安徽省合肥六中、合肥八中、阜阳一中、淮北一中四校2025年数学高二上期末学业质量监测试题含解析.doc

安徽省合肥六中、合肥八中、阜阳一中、淮北一中四校2025年数学高二上期末学业质量监测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．箱子中有5件产品，其中有2件次品，从中随机抽取2件产品，设事件=“至少有一件次品”，则的对立事件为（ ）
A.至多两件次品 B.至多一件次品
C.没有次品 D.至少一件次品
2．已知等差数列的前n项和为，公差，若（，），则（ ）
A.2023 B.2022
C.2021 D.2020
3．已知等比数列，且，则 （ ）
A.16 B.32
C.24 D.64
4．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线过且与椭圆相交于不同的两点，、不在轴上，那么△的周长（）
A.是定值
B.是定值
C.不是定值，与直线的倾斜角大小有关
D.不是定值，与取值大小有关
5．已知等比数列{an}中，，，则（ ）
A. B.1
C. D.4
6．若点在椭圆的外部，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
7．甲，乙、丙、丁、戊共5人随机地排成一行，则甲、乙相邻，丙、丁不相邻的概率为（）
A. B.
C. D.
8．在等差数列{an}中，a1=1，，则a7=（）
A.13 B.14
C.15 D.16
9．已知直线与直线，若，则（）
A.6 B.
C.2 D.
10．在棱长为1的正方体中，点，分别是，的中点，点是棱上的点且满足，则两异面直线，所成角的余弦值是（）
A. B.
C. D.
11．阿基米德（公元前287年～公元前212年）不仅是著名物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到的椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为（ ）
A B.
C. D.
12．已知函数的导函数为，若的图象如图所示，则函数的图象可能是（）

A B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知正数满足，则的最小值是__________.
14．已知函数 f (x) = x3－3x2 +2 ，则函数 f (x) 的极大值为______
15．已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为________.
16．已知双曲线的左，右焦点分别为，，右焦点到一条渐近线的距离是，则其离心率的值是______；若点P是双曲线C上一点，满足，，则双曲线C的方程为______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知在数列中，，且.
（1）求，，并证明数列是等比数列；
（2）求的通项公式及前n项和.
18．（12分）某车间打算购买2台设备，该设备有一个易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个100元.在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件，价格为每个300元.在使用期间，每台设备需要更换的零件个数的分布列为

5
6
7

.

表示2台设备使用期间需更换的零件数，代表购买2台设备的同时购买易损零件的个数.
（1）求的分布列；
（2）以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，试问在和中，应选哪一个？
19．（12分）设数列的前项和，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列前项和，求使成立的的最小值
20．（12分）平行六面体，

（1）若，，，，，，求长；
（2）若以顶点A为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是60°，则AC与所成角的余弦值
21．（12分）已知的三个顶点是，，
（1）求边所在的直线方程；
（2）求经过边的中点，且与边平行的直线的方程
22．（10分）已知双曲线C：（，）的一条渐近线的方程为，双曲线C的右焦点为，双曲线C的左、右顶点分别为A，B
（1）求双曲线C的方程；
（2）过右焦点F的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点（点P在x轴的上方），直线AP的斜率为，直线BQ的斜率为，证明：为定值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】利用对立事件的定义，分析即得解
【详解】箱子中有5件产品，其中有2件次品，从中随机抽取2件产品，可能出现：“两件次品”，“一件次品，一件正品”，“两件正品”三种情况
根据对立事件的定义，事件=“至少有一件次品”
其对立事件为：“两件正品”，即”没有次品“
故选：C
2、C
【解析】根据题意令可得，结合等差数列前n项和公式写出，进而得到关于的方程，解方程即可.
【详解】因为，令，得，
又，，
所以，有，
解得.
故选：C
3、A
【解析】由等比数列的定义先求出公比，然后可解..
【详解】，得

故选：A
4、B
【解析】由直线过且与椭圆相交于不同的两点，，且，为椭圆两焦点，根据椭圆的定义即可得△的周长为，则答案可求
【详解】椭圆，
椭圆的长轴长为，
∴△的周长为
故选：B
5、D
【解析】设公比为，然后由已知条件结合等比数列的通项公式列方程求出，从而可求出，
【详解】设公比为，因为等比数列{an}中，，，
所以，
所以，解得，
所以，得
故选：D
6、B
【解析】根据题中条件，得到，求解，即可得出结果.
【详解】因为点在椭圆的外部，
所以，即，解得或.
故选：B.
7、A
【解析】先求出所有的基本事件，再求出甲、乙相邻，丙、丁不相邻的基本事件，根据古典概型的概率公式求解即可
【详解】甲，乙、丙、丁、戊共5人随机地排成一行有种方法，
甲、乙相邻，丙、丁不相邻的排法为先将甲、乙捆绑在一起，再与戊进行排列，然后丙、丁从3个空中选2个空插入，则共有种方法，
所以甲、乙相邻，丙、丁不相邻的概率为，
故选：A
8、A
【解析】利用等差数列的基本量，即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，，解得：，
则.
故选：A
9、A
【解析】根据两直线垂直的充要条件得到方程，解得即可；
【详解】解：因为直线与直线，且，所以，解得；
故选：A
10、A
【解析】建立空间直角坐标系，写出点、、、和向量的、坐标，运用求异面直线余弦值的公式即可求出.
【详解】解：以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标第,

