2026届江西省奉新一中、南丰一中等六校数学高一上期末学业质量监测试题含解析.doc

2026届江西省奉新一中、南丰一中等六校数学高一上期末学业质量监测试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．主视图为矩形的几何体是（ ）
A. B.
C. D.
2．如果直线和 同时平行于直线x-2y+3=0，则a,b的值为
A.a= B.a=
C.a= D.a=
3．为空间中不重合的两条直线，为空间中不重合的两个平面，则
①若；②；
③；④
上述说法正确的是
A.①③ B.②③
C.①② D.③④
4．已知函数，若则a的值为(   )
A. B.
C.或 D.或
5．函数（，且）的图象恒过定点，且点在角的终边上，则（ ）
A. B.
C. D.
6．函数，的值域为（）
A. B.
C. D.
7．一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形的面积为，则原梯形的面积为(　　)

A.2 B.
C.2 D.4
8．
A. B.
C.1 D.
9．对任意正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
10．设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点.若函数是上的平均值函数，则实数的取值范围是____
12．已知函数（）的部分图象如图所示，则的解析式是___________.

13．圆的半径是,弧度数为3的圆心角所对扇形的面积等于___________
14．计算：__________．
15．在中，，，与的夹角为，则_____
16．已知正实数, ,且，若，则的值域为__________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数
（1）求函数的最小正周期、单调区间；
（2）求函数在区间上的最小值和最大值.
18．给出以下四个式子：
①；
②；
③；
④.
（1）已知所给各式都等于同一个常数，试从上述四个式子中任选一个， 求出这个常数；
（2）分析以上各式的共同特点，写出能反应一般规律的等式，并对等式正确性作出证明.
19．已知函数，
（1）求函数的最大值；
（2）若，，求的值
20．提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况.在一般情况下，隧道内的车流速度(单位：千米/小时)和车流密度(单位：辆/千米)满足关系式：.研究表明：当隧道内的车流密度达到辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是千米/小时.
（1）若车流速度不小于千米/小时，求车流密度的取值范围；
（2）隧道内的车流量(单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时)满足，求隧道内车流量的最大值(精确到辆/小时)，并指出当车流量最大时的车流密度.
21．设全集为R，集合，
（1）求；
（2）求
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】根据几何体的特征，由主视图的定义，逐项判断，即可得出结果.
【详解】A选项，圆柱的主视图为矩形，故A正确；
B选项，圆锥的主视图为等腰三角形，故B错；
C选项，棱锥的主视图为三角形，故C错；
D选项，球的主视图为圆，故D错.
故选：A.
【点睛】本题主要考查简单几何体的正视图，属于基础题型.
2、A
【解析】由两直线平行时满足的条件，列出关于方程，求出方程的解即可得到的值.
【详解】直线和同时平行于直线，
，
解得，故选A.
【点睛】本题主要考查两条直线平行的充要条件，意在考查对基础知识的理解与应用，属于基础题.
3、A
【解析】由线面垂直的性质定理知①正确；②中直线可能在平面内，故②错误；，则内一定有直线//，，则有，所以，③正确；④中可能平行，相交，异面，故④错误，故选A
4、D
【解析】按照分段函数的分类标准，在各个区间上，构造求解，并根据区间对所求的解，进行恰当的取舍即可.
令，则或，解之得.
【点睛】本题主要考查分段函数，属于基础题型.
5、D
【解析】根据对数型函数恒过定点得到定点，再根据点在角的终边上，由三角函数的定义得，即可得到答案.
【详解】由于函数（，且）的图象恒过定点，则，点，点在角的终边上，.
故选：D.
6、A
【解析】首先由的取值范围求出的取值范围，再根据正切函数的性质计算可得；
【详解】解：因为，所以
因为在上单调递增，所以
即
故选：A
7、D
【解析】由斜二测画法原理，把该梯形的直观图还原为原来的梯形，结合图形即可求得面积
【详解】由斜二测画法原理，把该梯形的直观图还原为原来的梯形，如图所示；

设该梯形的上底为a，下底为b，高为h，
则直观图中等腰梯形的高为h′＝hsin45°；
∵等腰梯形的体积为（a+b）h′＝（a+b）•hsin45°＝ ，
∴（a+b）•h＝＝4，∴该梯形的面积为4
故选D
【点睛】本题考查了平面图形的直观图的还原与求解问题，解题时应明确直观图与原来图形的区别和联系，属于基础题
8、A
【解析】由题意可得：

