湖北省华大新2025年数学高二上期末考试试题含解析.doc

湖北省华大新2025年数学高二上期末考试试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设是双曲线的一个焦点，，是的两个顶点，上存在一点，使得与以为直径的圆相切于，且是线段的中点，则的渐近线方程为
A. B.
C. D.
2．若函数，则单调增区间为（）
A. B.
C. D.
3．函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
4．若数列满足，，则该数列的前2021项的乘积是（）
A. B.
C.2 D.1
5．《九章算数》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积为3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（ ）
A.1升 B.升
C.升 D.升
6．函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（ ）
A. B.
C. D.
7．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为 4 天，那么感染人数超过 1000 人大约需要（）（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染）
A.20 天 B.24 天
C.28 天 D.32 天
8．椭圆的焦点坐标为（ ）
A.和 B.和
C.和 D.和
9．已知点在椭圆上，与关于原点对称，，交轴于点，为坐标原点，，则椭圆离心率为（ ）
A. B.
C. D.
10．已知点，，则经过点且经过线段AB的中点的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
11．已知椭圆方程为，点在椭圆上，右焦点为F，过原点的直线与椭圆交于A，B两点，若，则椭圆的方程为（）
A. B.
C. D.
12．设，若直线与直线平行，则的值为（）
A. B.
C.或 D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若、是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为________.
14．曲线围成的图形的面积是__________
15．已知数列满足，若对任意恒成立，则实数的取值范围为________
16．已知等比数列满足，，公比，则的前2021项和______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知直线l过点，与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点
（1）若的面积为，求直线l的方程；
（2）求的面积的最小值
18．（12分）已知抛物线的焦点F，C上一点到焦点的距离为5
（1）求C方程；
（2）过F作直线l，交C于A，B两点，若线段AB中点的纵坐标为-1，求直线l的方程
19．（12分）已知等比数列中，，数列满足，
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：数列为等差数列，并求前项和的最大值
20．（12分）一杯100℃的开水放在室温25℃的房间里，1分钟后水温降到85℃，假设每分钟水温变化量和水温与室温之差成正比
（1）分别求2分钟，3分钟后的水温；
（2）记n分钟后的水温为，证明：是等比数列，并求出的通项公式；
（3）当水温在40℃到55℃之间时（包括40℃和55℃），为最适合饮用的温度，则在水烧开后哪个时间段饮用最佳．（参考数据：）
21．（12分）如图，在三棱锥中，平面，，，为的中点.

（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.
22．（10分）在直三棱柱中，，，，，分别是，上的点，且

（1）求证：∥平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】根据图形的几何特性转化成双曲线的之间的关系求解.
【详解】设另一焦点为，连接，由于是圆的切线，
则，且，
又是的中点，则是的中位线，
则，且，
由双曲线定义可知，
由勾股定理知，，，
即，渐近线方程为，
所以渐近线方程为
故选C.

【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，属于中档题.
2、C
【解析】求出导函数，令解不等式即可得答案.
【详解】解：因为函数，所以，
令，得，所以的单调增区间为，
故选：C.
3、A
【解析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；
当时，，选项B错误.
故选：A.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项
4、C
【解析】先由数列满足，，计算出前5项，可得，且，再利用周期性即可得到答案.
【详解】因为数列满足，，
所以，同理可得，…
所以数列每四项重复出现，即，且，
而，
所以该数列的前2021项的乘积是.
故选：C.
5、B
【解析】设出竹子自上而下各节的容积且为等差数列，根据上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升列出关于首项和公差的方程，联立即可求出首项和公差，根据求出的首项和公差，利用等差数列的通项公式即可求出第5节的容积
【详解】解：设竹子自上而下各节的容积分别为：，，，，且为等差数列，
根据题意得：，，
即①，②，②①得：，解得，
把代入①得：，
则
故选：B
【点睛】本题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式化简求值，属于中档题
6、B
【解析】构造函数，利用导数判断出函数在上的单调性，将不等式转化为，利用函数的单调性即可求解.
【详解】依题意可设，所以.
所以函数在上单调递增，又因为.
所以要使，即，只需要，故选B.
【点睛】本题考查利用函数的单调性解不等式，解题的关键就是利用导数不等式的结构构造新函数来解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
7、B
【解析】根据题意列出方程，利用等比数列的求和公式计算n轮传染后感染的总人数，得到指数方程，求得近似解，然后可得需要的天数.
【详解】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n轮传染,
则每轮新增感染人数为，
经过n轮传染，总共感染人数为：

即，解得，
所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要24天，
故选：B
【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程
8、D
【解析】本题是焦点在x轴的椭圆，求出c，即可求得焦点坐标.
【详解】，可得焦点坐标为和.
故选：D
9、B
【解析】由，得到，结合，得到，进而求得，得出，结合离心率的定义，即可求解.
【详解】设，则，
由，可得，所以，
因为，可得，
又由，两式相减得，
即，即，
又因为，所以，即
又由，所以，解得.
故选：B.