则，，，，
故,,
，
故两异面直线，所成角的余弦值是.
故选：A.
【点睛】本题考查求异面直线所成角的余弦值，属于中档题.
11、C
【解析】由题意，设出椭圆的标准方程为，然后根据椭圆的离心率以及椭圆面积列出关于的方程组，求解方程组即可得答案
【详解】由题意，设椭圆的方程为，
由椭圆的离心率为，面积为，
∴，解得，
∴椭圆的方程为，
故选：C.
12、D
【解析】根据导函数大于，原函数单调递增；导函数小于，原函数单调递减；即可得出正确答案.
【详解】由导函数得图象可得：时，，所以在单调递减，
排除选项A、B，
当时，先正后负，所以在先增后减，
因选项C是先减后增再减，故排除选项C，
故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、8
【解析】利用“1”代换，结合基本不等式求解.
【详解】因为，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以当时，取得最小值8.
故答案为：8.
14、2
【解析】利用导数研究函数的单调区间，从而得到极大值.
【详解】，
令，解得：，

0

0

极大值

极小值

所以当时，函数取得极大值，即函数的极大值为.
故答案为：
15、.
【解析】设事件：第1次抽到代数题，事件：第2次抽到几何题，求得,结合条件概率的计算公式，即可求解.
【详解】由题意，从5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出不再放回，
设事件：第1次抽到代数题，事件：第2次抽到几何题，
则，，
所以在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为:
.
故答案为：.
16、 ①.##1.5 ②.
【解析】求得焦点到渐近线的距离可得，计算即可求得离心率，由双曲线的定义可求得，计算即可得出结果.
【详解】双曲线的渐近线方程为，即，
焦点到渐近线的距离为，
又，，
，，.
双曲线上任意一点到两焦点距离之差的绝对值为，即，
，
即，解得：，由，解得：,.
双曲线C的方程为.
故答案为：；.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），，证明见解析
（2），
【解析】（1）根据递推关系求出，，对递推公式变形，即可得证；
（2）结合（1）求得通项公式，分组求和.
【小问1详解】
因为，且
所以，，
∵，∴，
∵，∴，且，
∴数列是等比数列.
【小问2详解】
由（1）可知是以为首项，以3为公比的等比数列，
即，即；

.
18、（1）答案见解析；
（2）应选择.
【解析】(1)由每台设备需更换零件个数的分布列求出的所有可能值，并求出对应的概率即可得解.
(2)分别求出和时购买零件所需费用的期望，比较大小即可作答.
【小问1详解】
的可能取值为10，11，12，13，14，
，，
，，
，
则的分布列为：

10
11
12
13
14

0.09
0.3
0.37
0.2
0.04
【小问2详解】记为当时购买零件所需费用，
，，
，，
元，
记为当时购买零件所需费用，
，，
，
元，显然，
所以应选择.
19、 (1).(2)10.
【解析】（1）借助于将转化为，进而得到数列为等比数列，通过首项和公比求得通项公式；（2）整理数列的通项公式，可知数列为等比数列，求得前n项和，代入不等式可求得n的最小值
试题解析：（1）由已知，有，
即
从而
又因为成等差数列，即
所以，解得
所以，数列是首项为2，公比为2的等比数列
故
（2）由（1）得．所以
由，得，即
因为，
所以．于是，使成立的n的最小值为10
考点：1．数列通项公式；2．等比数列求和
20、（1）；
（2）.
【解析】(1)由，可得，再利用数量积运算性质即可得出；
(2)以为一组基底，设与所成的角为，由求解.
【小问1详解】
，，，
，
∴
，
；
【小问2详解】
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵＝8，∴，
设与所成的角为，则.
21、（1）
（2）
【解析】（1）利用直线方程的两点式求解；
（2）先求得AB的中点，再根据直线与AC平行，利用点斜式求解.
【小问1详解】
因为，，
所以边所在的直线方程为，
即；
【小问2详解】
因为，，
所以AB的中点为：，
又，
所以直线方程为：，
即.
22、（1）；
（2）证明见解析.
【解析】（1）由题可得，，即求；
（2）由题可设直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理法即证
【小问1详解】
由题意可知在双曲线C中，，，，
解得
所以双曲线C的方程为；
【小问2详解】
证法一：由题可知，
设直线，，，
由，得，
则，，
∴，，

；
当直线的斜率不存在时，，此时.
综上，为定值
证法二：设直线PQ方程为，，，
联立得整理得，
由过右焦点F的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点，
则解得，
，，，
由双曲线方程可得，，，，
∵，∴，，

证法三：设直线PQ方程为，，，
联立得整理得，
由过右焦点F的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点，
则解得，
∴，，由双曲线方程可得，，
则，
所以，，

，
∴为定值