四川省成都龙泉第二中学2025年数学高一第一学期期末联考试题含解析.doc

四川省成都龙泉第二中学2025年数学高一第一学期期末联考试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数，当时．方程表示的直线是（）
A. B.
C. D.
2．已知函数，若不等式对任意实数x恒成立，则a的取值范围为（）
A. B.
C. D.
3．已知是锐角三角形，，，则
A. B.
C. D.与的大小不能确定
4．化简：
A.1 B.
C. D.2
5．已知，则“”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6．已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩图是
A. B.
C. D.
7．若，且为第二象限角，则（）
A. B.
C. D.
8．用二分法求函数零点时,用计算器得到下表：

1.00
1.25
1.375
1.50

1.0794
0.1918
-0.3604
-0.9989
则由表中数据,可得到函数的一个零点的近似值（精确度为0.1）为
A.1.125 B.1.3125
C.1.4375 D.1.46875
9．的值为（）
A. B.
C. D.
10．在内，不等式解集是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知正数x，y满足，则的最小值为_________
12．已知函数，则=_________
13．已知的图象的对称轴为_________________
14．函数 (a>0且a≠1)的图象恒过点定，若角终边经过点，则___________.
15．定义在上的偶函数满足：当时，，则______
16．已知，若Î，使得，若的最大值为M，最小值为N，则___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知，，
（）求及
（）若的最小值是，求的值
18．已知关于的函数.
（1）若函数是偶函数，求实数的值；
（2）当时，对任意，记的最小值为，的最大值为，且，求实数的值.
19．已知.
（1）求函数的最小正周期及单调增区间；
（2）若，，求的值.
20．已知函数，（a为常数，且），若
（1）求a的值；
（2）解不等式
21．已知函数，且
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断f（x）在区间（0，1）上的单调性，并用定义法证明
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】先利用对数函数的性质得到所以，再利用直线的斜率和截距判断.
【详解】因为时，，
所以
则直线的斜率为，
在轴上的截距
故选：C
2、C
【解析】先分析出的奇偶性，再得出的单调性，由单调性结合奇偶性解不等式得到，再利用均值不等式可得答案.
【详解】的定义域满足，由，
所以在上恒成立.所以的定义域为

则

所以，即为奇函数.
设，由上可知为奇函数.
当时，，均为增函数，则在上为增函数.
所以在上为增函数.
又为奇函数，则在上为增函数，且
所以在上为增函数.
所以在上为增函数.
由，即
所以对任意实数x恒成立
即，由
当且仅当，即时得到等号.
所以
故选：C
3、A
【解析】分析：利用作差法，根据“拆角”技巧，由三角函数的性质可得.
详解：将，
代入，，
可得，
，
由于是锐角三角形，
所以，
，
，，
所以，
，
综上，知．故选A
点睛：本题主要考查三角函数的性质，两角和与差的三角函数以及作差法比较大小，意在考查学生灵活运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.解答本题的关键是运用好“拆角”技巧.
4、C
【解析】根据二倍角公式以及两角差的余弦公式进行化简即可.
【详解】原式

.
故选C.
【点睛】这个题目考查了二倍角公式的应用，涉及两角差的余弦公式以及特殊角的三角函数值的应用属于基础题.
5、B
【解析】先由，得到，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.
【详解】由解得，所以由“”能推出“”，反之，不能推出；
因此“”是“”必要不充分条件.
故选：B.
【点睛】本题主要考查命题的必要不充分条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型.
6、B
【解析】∵集合
∴集合
∵集合
∴
故选B
7、A
【解析】由已知利用诱导公式求得，进一步求得，再利用三角函数的基本关系式，即可求解
【详解】由题意，得，
又由为第二象限角，所以，所以
故选：A.
8、B
【解析】
根据二分法的思想,确定函数零点所在区间,并确保精确度为0.1即可.
【详解】根据二分法的思想,因为,
故的零点在区间内,
但区间的长度为,不满足题意,
因而取区间的中点,
由表格知,
故的零点在区间内,
但区间的长度为,不满足题意,
因而取区间的中点,
可知区间和中必有一个存在的零点,
而区间长度为,
因此是一个近似解,
故选:B.
【点睛】本题考查二分法求零点问题,注意满足题意的区间要满足两个条件:①区间端点的函数值要异号;②区间长度要小于精确度0.1.
9、A
【解析】根据诱导公式以及倍角公式求解即可.
【详解】原式.
故选：A
10、C
【解析】根据正弦函数的图象和性质，即可得到结论
【详解】解：在[0，2π]内，

