2025-2026学年安徽省阜阳市界首中学数学高一上期末监测试题含解析.doc

2025-2026学年安徽省阜阳市界首中学数学高一上期末监测试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．计算（）
A. B.
C. D.
2．已知集合，，若，则
A. B.
C. D.
3．设，，，则、、的大小关系是
A. B.
C. D.
4．下列四组函数中，表示相同函数的一组是（）
A.，
B.，
C.，
D.，
5．若向量，，满足，则
A.1 B.2
C.3 D.4
6．下列各组函数是同一函数的是（ ）
①与；②与；
③与；④与
A.① ② B.① ③
C.③ ④ D.① ④
7．如图，向量，，的起点与终点均在正方形网格的格点上，若，则（）

A. B.
C.2 D.4
8．已知直线过，两点，则直线的斜率为
A. B.
C. D.
9．若点在函数的图像上，则
A.8 B.6
C.4 D.2
10． “”是“”的（）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知幂函数在上是增函数,则实数m的值是_________
12．函数的定义域是__________.
13．已知集合，若，则________.
14．若函数，则_________；不等式的解集为__________
15．已知，则函数的最大值是__________
16．已知正三棱柱的棱长均为2，则其外接球体积为__________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在中，已知为线段的中点，顶点，的坐标分别为，.
（Ⅰ）求线段的垂直平分线方程；
（Ⅱ）若顶点的坐标为，求垂心的坐标.
18．已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求的单调递增区间.
19．人口问题是世界普遍关注的问题，通过对若干个大城市的统计分析，针对人口密度分布进行模拟研究，发现人口密度与到城市中心的距离之间呈现负指数关系．指数模型是经典的城市人口密度空间分布的模型之一，该模型的计算是基于圈层距离法获取距城市中心距离和人口密度数据的，具体而言就是以某市中心位置为圆心，以不同的距离为半径划分圈层，测量和分析不同圈层中的人口状况．其中x是圈层序号，将圈层序号是x的区域称为“x环”（时，1环表示距离城市中心0～3公里的圈层；时，2环表示距离城市中心3～6公里的圈层；以此类推）；是城市中心的人口密度（单位：万人/平方公里），为x环的人口密度（单位：万人/平方公里）；b为常数；．下表为某市2006年和2016年人口分布的相关数据：
年份

b
2006
2.2
0.13
2016
2.3
0.10
（1）求该市2006年2环处的人口密度（参考数据：，结果保留一位小数）；
（2）2016年该市某环处的人口密度为市中心人口密度的，求该环是这个城市的多少环．（参考数据：）
20．已知函数.求：
（1）的值域；
（2）的零点；
（3）时x的取值范围
21．一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.
（1）求每年砍伐面积的百分比；
（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
（3）今后最多还能砍伐多少年？
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】利用正切的诱导公式即可求解.
【详解】，
故选：A.
2、A
【解析】利用两个集合的交集所包含的元素，求得的值，进而求得.
【详解】由于，故，所以，故，故选A.
【点睛】本小题主要考查两个集合交集元素的特征，考查两个集合的并集的概念，属于基础题.
3、B
【解析】详解】，，，
故选B
点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小
4、C
【解析】根据相同函数的判断原则进行定义域的判断即可选出答案.
【详解】解：由题意得：
对于选项A：的定义域为，的定义域为，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故A错误；
对于选项B：的定义域为，的定义域为，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故B错误；
对于选项C：的定义域为，的定义域为，这两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以表示相同的函数，故C正确；
对于选项D：的定义域为，的定义域为或，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故D错误.
故选：C
5、A
【解析】根据向量的坐标运算，求得，再根据向量的数量积的坐标运算，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，向量，，，则向量，
所以，解得，故选A.
【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，及向量的数量积的坐标运算的应用，其中解答中熟记向量的数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
6、C
【解析】定义域相同，对应关系一致的函数是同一函数，由此逐项判断即可.
【详解】①中的定义域为，的定义域也是，但与对应关系不一致，所以①不是同一函数；
②中与定义域都是R，但与对应关系不一致，所以②不是同一函数；
③中与定义域都是，且，对应关系一致，所以③是同一函数；
④中与定义域和对应关系都一致，所以④是同一函数.
故选C
【点睛】本题主要考查同一函数的概念，只需定义域和对应关系都一致即可，属于基础题型.
7、D
【解析】根据图象求得正确答案.
【详解】由图象可知.
故选：D

