四川成都实验中学2025年数学高一上期末调研试题含解析.doc

四川成都实验中学2025年数学高一上期末调研试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．关于，，下列叙述正确的是（ ）
A.若，则是的整数倍
B.函数的图象关于点对称
C.函数的图象关于直线对称
D.函数在区间上为增函数.
2．已知角α的终边经过点，则等于（ ）
A. B.
C. D.
3．函数的图象是（ ）
A. B.
C. D.
4．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f（1）＝0，则不等式＜0的解集为（）
A.(－1，0)∪(1，＋∞) B.(－∞，－1)∪(0，1)
C.(－∞，－1)∪(1，＋∞) D.(－1，0)∪(0，1)
5．下列关系中正确个数是（）
①②③④
A.1 B.2
C.3 D.4
6．设，且，则（ ）
A. B.10
C.20 D.100
7．已知函数的图象如图所示，则函数的图象为　　

A.
B.
C.
D.
8．已知，求（）.
A.6 B.7
C.8 D.9
9．已知函数的图象与直线有三个不同的交点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
10．若，，，则有
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的最小值是________.
12．已知函数的部分图象如图所示，则___________

13．已知函数是偶函数，则实数的值是__________
14．若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是______
15．已知正数a，b满足，则的最小值为______
16．已知实数满足，则________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

0

0

5

0

（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式；
（Ⅱ）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求的最小值
18．已知函数，且.
（1）求实数及的值；
（2）判断函数的奇偶性并证明.
19．如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道（，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口是的中点，分别落在线段上.已知米，米，记.
（1）试将污水净化管道总长度(即的周长)表示为的函数，并求出定义域；
（2）问当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度.

（提示：.）
20．已知圆的方程为,是坐标原点．直线与圆交于两点
（1）求的取值范围；
（2）过点作圆的切线，求切线所在直线的方程.
21．已知全集为实数集，集合，.
（1）求及；
（2）设集合，若，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】由题意利用余弦函数的图象和性质，逐一判断各个结论是否正确，从而得出结论.
【详解】对于A，的周期为,若，则是的整数倍,故A错误；
对于B,当 时，，则函数的图象关于点中心对称，B正确；
对于C,当 时，，不是函数最值，函数的图象不关于直线对称， C错误；
对于D，，，则不单调，D错误
故选：B.
2、D
【解析】由任意角三角函数的定义可得结果.
【详解】依题意得.
故选：D.
3、C
【解析】由已知可得，从而可得函数图象
【详解】对于y＝x＋，当x>0时，y＝x＋1；当x<0时，y＝x－1.
即，故其图象应为C.
故选：C
4、C
【解析】利用函数奇偶性，等价转化目标不等式，再结合已知条件以及函数单调性，即可求得不等式解集.
【详解】∵f(x)为奇函数，故可得，
则＜0等价于.
∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数且f（1）＝0，
∴当x＞1时，f(x)＜0.
∵奇函数图象关于原点对称，∴在(－∞，0)上f(x)为减函数且f(－1)＝0，
即x＜－1时，f(x)＞0.
综上使＜0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)
故选：.
【点睛】本题考查利用函数奇偶性和单调性解不等式，属综合基础题.
5、A
【解析】根据集合的概念、数集的表示判断
【详解】是有理数，是实数，不是正整数，是无理数，当然不是整数．只有①正确
故选：A
【点睛】本题考查元素与集合的关系，掌握常用数集的表示是解题关键
6、A
【解析】根据指数式与对数的互化和对数的换底公式，求得，，进而结合对数的运算公式，即可求解.
【详解】由，可得，，
由换底公式得，，
所以，
又因为，可得
故选：A.
7、A
【解析】根据函数的图象，可得a，b的范围，结合指数函数的性质，即可得函数的图象.
【详解】解：通过函数的图象可知：，当时，可得，即．函数是递增函数；排除C，D．当时，可得，，，
故选A
【点睛】本题考查了指数函数的图象和性质，属于基础题.
8、B
【解析】利用向量的加法规则求解的坐标，结合模长公式可得.
【详解】因为，所以，所以.
故选：B.
【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，明确向量的坐标运算规则是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
9、D
【解析】作出函数的图象，结合图象即可求出的取值范围.
【详解】作函数和的图象，如图所示，可知的取值范围是，

