2025-2026学年山东省济南第二中学数学高一上期末统考试题含解析.doc

2025-2026学年山东省济南第二中学数学高一上期末统考试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数的零点为，，则的值为（）
A.1 B.2
C.3 D.4
2．若tan α＝2，则的值为（）
A.0 B.
C.1 D.
3．已知集合，则（ ）
A. B.或
C. D.或
4．命题“，”否定是（）
A.， B.，
C.， D.，
5．若函数是定义域为的奇函数，且当时，，则当时，（）
A. B.
C. D.
6．已知数列是首项，公比的等比数列，且，，成等差数列，则公比等于（ ）
A. B.
C. D.
7．已知直三棱柱的顶点都在球上，且，，，则此直三棱柱的外接球的表面积是（ ）
A. B.
C. D.
8．已知函数，则函数（）
A.有最小值 B.有最大值
C.有最大值 D.没有最值
9．设函数，若互不相等的实数，，，满足，则的取值范围是
A. B.
C. D.
10．过点，直线的斜率等于1，则m的值为（ ）
A.1 B.4
C.1或3 D.1或4
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的反函数为___________
12．已知函数，若函数在区间内有3个零点，则实数的取值范围是______
13．在矩形ABCD中，AB=2，AD=1．设
①当时，t=___________；
②若，则t的最大值是___________
14．已知圆柱的底面半径为，高为2，若该圆柱的两个底面的圆周都在一个球面上，则这个球的表面积为______
15．下列四个命题中：
①若奇函数在上单调递减，则它在上单调递增
②若偶函数在上单调递减，则它在上单调递增；
③若函数为奇函数，那么函数的图象关于点中心对称；
④若函数为偶函数，那么函数的图象关于直线轴对称；
正确的命题的序号是___________.
16．若，且，则的值为__________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知能表示成一个奇函数和一个偶函数的和.
（1）请分别求出与的解析式；
（2）记，请判断函数的奇偶性和单调性，并分别说明理由.
（3）若存在，使得不等式能成立，请求出实数的取值范围.
18．已知的部分图象如图.

（1）求函数的解析式；
（2）求函数在上的单调增区间.
19．解答题
（1） ；
（2）lg20+log10025
20．已知函数，
（1）若，求的单调区间；
（2）若有最大值3，求实数的值.
21．定义在上的函数满足对于任意实数，都有，且当时，，
（1）判断的奇偶性并证明；
（2）判断的单调性，并求当时，的最大值及最小值；
（3）解关于的不等式.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】根据零点存在性定理即可求解.
【详解】是上的增函数，
又，
函数的零点所在区间为，
又，
.
故选：C.
2、B
【解析】将目标是分子分母同时除以，结合正切值，即可求得结果.
【详解】＝＝.
故选：
【点睛】本题考查齐次式的化简和求值，属基础题.
3、C
【解析】直接利用补集和交集的定义求解即可.
【详解】由集合，
可得：或，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本该考查了集合的运算，解决该题的关键是掌握补集和交集的定义..
4、B
【解析】根据命题的否定的定义判断.
【详解】命题“，”的否定是：，
故选：B
5、D
【解析】设，由奇函数的定义可得出，即可得解.
【详解】当时，，由奇函数的定义可得.
故选：D.
6、A
【解析】由等差数列性质得，由此利用等比数列通项公式能求出公比
【详解】数列是首项，公比的等比数列，且，，成等差数列，
，
，
解得（舍或
故选A
【点睛】本题考查等比数列的公比的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用
7、C
【解析】设点为外接圆的圆心，根据，得到是等边三角形，求得外接圆的半径r，再根据直三棱柱的顶点都在球上，由求得，直三棱柱的外接球的半径即可.
【详解】如图所示：

设点为外接圆的圆心，
因为，
所以，又，
所以等边三角形，
所以，
又直三棱柱的顶点都在球上，
所以外接球的半径为，
所以直三棱柱的外接球的表面积是，
故选：C
8、B
【解析】换元法后用基本不等式进行求解.
【详解】令，则，
因为，，故，
当且仅当，即时等号成立，故函数有最大值，
由对勾函数的性质可得函数，即有最小值.
故选：B
9、B
【解析】
不妨设，由，得，结合图象可知，，则，令，可知在上单调递减，故，则，故选B.
【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质、指数与对数的运算以及数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质
10、A
【解析】解方程即得解.
【详解】由题得.
故选：A
【点睛】本题主要考查斜率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】先求出函数的值域有，再得出，从而求得反函数.
【详解】由，可得
由，则，
所以
故答案为：.
12、
【解析】函数在区间内有3个零点，等价于函数和的图象在区间内有3个交点，作出函数和的图象，利用数形结合可得结果
【详解】
若，则，
，

若，则，
，

若，则，
，
，，，，
设和，则方程在区间内有3个不等实根，
等价为函数和在区间内有3个不同的零点
作出函数和的图象，如图，
当直线经过点时，两个图象有2个交点，此时直线为，
当直线经过点，时，两个图象有3个交点；
当直线经过点和时，两个图象有3个交点，此时直线为，
当直线经过点和时，两个图象有3个交点，此时直线为，
要使方程，两个图象有3个交点，
在区间内有3个不等实根，
则 ，故答案为
【点睛】本题主要考查函数的零点与方程根的个数的应用，以及数形结合思想的应用，属于难题
13、 ①.0 ②.
【解析】利用坐标法可得，结合条件及完全平方数的最值即得.
【详解】由题可建立平面直角坐标系，则，

