安徽省淮南市2025年数学高二第一学期期末考试模拟试题含解析.doc

安徽省淮南市2025年数学高二第一学期期末考试模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知F是双曲线C：的一个焦点，点P在C的渐近线上，O是坐标原点，，则的面积为（ ）
A.1 B.
C. D.
2．在四面体中，设，若F为BC的中点，P为EF的中点，则＝（）
A. B.
C. D.
3．在等差数列中，，，则使数列的前n项和成立的最大正整数n=（ ）
A.2021 B.2022
C.4041 D.4042
4．过点且与原点距离最大的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
5．已知函数的导函数满足，则（）
A. B.
C.3 D.4
6．正数a,b满足,若不等式对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是
A. B.
C. D.
7．已知直线l：，则下列结论正确的是（）
A.直线l的倾斜角是
B.直线l在x轴上的截距为1
C.若直线m：，则
D.过与直线l平行的直线方程是
8．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我就能撬动地球”.他在做数学研究时，有一个有趣的问题：一个边长为2的正方形内部挖了一个内切圆，现在以该内切圆的圆心且平行于正方形的一边的直线为轴旋转一周形成几何体，则该旋转体的体积为（）
A. B.
C. D.
9．已知圆，直线，则直线l被圆C所截得的弦长的最小值为（ ）
A.2 B.3
C.4 D.5
10．已知是虚数单位，若复数满足，则（）
A. B.2
C. D.4
11．若椭圆对称轴是坐标轴，长轴长为，焦距为，则椭圆的方程（）
A. B.
C.或 D.以上都不对
12．若数列的前n项和(n∈N*)，则=（ ）
A.20 B.30
C.40 D.50
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，现将数列进行构造，第次得到数列；第次得到数列；依次构造，第次得到数列；记，则(1)___________，(2)___________
14．已知直线与圆交于两点，则面积的最大值为__________.
15．半径为R的圆外接于，且，若，则面积的最大值为________.
16．已知直线与，若，则实数a的值为______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数在处有极值.
（1）求常数a，b的值；
（2）求函数在上的最值.
18．（12分）已知椭圆的离心率为，右焦点为F，且E上一点P到F的最大距离3
（1）求椭圆E的方程；
（2）若A，B为椭圆E上的两点，线段AB过点F，且其垂直平分线交x轴于H点，，求
19．（12分）已知函数，且）的图象经过点和 .
（1）求实数，的值；
（2）若，求数列前项和 .
20．（12分）在中，角的对边分别为，已知， , 且 .
（1）求角的大小；
（2）若，面积为，试判断的形状，并说明理由.
21．（12分）已知椭圆：，是坐标原点，，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，过作的外角的平分线的垂线，垂足为，且
（1）求椭圆方程：
（2）设直线：与椭圆交于，两点，且直线，，的斜率之和为0（其中为坐标原点）
①求证：直线经过定点，并求出定点坐标：
②求面积的最大值
22．（10分）已知分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的一点，且的面积为1.
（1）求椭圆的短轴长；
（2）过原点的直线与椭圆交于两点，点是椭圆上的一点，若为等边三角形，求的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】根据给定条件求出，再利用余弦定理求出即可计算作答.
【详解】双曲线C：中，，其渐近线，它与x轴的夹角为，即，
在中，，由余弦定理得：，
即，整理得：，解得，
所以面积为.
故选：B
2、A
【解析】作出图示，根据空间向量的加法运算法则，即可得答案.
【详解】如图示：连接OF,

