2025年云南省玉龙纳西族自治县第一中学数学高一上期末检测试题含解析.doc

2025年云南省玉龙纳西族自治县第一中学数学高一上期末检测试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
2．已知唯一的零点在区间、、内，那么下面命题错误的　　
A.函数在或，内有零点
B.函数在内无零点
C.函数在内有零点
D.函数在内不一定有零点
3．已知，若 ，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
4．已知函数则函数的零点个数为.
A. B.
C. D.
5．下列区间中，函数f（x）=|ln（2-x）|在其上为增函数的是（　　）
A. B.
C. D.
6．若，则的值为
A. B.
C. D.
7．的值为
A. B.
C. D.
8．已知向量，满足，，且与夹角为，则（）
A. B.
C. D.
9．直线与圆相交于两点,若,则的取值范围是
A. B.
C. D.
10．函数f（x）=+的定义域为（　　）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知点为角终边上一点，则______.
12．已知是幂函数，且在区间是减函数，则m=_____________.
13．要制作一个容器为4，高为无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）
14．若将函数的图像向左平移个单位后所得图像关于轴对称，则的最小值为___________.
15．当时，函数取得最大值，则___________.
16．已知幂函数在区间上单调递减，则___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数，函数的图像与的图像关于对称.
（1）求的值；
（2）若函数在上有且仅有一个零点，求实数k取值范围；
（3）是否存在实数m，使得函数在上的值域为，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由.
18．已知且.
（1）求的解析式；
（2）解关于x不等式：.
19．已知函数定义域为，若对于任意的 ，都有，且 时，有.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）判断并证明函数的单调性；
（3）若对所有 ，恒成立，求的取值范围.
20．已知圆C过点，且与圆M：关于直线对称
求圆C的方程；
过点P作两条相异直线分别与圆C相交于点A和点B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由
21．已知一次函数是上的增函数，，且.
（1）求的解析式；
（2）若在上单调递增，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】本题首先可以求出函数关于轴对称的函数的解析式，然后根据题意得出函数与函数的图像至少有3个交点，最后根据图像计算得出结果
【详解】若，则，
因为时，，
所以，
所以若关于轴对称，
则有，即，
设，画出函数的图像，

结合函数的单调性和函数图像的凹凸性可知对数函数与三角函数在点处相交为临界情况，
即要使与的图像至少有3个交点，
需要且满足，即，解得，故选D
【点睛】本题考查的是函数的对称性、对数函数以及三角函数的相关性质，主要考查如何根据函数对称性来求出函数解析式，考查学生对对数函数以及三角函数的图像的理解，考查推理能力，考查数形结合思想，是难题
2、C
【解析】利用零点所在的区间之间的关系，将唯一的零点所在的区间确定出，则其他区间就不会存在零点，进行选项的正误筛选
【详解】解：由题意，唯一的零点在区间、、内，可知该函数的唯一零点在区间内，在其他区间不会存在零点．故、选项正确，
函数的零点可能在区间内，也可能在内，故项不一定正确，
函数的零点可能在区间内，也可能在内，故函数在内不一定有零点，项正确
故选：
【点睛】本题考查函数零点的概念，考查函数零点的确定区间，考查命题正误的判定．注意到命题说法的等价说法在判断中的作用
3、B
【解析】由以及，可得，即得，
再根据基本不等式即可求的取值范围.
【详解】解： ，
不妨设，
若，由，得：，
即与矛盾；
同理，也可导出矛盾，
故，
，
即，
而，
即，
即，当且仅当，即时等号成立，
又，
故，
即的取值范围是.
故选：B.
4、B
【解析】令，得，令,由，得或，作出函数的图象，结合函数的图象，即可求解
【详解】由题意，令，得，
令,由，得或，
作出函数的图象，如图所示，
结合函数的图象可知，有个解，有个解，故的零点个数为，故选B.

【点睛】本题主要考查了函数的零点问题，其中令,由，得到或，作出函数的图象，结合函数的图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题
5、D
【解析】函数定义域为当时，是减函数；当时，是增函数；故选D
6、C
【解析】由题意求得，化简得，再由三角函数的基本关系式，联立方程组，求得，代入即可求解.
【详解】由，整理得，
所以，
又由三角函数的基本关系式，可得由
解得，所以.
故选C.
【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数的基本关系式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
7、C
【解析】sin210°=sin（180°+30°）=﹣sin30°=﹣．
故选C．
8、D
【解析】根据向量的运算性质展开可得，再代入向量的数量积公式即可得解.
【详解】根据向量运算性质，

，
故选：D
9、C
【解析】圆，即.
直线与圆相交于两点,若,
设圆心到直线距离.
则，解得.
即，解得
故选C.
点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：
（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；
（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；
（３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小
10、C
【解析】根据分母部位0，被开方数大于等于0构造不等式组，即可解出结果
【详解】利用定义域的定义可得 ，解得，即，
故选C
【点睛】本题考查定义域的求解，需掌握：
分式分母不为0，②偶次根式被开方数大于等于0，③对数的真数大于0.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、5
【解析】首先求，再化简，求值.
【详解】由题意可知
.
故答案为：5
【点睛】本题考查三角函数的定义和关于的齐次分式求值，意在考查基本化简和计算.
12、
【解析】根据幂函数系数为1，得或，代入检验函数单调性即可得解.
【详解】由是幂函数，可得，解得或，
当时，在区间是减函数，满足题意；
当时，在区间是增函数，不满足题意；
故.
故答案为：.
13、160
【解析】设底面长方形的长宽分别为和,先求侧面积，进一步求出总的造价，利用基本不等式求出最小值.
【详解】设底面长方形的长宽分别为和,则，