本题选择A选项.
9、C
【解析】先根据不等式恒成立等价于，再根据基本不等式求出，即可求解.
【详解】解：，
即，
即
又
当且仅当“”，即“”时等号成立，
即，
故.
故选：C.
10、A
【解析】由面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一平面的一条垂线，则两面垂直，可得，
可得
考点：空间线面平行垂直的判定与性质

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、##，##
【解析】根据题意，方程，即在内有实数根，若函数在内有零点．首先满足，解得，或．对称轴为．对分类讨论即可得出
【详解】解：根据题意，若函数是，上的平均值函数，
则方程，即在内有实数根，
若函数在内有零点
则，解得，或
（1），．
对称轴：
①时，，，（1），因此此时函数在内一定有零点．满足条件
②时，，由于（1），因此函数在内不可能有零点，舍去
综上可得：实数的取值范围是，
故答案为：，
12、
【解析】由图可知，，得，从而，所以，然后将代入，得，又，得，因此，，注意最后确定的值时，一定要代入，而不是，否则会产生增根.
考点：三角函数的图象与性质.
13、
【解析】根据扇形的面积公式，计算即可.
【详解】由扇形面积公式知，.
【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，属于容易题.
14、4
【解析】
故答案为4
15、
【解析】利用平方运算可将问题转化为数量积和模长的运算，代入求得，开方得到结果.
【详解】

【点睛】本题考查向量模长的求解问题，关键是能够通过平方运算将问题转变为向量的数量积和模长的运算，属于常考题型.
16、
【解析】因为，
所以.
因为且,.
所以，所以，
所以,.
则的值域为.
故答案为.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1),增区间是，减区间是 (2)，
【解析】（1）根据余弦函数的图象与性质，求出f（x）的最小正周期和单调增、减区间；
（2）求出x∈[，]时2x的取值范围，从而求得f（x）的最大最小值
【详解】（1）函数f（x）cos（2x）中，它的最小正周期为Tπ，
令﹣π+2kπ≤2x2kπ，k∈Z，
解得kπ≤xkπ，k∈Z，
所以f（x）的单调增区间为[kπ，kπ]，k∈Z；
令2kπ≤2xπ+2kπ，k∈Z，
解得kπ≤xkπ，k∈Z，
所以f（x）的单调减区间为[kπ，kπ]，k∈Z；
（2）x∈[，]时，2x≤π，所以2x；
令2x，解得x，此时f（x）取得最小值为f（）（）＝﹣1；
令2x0，解得x，此时f（x）取得最大值为f（）1
【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，熟记单调区间是关键，是基础题
18、（1）；（2）见解析
【解析】分析：(1)利用第二个式子，结合同角三角函数的平方关系，以及正弦的倍角公式，结合特殊角的三角函数值，求得结果；
(2)根据题中所给的角之间的关系，归纳推理得到结果，证明过程应用相关公式证明即可.
详解：（1） .
（2）.
证明如下：

.
点睛：该题考查是有关三角公式的问题，涉及到的知识点有同角三角函数的关系式，正弦的倍角公式，余弦的差角公式等，正确使用公式是解题的关键.
19、（1）3（2）
【解析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简，结合三角函数性质作答即可.
（2）利用换元法求解即可.
【小问1详解】
函数

令解得
∴当，时，函数取到最大值3.
【小问2详解】
∵，∴
设，则

20、（1）；（2）最大值约为3250辆/小时，车流密度约为87辆/千米.
【解析】（1）把代入已知式求得，解不等式可得的范围
（2）由（1）求得函数，分别利用函数的单调性和基本不等式分段求得最大值，比较可得
【详解】解：（1）由题意知当(辆/千米)时，(千米/小时)，
代入得，解得
所以
当时，，符合题意；
当时，令，解得，所以
综上，
答：若车流速度不小于40千米/小时，则车流密度的取值范围是.
（2）由题意得，
当时，为增函数，
所以，等号当且仅当成立；
当时，

即，等号当且仅当，即成立.
综上，的最大值约为3250，此时约为87.
答：隧道内车流量的最大值约为3250辆/小时，此时车流密度约为87辆/千米.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数模型的应用，对于已经给出函数模型的问题，关键是直接利用函数模型列出方程、不等式或利用函数性质求解
21、（1）；
（2）或.
【解析】(1)根据给定条件利用交集的定义直接计算即可作答.
(2)利用并集的定义求出，再借助补集的定义直接求解作答.
【小问1详解】
因为，，
所以.
【小问2详解】
因为，，
则，而全集为R，
所以或.