因为P为EF中点，，F为BC的中点，
则

，
故选：A
3、C
【解析】根据等差数列的性质易得，，再应用等差数列前n项和公式及等差中项、下标和的性质可得、，即可确定答案.
【详解】因为是等差数列且，，
所以，
，.
故选：C.
4、A
【解析】过点且与原点O距离最远的直线垂直于直线，再由点斜式求解即可
【详解】过点且与原点O距离最远的直垂直于直线，
，
∴过点且与原点O距离最远的直线的斜率为，
∴过点且与原点O距离最远的直线方程为：
，即.
故选：A
5、C
【解析】先对函数求导，再由，可求出的关系式，然后求
【详解】由，得，
因为，
所以，
所以，
故选：C
6、A
【解析】利用基本不等式求得的最小值，把问题转化为恒成立的类型，求解的最大值即可.
【详解】,
，且a,b为正数，
，
当且仅当，即时，，
若不等式对任意实数x恒成立，
则对任意实数x恒成立，
即对任意实数x恒成立，
，
，
故选：A
【点睛】本题主要考查了恒成立问题，基本不等式求最值，二次函数求最值，属于中档题.
7、D
【解析】A.将直线方程的一般式化为斜截式可得；B.令y＝0可得；C.求出直线m斜率即可判断；D.设要求直线的方程为，将代入即可.
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A，直线l：，即，其斜率，则倾斜角是，A错误；
对于B，直线l：，令y＝0，可得，l在x轴上的截距为，B错误；
对于C，直线m：，其斜率，，故直线m与直线l不垂直，C错误；
对于D，设要求直线的方程为，将代入，可得t＝0，即要求直线为，D正确；
故选：D
8、B
【解析】根据题意，结合圆柱和球的体积公式进行求解即可.
【详解】由题意可知：该旋转体的体积等于底面半径为，高为的圆柱的体积减去半径为的球的体积，即，
故选：B
9、C
【解析】直线l过定点D(1，1)，当时，弦长最短.
【详解】由，
圆心，半径，
，
由，故直线l过定点，
∵，故D在圆C内部，直线l始终与圆相交，
当时，直线l被圆截得的弦长最短，，弦长＝.
故选：C.
10、C
【解析】先求出，然后根据复数的模求解即可
【详解】，
，
则，
故选：C
11、C
【解析】求得、、的值，由此可得出所求椭圆的方程.
【详解】由题意可得，解得，，
由于椭圆的对称轴是坐标轴，则该椭圆的方程为或.
故选：C.
12、B
【解析】由前项和公式直接作差可得.
【详解】数列的前n项和(n∈N*)，所以
.
故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、 ①. ②.
【解析】根据题意得到，再利用叠加法求解即可.
【详解】由题知：，，
，
所以，，，……，，
所以，，……，，
即，
所以.
故答案为：；
14、##
【解析】先求出的范围，再利用面积公式可求面积的最大值.
【详解】圆即为，
直线为过原点的直线，如图，连接，

故，解得，
此时，故的面积为，
当且仅当时等号成立，此时即，
故答案为：.
15、
【解析】利用正弦定理将已知条件转化为边之间的关系，然后用余弦定理求得C；利用三角形面积公式，结合两角差的正弦函数公式和二倍角公式得，再利用辅助角公式得，最后利用函数的值域计算得结论.
【详解】因为
所以由正弦定理得：，
即，
所以由余弦定理可得：，
又，
故.
由正弦定理得：，，
所以

，
所以当时，S最大，.
若，则面积的最大值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了两角和与差的三角函数公式，二倍角公式及应用，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，函数的图象与性质，属于中档题.
16、
【解析】由可得，从而可求出实数a的值
【详解】因为直线与，且，
所以，解得，
故答案：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）最大值为-1，最值为-5.
【解析】(1)根据给定条件结合函数的导数建立方程，求解方程并验证作答.
(2)利用导数探讨函数在上的单调性即可计算作答.
【小问1详解】
依题意：，则，解得：，
当时，，
当时，，当时，，则函数在处有极值，
所以.
【小问2详解】
由(1)知：，，
，当时，，当时，，
因此，在上单调递增，在上单调递减，
于是得，而，，则，
所以函数在上的最大值为-1，最值为-5.
18、（1）；（2）
【解析】（1）根据离心率和最大距离建立等式即可求解；
（2）根据弦长，求出直线方程，解出点的坐标即可得解.
【详解】（1）椭圆的离心率为，右焦点为F，且E上一点P到F的最大距离3，所以，所以，
所以椭圆E的方程；
（2）A，B为椭圆E上的两点，线段AB过点F，且其垂直平分线交x轴于H点，
所以线段AB所在直线斜率一定存在，所以设该直线方程代入，
整理得：，设，
，
，