8、C
【解析】由斜率的计算公式计算即可
【详解】因为直线过，两点，所以直线的斜率为.
【点睛】本题考查已知两点坐标求直线斜率问题，属于基础题
9、B
【解析】由已知利用对数的运算可得tanθ，再利用倍角公式及同角三角函数基本关系的运用化简即可求值
【详解】解：∵点（8，tanθ）在函数y＝的图象上，tanθ，
∴解得：tanθ＝3，
∴2tanθ＝6，
故选B
【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，倍角公式及同角三角函数基本关系的运用，属于基础题
10、A
【解析】分别讨论充分性与必要性，可得出答案.
详解】由题意，，
显然可以推出，即充分性成立，而不能推出，即必要性不成立.
故“”是“”的充分而不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题考查充分不必要条件，考查不等式的性质，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、1
【解析】因为幂函数在上是增函数,所以,解得,又因为,所以.故填1.
12、{|且}
【解析】根据函数，由求解.
【详解】因为函数，
所以，
解得，
所以函数的定义域是{|且}，
故答案为：{|且}
13、0
【解析】若两个集合相等,则两个集合中的元素完全相同.
,
又,

故答案为0.
点睛：利用元素的性质求参数的方法
（1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值；
（2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验.
14、 ①. ②.
【解析】代入求值即可求出，分与两种情况解不等式，最后求并集即可.
【详解】，当时，，所以，解得：；当时，，解得：，所以，综上：.
故答案为：，
15、
【解析】由函数变形为，再由基本不等式求得，从而有，即可得到答案.
【详解】∵函数
∴
由基本不等式得，当且仅当，即时取等号.
∴函数的最大值是
故答案为.
【点睛】本题主要考查线性规划的应用以及基本不等式的应用，.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
16、
【解析】
分别是上，下底面的中心，则的中点为几何体的外接球的球心，

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (Ⅰ)；(Ⅱ).
【解析】（1）根据中点坐标公式求中点坐标，根据斜率公式求斜率，最后根据点斜式求方程（2）根据垂心为高线的交点，先根据点斜式求两条高线方程，再解方程组求交点坐标，即得垂心的坐标.
试题解析：（Ⅰ）∵的中点是，直线的斜率是-3，线段中垂线的斜率是，故线段的垂直平分线方程是，即；
（Ⅱ）∵，∴边上的高所在线斜率∵
∴边上高所在直线的方程：，即
同理∴边上的高所在直线的方程:
联立和，得：，∴的垂心为
18、（1）；
（2），.
【解析】(1)利用三角恒等变换公式化简f(x)，即可求正弦型函数最小正周期；
(2)根据正弦函数的单调递增区间即可求复合函数f(x)的单调递增区间.
【小问1详解】
，
∴，即函数的最小正周期为.
【小问2详解】
令，，
解得，，
即函数的单调递增区间为，.
19、（1）1.7（2）4
【解析】（2）根据表中数据，由求解；
（2）根据2016年该市某环处的人口密度为市中心人口密度的，由求解.
【小问1详解】
解：由表中数据得：；
【小问2详解】
因为2016年该市某环处的人口密度为市中心人口密度的，
所以，即，
所以，解得，
所以该环是这个城市的4环.
20、（1）；（2）-1，2；（3）
【解析】（1）利用配方法求二次函数值域即可；
（2）由的零点即是的根，再解方程即可；
（3）由“三个二次”的关系，即是函数的图象在y轴下方，观察图像即可得解.
【详解】解：（1）将函数化为完全平方式，得，
故函数的值域；
（2）的零点即是的根，令，解方程得方程的根为-1和2，故得函数的零点-1，2；
（3）由图得即是函数图象在y轴下方，时x的取值范围即在两根之间，
故x的取值范围是.

【点睛】本题考查了二次函数值域的求法，重点考查了“三个二次”的关系，属中档题.
21、（1）；（2）5；（3）15.
【解析】（1）根据题意，列出关于砍伐面积的百分比的方程，即可容易求得；
（2）到今年为止，森林剩余面积为原来的，可列出关于m的等式，解之即可.
（3）设从今年开始，最多还能砍伐年，列出相应表达式有，解不等式求出的范围即可
【详解】（1）设每年砍伐的百分比为，则，即，
，解得：
所以每年砍伐面积的百分比为
（2）设经过年剩余面积为原来，则，即
又由（1）知，，，解得
故到今年为止，该森林已被砍伐5年
（3）设从今年开始，最多还能砍伐年，则年后剩余面积为.
令，即，，，解得
故今后最多还能砍伐15年
【点睛】关键点点睛：本题考查指数型函数数学建模在实际问题中的应用，熟练运用指数性质运算，将文字语言转化成数学语言是解题的关键，考查学生的转化能力与运算能力，属于中档题.