广东省佛山一中2025-2026学年数学高一上期末质量检测试题含解析.doc

广东省佛山一中2025-2026学年数学高一上期末质量检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．下列命题正确的是
A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线平行
D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
2．下列函数中，值域为的偶函数是
A. B.
C. D.
3．已知向量，，，则
A. B.
C. D.
4．的外接圆的圆心为O，半径为1，若，且，则的面积为（　　）
A. B.
C. D.1
5．若函数是定义域为的奇函数，且当时，，则当时，（）
A. B.
C. D.
6．设，，定义运算“△”和“”如下：，.若正数，，，满足，，则（）
A.△，△ B.，
C.△， D.，△
7．已知函数的定义域为,则函数的定义域为(　　)
A. B.
C. D.
8．若，，则下列结论正确的是（）
A. B.
C. D.
9．王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的
A.充要条件 B.既不充分也不必要条件
C.充分不必要条件 D.必要不充分条件
10．对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”．已知直线，与圆的位置关系是“平行相交”，则实数的取值范围为
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数，且函数恰有两个不同零点，则实数的取值范围是___________.
12．已知函数的图上存在一点,函数的图象上存在一点，恰好使两点关于直线对称，则满足上述要求的实数的取值范围是___________
13．_____________
14．设函数.则函数的值域为___________；若方程在区间上的四个根分别为，，，，则___________.
15．函数的反函数为___________.
16．已知，且，则=_______________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数且为自然对数的底数）.
（1）判断函数的奇偶性并证明
(2)证明函数在是增函数
(3)若不等式对一切恒成立，求满足条件的实数的取值范围
18．某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲覆盖面积为24m2，三月底测得覆盖面积为36m2，凤眼莲覆盖面积y（单位：m2）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择
（1）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
（2）求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份
（参考数据：lg2≈03010，lg3≈0.4771）
19．已知.
（1）若是奇函数，求的值，并判断的单调性（不用证明）；
（2）若函数在区间(0,1)上有两个不同的零点，求的取值范围.
20．已知函数的图象关于原点对称，其中为常数
（1）求的值；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围
21．已知函数（常数）.
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）当时，求最小值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确.
[点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质，需要熟练掌握课本基础知识的定义、定理及公式.
2、D
【解析】值域为的偶函数；
值域为R的非奇非偶函数；
值域为R的奇函数；
值域为的偶函数.
故选D
3、D
【解析】A项：利用向量的坐标运算以及向量共线的等价条件即可判断.
B项：利用向量模的公式即可判断.
C项：利用向量的坐标运算求出数量积即可比较大小.
D项：利用向量加法的坐标运算即可判断.
【详解】A选项：因为，，所以与不共线.
B选项：，，显然，不正确.
C选项：因为，所以，不正确；
D选项：因为，所以，正确；答案为D.
【点睛】主要考查向量加、减、数乘、数量积的坐标运算，还有向量模的公式以及向量共线的等价条件的运用.属于基础题.
4、B
【解析】由，利用向量加法的几何意义得出△ABC是以A为直角的直角三角形，又|，从而可求|AC|，|AB|的值，利用三角形面积公式即可得解
【详解】由于，由向量加法的几何意义，O为边BC中点，∵△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，∴三角形应该是以BC边为斜边的直角三角形，∠BAC＝，斜边BC=2，又∵∴|AC|=1，|AB|=，∴S△ABC=,故选B.
【点睛】本题主要考查了平面向量及应用，三角形面积的求法，属于基础题
5、D
【解析】设，由奇函数的定义可得出，即可得解.
【详解】当时，，由奇函数的定义可得.
故选：D.
6、D
【解析】根据所给运算，取特殊值检验即可排除ACB，得到答案.
【详解】令
满足条件，
则，可排除A,C；
令满足。
则，排除B;
故选：D
7、C
【解析】解不等式即得函数的定义域.
【详解】由题得，解之得，所以函数的定义域为.
故答案为C
【点睛】本题主要考查复合函数的定义域的求法，考查具体函数的定义域的求法和对数函数的单调性，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
8、C
【解析】根据不等式的性质，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】对于A：因为，所以，因为，所以，故A错误；
对于B：因为，所以，且，所以，故B错误；
对于C：因为，所以，又，所以，故C正确；
对于D：因为，，所以，所以，故D错误.
故选：C
9、D
【解析】根据题意“非有志者不能至也”可知到达“奇伟、瑰怪，非常之观”必是有志之士，故“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的必要条件，故选D.
10、D
【解析】根据定义先求出l1，l2与圆相切，再求出l1，l2与圆外离，结合定义即可得到答案.
【详解】圆C的标准方程为(x＋1)2＋y2＝b2.由两直线平行，可得a(a＋1)－6＝0，解得a＝2或a＝－3.当a＝2时，直线l1与l2重合，舍去；当a＝－3时，l1：x－y－2＝0，l2：x－y＋3＝0.由l1与圆C相切，得，由l2与圆C相切，得.当l1、l2与圆C都外离时，.所以，当l1、l2与圆C“平行相交”时，b满足，故实数b的取值范围是(，)∪(，＋∞)
故选D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】作出函数的图象，把函数的零点转化为直线与函数图象交点问题解决.
【详解】由得，即函数零点是直线与函数图象交点横坐标，
当时，是增函数，函数值从1递增到2(1不能取)，当时，是增函数，函数值为一切实数，
在坐标平面内作出函数的图象，如图，