整理得：，
当时，线段中点坐标，
中垂线方程：，；
当时，线段中点坐标，
中垂线方程：，，
综上所述：.
19、（1），
（2）
【解析】（1）将A、B点坐标代入，计算求解，即可得答案.
（2）由（1）可得解析式，即可得，利用分组求和法，结合等比数列的求和公式，即可得答案.
【小问1详解】
由已知，可得，
所以， 解得， .
【小问2详解】
由（1）得，又，
所以，
故
 .
20、（1）；（2）为等边三角形
【解析】（1）由（2b﹣c）cosA﹣acosC＝0及正弦定理，得sinB（2cosA﹣1）＝0，从而得角A；
（2）由S△ABC＝bcsinA＝，可得bc＝3，①；再由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA可得b2+c2＝6，②；联立①②可求得b＝c＝，从而可判断△ABC的形状
【详解】（1）由（2b﹣c）cosA﹣acosC＝0及正弦定理，得（2sinB﹣sinC）cosA﹣sinAcosC＝0，
∴2sinBcosA﹣sin（A+C）＝0，sinB（2cosA﹣1）＝0
∵0＜B＜π，∴sinB≠0，∴cosA＝．∵0＜A＜π，
∴A＝
（2）△ABC为等边三角形，∵S△ABC＝bcsinA＝，
即bcsin＝，∴bc＝3，①
∵a2＝b2+c2﹣2bccosA，A＝，a＝，∴b2+c2＝6，②
由①②得b＝c＝，∴△ABC为等边三角形
【点睛】本题考查三角形形状的判断，着重考查正弦定理与余弦定理的应用，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题
21、（1）；（2）①证明见解析，；②.
【解析】（1）根据椭圆的定义以及角平分线的性质可得，，结合点在椭圆上，以及即可求出的值，进而可得椭圆的方程.
（2）①设，，联立直线与椭圆方程，求得，，利用斜率之和等于得出关于的方程，解得即可得所过的定点，②由弦长公式求出，点到直线的距离公式求得高，由面积公式表示三角形的面积，利用基本不等式即可求最值.
【详解】（1）如图，由题意可知，由椭圆定义知，则
，连接，所以，所以

又在椭圆上则，解得：，，
所以椭圆的方程为：；
（2）①证明：设，，
联立，整理可得：，
所以，可得，
，，
设直线，，的斜率为，，，因为直线，，的斜率之和为0，所以，即所以，由，所以，
所以直线恒过定点；
②由①可得：，
原点到直线的距离，
所以，
因为，当且仅当时，
即，即时取等号，
所以，即面积的最大值为1
【点睛】解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：
22、（1）2（2）
【解析】（1）根据题意表示出的面积，即可求得结果；
（2）分类讨论直线斜率情况，然后根据是等边三角形，得到，联立直线和椭圆方程，用点的坐标表示上述关系式，化简即可得答案.
【小问1详解】
因为，所以，
又因为，所以，
，
所以，则椭圆的短轴长为2.
【小问2详解】
若为等边三角形，应有，即.
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，且，
此时若为等边三角形，则点应为长轴顶点，且，即.
当直线的斜率为0时，直线的方程为，且，
此时若为等边二角形，则点应为短轴顶点，
此时,不为等边三角形.
当直线的斜率存在且不为0时，设其方程为，则直线的方程为.
由得,
同理.
因为，所以，
解得.
因为，所以，则，即.
综上，的取值范围是.