所以总造价
当且仅当的时区到最小值
则该容器的最低总造价是160.
故答案为：160.
14、
【解析】利用辅助角公式将函数化简，再根据三角函数的平移变换及余弦函数的性质计算可得；
【详解】解：因，
将的图像向左平移个单位，得到，
又关于轴对称，
所以，，所以，
所以当时取最小值；
故答案为：
15、##
【解析】由辅助角公式，正弦函数的性质求出，，再根据两角和的正切和公式，诱导公式求.
【详解】（其中，），
当时，函数取得最大值
∴ ，，即，，
所以，.
故答案为：.
16、
【解析】根据幂函数定义求出值，再根据单调性确定结果
【详解】由题意，解得或，
又函数在区间上单调递减，则，∴
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）或
（3）存在，
【解析】（1）由题意，将代入可得答案.
（2）由题意即关于x的方程在上有且仅有一个实根，设,作出其函数图像，数形结合可得答案.
（3）设记，则函数在上单调递增，根据题意若存在实数m满足条件，则a，b是方程的两个不等正根，由二次方程的根的分布的条件可得答案.
【小问1详解】
由题意，，所以
【小问2详解】
由题意即关于x的方程在上有且仅有一个实根，
设，作出函数在上的图像（如下图）

，，由题意，直线与该图像有且仅有一个公共点，
所以实数k的取值范围是或
【小问3详解】
记，
其中，在定义域上单调递增，则函数在上单调递增，
若存在实数m，使得的值域为，
则，即a，b是方程的两个不等正根，
即a，b是的两个不等正根，
所以解得，所以实数m的取值范围是.
【点睛】思路点睛：函数的零点问题可转化为两个熟悉函数的图象的交点问题来处理，而二次方程的零点问题，可结合判别式的正负、特殊点处的函数值的正负、对称轴的位置等来处理.
18、（1）
（2）
【解析】（1）根据已知条件联立方程组求出，进而求出函数的解析式；
（2）根据已知条件求出，进而得出不等式，利用换元法及一元二次不等
式得出的范围，再根据指数与对数互化解指数不等式即可.
【小问1详解】
由，得
，解得.
所以的解析式为.
【小问2详解】
由（2）知，，所以，
由，得，即，
令，则，解得或
所以，即，解得.
所以不等式的解集为.
19、（1）为奇函数；证明见解析；（2）是在上为单调递增函数；证明见解析；（3）或.
【解析】
（1）根据已知等式，运用特殊值法和函数奇偶性的定义进行判断即可；
（2）根据函数的单调性的定义，结合已知进行判断即可；
（3）根据（1）（2），结合函数的单调性求出函数在的最大值，最后根据构造新函数，利用新函数的单调性进行求解即可.
详解】（1）∵，令，得，∴，
令可得：，∴，∴为奇函数；
（2）∵是定义在上的奇函数，由题意设，
则，
由题意时，有，∴，
∴是在上为单调递增函数；
（3）∵在上为单调递增函数，∴在上的最大值为，
∴要使，对所有，恒成立，
只要，即恒成立；
令，得，
∴或.
【点睛】本题考查了函数单调性和奇偶性的判断，考查了不等式恒成立问题，考查了数学运算能力.
20、（1）（2）直线AB和OP一定平行．证明见解析
【解析】由已知中圆C过点，且圆M：关于直线对称，可以求出圆心坐标，即可求出圆C的方程；
由已知可得直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，设PA：，PB：，求出A，B坐标后，代入斜率公式，判断直线OP和AB斜率是否相等，即可得到答案
【详解】由题意可得点C和点关于直线对称，
且圆C和圆M的半径相等，都等于r
设，由且，解得：，
故原C的方程为
再把点代入圆C的方程，求得
故圆的方程为：；
证明：过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，
且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，
则得直线OP和AB平行，
理由如下：由题意知，直线PA和直线PB斜率存在，且互为相反数，
故可设PA：，PB：
由，得，
因为的横坐标一定是该方程的解，，
同理可得
由于AB的斜率的斜率，
所以直线AB和OP一定平行
【点睛】本题主要考查了直线和圆的方程的应用，关于直线对称的圆的方程，其中根据已知条件求出圆C的方程是解答本题的关键，考查推理与运算能力，属于中档题
21、（1）；（2）
【解析】（1）利用待定系数法，设（）代入，得方程组，可求出，即求出函数解析式；（2）图象开口向上，故只需令位于对称轴右侧即即可.
试题解析：（1）由题意设（），从而，所以，解得或（不合题意，舍去）
所以的解析式为.
（2），则函数的图象的对称轴为直线，由已知得在上单调递增，则，解得.