若sinx，则x，
即不等式的解集为（，），
故选：C
【点睛】本题主要考查利用三角函数的图象与性质解不等式，考查数形结合的思想，属于基础题

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、8
【解析】将等式转化为，再解不等式即可求解
【详解】由题意，正实数，
由（时等号成立），
所以，
所以，即，
解得（舍），，（取最小值）
所以的最小值为.
故答案为：
12、
【解析】按照解析式直接计算即可.
【详解】.
故答案为：-3.
13、
【解析】根据诱导公式可得，然后用二倍角公式化简，进而可求.
【详解】因为所以，故对称轴为.
故答案为:
14、
【解析】利用指数函数的性质得出定点，由任意角三角函数的定义得出三角函数值，结合诱导公式代入求值即可
【详解】，且

故答案为：
15、12
【解析】根据偶函数定义，结合时的函数解析式，代值计算即可.
【详解】因为是定义在上的偶函数，故可得，
又当时，，故可得，
综上所述：.
故答案为：.
16、
【解析】作出在上的图象，为的图象与直线y=m交点的横坐标，
利用数形结合思想即可求得M和N﹒
【详解】作出在上的图象（如图所示）

因为，，
所以当的图象与直线相交时，由函数图象可得，
设前三个交点横坐标依次为、、，此时和最小为N，
由，得，
则，，，；
当的图象与直线相交时，
设三个交点横坐标依次为、、，此时和最大为，
由，得，
则，，；
所以.
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】（1）利用平面向量的数量积公式、模长公式求解；
（2）将的值域，转化为关于的一元二次函数的值域，根据
【详解】(1)，
，

（2），,
，
，
当时，当且仅当时，取最小值，解得；
当时，当且仅当时，取最小值，解得（舍）；
当时，当且仅当时，取最小值，解得（舍去），
综上所述，.
【点睛】本题主要考查求平面向量的数量积，向量的模，以及由函数的最值求参数的问题，熟记平面向量数量积的坐标表示，向量模的坐标表示，以及三角函数的性质即可，属于常考题型.
18、 (1) (2)
【解析】（1）利用偶函数定义求出实数的值；（2）函数在上单调递减，明确函数的最值，得到实数的方程，解出实数的值.
试题解析：
（1）因为函数是偶函数，所以，即，所以.
（2）当时，函数在上单调递减，
所以，，
又，所以，即，
解得（舍），所以.
19、 (1)最小正周期，单调增区间为，；(2).
【解析】（1）将函数解析式化简为，可得周期为；将看作一个整体代入正弦函数的增区间可得函数的单调增区间为，.（2）由（1）可得，结合条件得到，进而可得，于是，，最后根据两角差的正弦公式可得结果
试题解析：
（1）

∴函数的最小正周期.
由，，
得，，
所以函数的单调增区间为，.
（2）由（1）得 ，
又，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴ .
点睛：
（1）解决三角函数问题时通常将所给的函数化简为的形式后，将看作一个整体，并结合正弦函数的相关性质求解．在解题中要注意整体代换思想的运用
（2）对于给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值的问题，解题关键在于“变角”，即用已知的角表示所求的角，使其角相同或具有某种关系
20、（1）3；（2）.
【解析】（1）由即得；
（2）利用指数函数单调性即求.
【小问1详解】
∵函数，，
∴，
∴.
小问2详解】
由（1）知，
由，得
∴，即，
∴解集为.
21、（1）（2）f（x）在（0，1）上单调递减，证明见解析.
【解析】（1）根据即可求出a＝b＝1，从而得出；
（2）容易判断f（x）在区间（0，1）上单调递减，根据减函数的定义证明：设x1，x2∈（0，1），并且x1＜x2，然后作差，通分，得出，根据x1，x2∈（0，1），且x1＜x2说明f（x1）＞f（x2）即可
【详解】解：（1）∵；
∴；
解得a=1，b=1；
∴；
（2）f（x）在区间（0，1）上单调递减，证明如下：
设x1，x2∈（0，1），且x1＜x2，则：
=；
∵x1，x2∈（0，1），且x1＜x2；
∴x1-x2＜0，，；
∴；
∴f（x1）＞f（x2）；
∴f（x）在（0，1）上单调递减
【点睛】本题考查减函数的定义，根据减函数的定义证明一个函数是减函数的方法和过程，清楚的单调性