∴，
∴，
∴当时，，
因为，要使t最大，
可取，即时，
t 取得最大值是.
故答案为：0；.
14、
【解析】直接利用圆柱的底面直径，高、球体的直径构成直角三角形其中为斜边，利用勾股定理求出的值，然后利用球体的表面积公式可得出答案
【详解】
设球的半径为，由圆柱的性质可得，
圆柱的底面直径，高、球体的直径构成直角三角形其中为斜边，
因为圆柱的底面半径为，高为2，
所以，，
因此，这个球的表面积为，故答案为
【点睛】本题主要圆柱的几何性质，考查球体表面积的计算，意在考查空间想象能力以及对基础知识的理解与应用，属于中等题
15、②③
【解析】根据奇函数、偶函数的性质可判断①②，结合平移变换可判断③④.
【详解】奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性，故①错误，②正确；因为函数为奇函数，图象关于原点对称，的图象可以由的图象向右平移1个单位长度得到，故的图象关于点对称，故③正确；函数的图象可以由函数的图象向左平移1个单位长度得到，因为为偶函数，图象关于y轴对称，所以的图象关于直线轴对称，故④错误.
故答案为：②③
16、
【解析】∵且,∴，
∴，
∴cosα+sinα=0,或cosα−sinα= (不合题意,舍去)，
∴，
故答案为−1.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）见解析；（3）.
【解析】（1）由函数方程组可求与的解析式.
（2）利用奇函数的定义和函数单调性定义可证明为奇函数且为上的增函数.
（3）根据（2）中的结果可以得到在上有解，参变分离后利用换元法可求的取值范围.
【详解】（1）由已知可得，则，
由为奇函数和为偶函数，上式可化为，
联合，
解得.
（2）由（1）得定义域，
①由，可知为上的奇函数.
②由，
设，则，
因为，故，，
故即，故在上单调递增
（3）由为上的奇函数，
则等价于
，
又由在上单调递增，则上式等价于，
即，
记，令，
可得，易得当时，即时，
由题意知，，故所求实数的取值范围是.
【点睛】本题考查与指数函数有关的复合函数的单调性和奇偶性以及函数不等式有解，前者根据定义进行判断，后者利用单调性和奇偶性可转化为常见不等式有解，本题综合性较高.
18、（1）；（2）和.
【解析】（1）由图知：且可求，再由，结合已知求，写出解析式即可.
（2）由正弦函数的单调性，知上递增，再结合给定区间，讨论值确定其增区间.
【详解】（1）由图知：且，
∴.
又，即，而，
∴.
综上，.
（2）∵，
∴.
当时，；当时，，又，
∴函数在上的单调增区间为和.
19、（1）1； （2）2.
【解析】（1）利用对数的运算性质可求得原式=lg10=1；
（2）同理可求得原式=2log55=2；
【详解】（1）
（2）lg20+log10025
【点睛】本题考查对数的运算性质，熟练掌握积、商、幂的对数的运算性质是解决问题的关键，属于中档题
20、（1）递减区间为，递增区间； （2）.
【解析】（1）当时，设，根据指数函数和二次函数的单调性，结合复合函数的单调性，即可求解；
（2）由题意，函数，分，和三种情况讨论，结合复合函数的单调性，即可求解.
【详解】（1）当时，，
设，则函数开口向下，对称轴方程为，
所以函数在单调递增，在单调递减，
又由指数函数在上为单调递减函数，
根据复合函数的单调性，可得函数在单调递减，在单调递增，
即函数的递减区间为，递增区间.
（2）由题意，函数，
①当时，函数，根据复合函数的单调性，可得函数在上为单调递增函数，此时函数无最大值，不符合题意；
②当时，函数，根据复合函数单调性，可得函数在在单调递增，在单调递减，
当时，函数取得最大值，即，解得；
③当时，函数，根据复合函数的单调性，可得函数在在单调递减，在单调递增，此时函数无最大值，不符合题意.
综上可得，实数的值为.
【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定及应用，其中解答中熟记指数函数的图象与性质，二次函数的性质，以及复合函数的单调性的判定方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.
21、（1）奇函数，证明见解析；（2）在上是减函数．最大值为6，最小值为-6； （3）答案不唯一，见解析
【解析】（1）令，求出，再令，由奇偶性的定义，即可判断；
（2）任取，则．由已知得，再由奇函数的定义和已知即可判断单调性，由，得到，，再由单调性即可得到最值；
（3）将原不等式转化为，再由单调性，即得，即，再对b讨论，分，，，，共5种情况分别求出它们的解集即可.
【详解】（1）令，则，即有，
再令，得，则，
故为奇函数；
（2）任取，则．由已知得，
则，
∴，∴在上是减函数
由于，则，，．由在上是减函数，得到当时，的最大值为，最小值为；
（3）不等式，即为.
即，即有，
由于在上是减函数，则，即为，
即有，
当时，得解集为；
当时，即有，
①时，，此时解集为，
②当时，，此时解集为，
当时，即有，
①当时，，此时解集为，
②当时，，此时解集为
【点睛】本题考查抽象函数的基本性质和不等式问题，常用赋值法探索抽象函数的性质，本题第三小问利用函数性质将不等式转化为含参的一元二次不等式的求解问题，着重考查分类讨论思想，属难题.