此，即.
因为线段AB的中点为，所以，
，从而，于是直线AB的方程是.
20、（1）3x+4y+5＝0
（2）x2+y2＝17
【解析】（1）由垂直关系得过直线l斜率，由点斜式化简即可求解l的一般式方程；
（2）结合勾股定理建立弦心距（由点到直线距离公式求解），半弦长，圆半径的基本关系，解出，即可求解圆C的方程
【小问1详解】
因为直线l与直线4x﹣3y+t＝0垂直，所以直线l的斜率为，
故直线l的方程为，即3x+4y+5＝0，
因此直线l的一般式方程为3x+4y+5＝0；
【小问2详解】
圆C：x2+y2＝m的圆心为（0，0），半径为，
圆心（0，0）到直线l的距离为，
则半径满足m＝42+12＝17，即m＝17，所以圆C：x2+y2＝17
21、（1）证明见解析，；
（2）.
【解析】(1)利用给定的递推公式变形，再利用等比数列定义直接判断并求出通项得解.
(2)由(1)的结论求出，再利用裂项相消法计算作答.
【小问1详解】
数列{}中，，则，由得：，
所以数列是首项为3，公比为2的等比数列，
则有，即，
所以数列{}的通项公式是.
【小问2详解】
由(1)知，，，
则，
所以数列{}的前n项和.
22、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）通过证明和可得答案；
（2）连接，则为直线与平面所成角的平面角，在直角三角形中计算即可.
【小问1详解】
棱柱为直棱柱，
面，又面
，
又直棱柱的底面是矩形，
，又，平面，平面，
平面；
【小问2详解】
连接，
面，
则为直线与平面所成角的平面角

在直角三角形中，
则，，
所以直线与平面所成角的大小为.