故选D．
10、C
【解析】根据指数函数和对数函数的单调性分别将与作比较，从而得到结果.
【详解】
本题正确选项：
【点睛】本题考查根据指数函数、对数函数单调性比较大小的问题，常用方法是采用临界值的方式，通过与临界值的大小关系得到所求的大小关系.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、2
【解析】直接利用基本不等式即可得出答案.
【详解】解：因为，
所以，
当且仅当，即时，取等号，
所以函数的最小值为2.
故答案为：2.
12、
【解析】由图象可得最小正周期的值，进而可得，又函数图象过点，
利用即可求解.
【详解】解：由图可知，因为，所以，解得，
因为函数的图象过点，
所以，又，
所以，
故答案为：.
13、1
【解析】函数是偶函数，，即，解得，故答案为.
【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题.已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解，（2）偶函数由 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由 求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性
14、
【解析】由题意得到时，恒成立，然后根据当和时，进行分类讨论即可求出结果.
详解】依题意，当时，恒成立
当时，，符合题意；
当时，则，即
解得，
综上，实数m的取值范围是，
故答案：
15、##
【解析】右边化简可得，利用基本不等式，计算化简即可求得结果.
【详解】，
故,则，当且仅当时，等号成立
故答案为：
16、4
【解析】方程的根与方程的根可以转化为函数与函数交点的横坐标和函数与函数交点的横坐标，再根据与互为反函数，关于对称，即可求出答案.
【详解】，，令，，此方程的解即为函数与函数交点的横坐标，设为 ，如下图所示； ，此方程的解即为函数与函数交点的横坐标，设为，如下图所示，

与互反函数，关于对称，联立方程，解得，即，.
故答案为：4.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得．数据补全如下表：

0

0

5

0

0

且函数表达式为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，得
因为对称中心为，
令，解得，
由于函数的图象关于点成中心对称，令，
解得，．由可知，当时，取得最小值.
考点：“五点法”画函数在某一个周期内的图象，三角函数的平移变换，三角函数的性质
18、（1），；（2）是奇函数，证明见解析.
【解析】（1）根据，代入计算可得的值，即可求出函数的解析式，再代入计算可得；
（2）首先求出函数的定义域，再计算即可判断；
【详解】解：（1）因为，且.
所以
解得，
所以
所以
（2）由（1）可得.
因为函数的定义域为，关于原点对称且，
所以是奇函数.
19、（1），定义域为.（2）当或时所铺设的管道最短，为米.
【解析】（1）如图，因为都是直角三角形，故可以得到，也就是，其中.（2）可变形为，令后，则有，其中，故取的最大值米.
【详解】（1）.

由于，，所以，故.管道的总长度，定义域为.
(2) . 设，则，由于，所以.因为在内单调递减，于是当时，取的最大值米.（此时或）.
答：当或时所铺设的管道最短，为米.
【点睛】在三角变换中，注意之间有关系，如，，三者中知道其中一个，必定可以求出另外两个.
20、（1）；（2）或
【解析】（1）直线与圆交于两点，即直线与圆相交，转化成圆心到直线距离小于半径，利用公式解不等式；
（2）过某点求圆的切线，分斜率存在和斜率不存在两种情况数形结合分别讨论.
【详解】（1）圆心到直线的距离，
解得或
即k的取值范围为.
（2）当过点P的直线斜率不存在时，即x=2 与圆相切，符合题意.
当过点P的直线斜率存在时，设其方程为
即，
由圆心（0,4）到直线的距离等于2，可得
解得，故直线方程为
综上所述，圆的切线方程为或
【点睛】此题考查直线和圆的位置关系，结合圆的几何性质处理相交相切，过某点的直线在设其方程的时候一定注意讨论斜率是否存在，这是一个易错点，对逻辑思维能力要求较高，当然也可以考虑直线与二次曲线的常规解法.
21、（1），
（2）
【解析】（1）先求出集合A、B，再求，；
（2）对是否为分类讨论，分别求出a的范围.
【小问1详解】
由可得
又，则
所以，
【小问2详解】
当时，，此时；
当时，，则；
综上可得