10、C
【解析】求AB的中点坐标，根据直线所过的两点坐标求直线方程即可.
【详解】由已知，AB中点为，又，
∴所求直线斜率为，故直线方程为，即
故选：C.
11、A
【解析】根据椭圆的性质可得，则椭圆方程可求.
【详解】由点在椭圆上得，
由椭圆的对称性可得，则，
故椭圆方程为.
故选：A.
12、C
【解析】根据直线的一般式判断平行的条件进行计算.
【详解】时，容易验证两直线不平行，当时，根据两直线平行的条件可知：，解得或.
故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】根据双曲线的定义算出△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c=a，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线C的离心率.
【详解】因为△ABF2为等边三角形，可知，
A为双曲线上一点，，
B为双曲线上一点，则，即，
∴
由，则，已知，
在△F1AF2中应用余弦定理得：，
得c2=7a2，则e2＝7⇒e＝
故答案为：
【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率，常常不能经过条件直接得到a，c的值，这时可将或视为一个整体，把关系式转化为关于或的方程，从而得到离心率的值.
14、
【解析】当，时，已知方程是，即．它对应的曲线是第一象限内半圆弧（包括端点），它的圆心为，半径为.
同理，当，；，；，时对应的曲线都是半圆弧（如图）．它所围成的面积是.

故答案为
15、
【解析】根据给定条件求出，构造新数列并借助单调性求解作答.
【详解】在数列中，，当，时，，
则有，而满足上式，因此，，
，显然数列是递增数列，且，，
又对任意恒成立，则，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
【点睛】思路点睛：给定数列的前项和或者前项积，求通项时，先要按和分段求，
然后看时是否满足时的表达式，若不满足，就必须分段表达.
16、
【解析】根据等比数列的求和公式求解即可.
【详解】因为等比数列满足，，公比，
所以，
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）或
（2）4
【解析】（1）设直线方程为，根据所过的点及面积可得关于的方程组，求出解后可得直线方程，我们也可以设直线，利用面积求出后可得直线方程.
（2）结合（1）中直线方程的形式利用基本不等式可求面积的最小值.
【小问1详解】
法一：（1）设直线，则
解得或，所以直线或
法二：设直线，，则，
则，∴或﹣8
所以直线或
【小问2详解】
法一：∵，∴，∴，此时，
∴面积的最小值为4，此时直线
法二：∵，
∴，
此时，∴面积的最小值为4，此时直线
18、（1）；（2）.
【解析】（1）由抛物线的定义，结合已知有求p，写出抛物线方程.
（2）由题意设直线l为，联立抛物线方程，应用韦达定理可得，由中点公式有，进而求k值，写出直线方程.
【详解】（1）由题意知：抛物线的准线为，则，可得，
∴C的方程为.
（2）由（1）知：，由题意知：直线l的斜率存在，令其方程为，
∴联立抛物线方程，得：，，
若，则，而线段AB中点的纵坐标为-1，
∴，即，得，
∴直线l的方程为.
【点睛】关键点点睛：
（1）利用抛物线定义求参数，写出抛物线方程；
（2）由直线与抛物线相交，以及相交弦的中点坐标值，应用韦达定理、中点公式求直线斜率，并写出直线方程.
19、 (1)；(2)证明见解析，10.
【解析】(1)设出等比数列的公比q，利用给定条件列出方程求出q值即得；
(2)将给定等式变形成，再推理计算即可作答.
【详解】(1)设等比数列的公比为q，依题意，，而，解得，
所以数列的通项公式为；
(2)显然，，由得：，
所以数列是以为首项，公差为-1的等差数列，其通项为，
于是得，由得，而，则数列前4项都为非负数，从第5项起都是负数，又，
因此数列前4项和与前3项和相等并且最大，其值为，
所以数列前项和的最大值是10.
20、（1）2分钟的水温为℃，3分钟后的水温℃；
（2）证明见解析，，；
（3）在水烧开后4到7分钟饮用最佳.
【解析】(1)根据给定条件设第n分钟后的水温为，探求出与的关系即可计算作答.
(2)利用(1)的信息，列式变形、推导即可得证，进而求出的通项公式.
(3)由(2)的结论列不等式，借助对数函数的性质求解即得.
【小问1详解】
设第n分钟后的水温为，正比例系数为k，记，
依题意，，当时，，则有，解得，
因此，，即有，，
所以2分钟的水温为℃，3分钟后的水温℃.
小问2详解】
由(1)知，，时，，，则有，即，
而，于是得是以为首项，为公比的等比数列，
则有，即，
所以是等比数列，的通项公式是，.
【小问3详解】
由(2)及已知得：，即，整理得，
两边取常用对数得：，而，
解得，即，
所以在水烧开后4到7分钟饮用最佳.
【点睛】思路点睛：涉及实际意义给出的数列问题，正确理解实际意义，列出关系式，再借助数列思想探求相邻两项间关系即可推理作答.
21、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）根据勾股定理先证明，然后证明，进而通过线面垂直的判定定理证明问题；
（2）建立空间直角坐标系，进而求出两个平面的法向量，然后通过空间向量的夹角公式求得答案.
【小问1详解】
∵，，∴，
∴，∵平面，平面，∴，
∵，，，∴平面.
【小问2详解】

以点为坐标原点，向量，的方向分别为，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，
设平面的法向量为，
由，，有
取，可得平面的一个法向量为.
设平面的一个法向量为，
由，，有
取，可得平面的一个法向量为，
所以，故平面与平面的夹角的正弦值为.
22、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）建立空间直角坐标系，由空间向量证明与平面的法向量垂直
（2）由空间向量求解
【小问1详解】
以C为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
如图，则，，，，，，
设，因为，所以，
故，得，同理求得，所以，
因为是平面的一个法向量，且，
所以，又平面，所以平面；
【小问2详解】
由（1）可得：
，，设平面的一个法向量为，
则，即令，则，所以，
又平面的一个法向量为，
设表示平面与平面所成锐二面角，则