观察图象知，当时，直线与函数图象有2个交点，即函数有2个零点，
所以实数的取值范围是：.
故答案为：
12、
【解析】函数g(x)=lnx的反函数为，
若函数f(x)的图象上存在一点P，函数g(x)=lnx的图象上存在一点Q，恰好使P、Q两点关于直线y=x对称，则函数g(x)=lnx的反函数图象与f(x)图象有交点，
即在x∈R上有解，，
∵x∈R，∴
∴即.
三、
13、
【解析】利用指数与对数的运算性质，进行计算即可
【详解】.
【点睛】本题考查了指数与对数的运算性质，需要注意，属于基础题
14、 ①. ②.
【解析】根据二倍角公式，化简可得，分别讨论位于第一、二、三、四象限，结合辅助角公式，可得的解析式，根据的范围，即可得值域；作出图象与，结合图象的对称性，可得答案.
【详解】由题意得

当时，即时，
，
又，
所以；
当时，即时，
，
又，
所以；
当时，即时，
，
又，
所以；
当时，即时，
，
又，
所以；
综上：函数的值域为.
因为，所以，
所以，
作出图象与图象，如下如所示

由图象可得，
所以
故答案为：；
15、
【解析】由题设可得，即可得反函数.
【详解】由，可得，
∴反函数为.
故答案为：.
16、
【解析】由同角三角函数关系求出，最后利用求解即可.
【详解】由，且得
则，
则.
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析；（2）见解析；（3）.
【解析】（1）定义域为，关于原点对称，又， 为奇函数
(2)任取, ,且，
则=== ，又在上为增函数且，
， ，
,
在上是增函数
(3)由（1）知在上为奇函数且单调递增，由得
由题意得，即恒成立，
又 ．综上得的取值范围是
点睛：本题是一道关于符合函数的题目，总体方法是掌握函数奇偶性和单调性的知识，属于中档题．在证明函数单调性时可以运用定义法证明，在解答函数中的不等式时，要依据函数的单调性，比较两数大小，含有参量时要分离参量计算最值
18、（1）选择较为合适；
（2）6月
【解析】（1）根据指数函数和幂函数的性质可得合适的函数的模型.
（2）根据选择的函数模型可求最小月份.
小问1详解】
指数函数随着自变量的增大其函数的增长速度越大，幂函数随着自变量的增大其函数的增长速度越小，因为凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，故选择较为合适.
故，故，.
所以.
【小问2详解】
由（1），放入面积为，令，
则，
故凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份为6月.
19、 (1)答案见解析；(2)
【解析】(1)函数为奇函数，则，据此可得，且函数在上单调递增；
(2)原问题等价于在区间(0,1)上有两个不同的根，换元令，结合二次函数的性质可得的取值范围是.
试题解析：
（1）因为是奇函数，
所以，
所以；
在上是单调递增函数;
(2) 在区间(0,1)上有两个不同的零点，
等价于方程在区间(0,1)上有两个不同的根，
即方程在区间(0,1)上有两个不同的根，
所以方程在区间上有两个不同的根，
画出函数在(1,2)上的图象,如下图,

由图知,当直线y=a与函数的图象有2个交点时,
所以的取值范围为.
点睛：函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用
20、（1）
（2）
【解析】（1）函数的图象关于原点对称，所以为奇函数，有，代入即可得出的值；
（2）时，恒成立转化为即，令，求在的最大值即可.
【小问1详解】
函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数，有，
即，解得，当时，不满足题意，所以；
【小问2详解】
由，得，即，
令，易知在上单调递减，
则的最大值为.又因为当时，恒成立，
即在恒成立，所以.
21、（Ⅰ）；（Ⅱ）答案见解析.
【解析】（Ⅰ）由，得到，再由，利用一元二次不等式的解法结合对数函数的单调性求解；.
（Ⅱ）化简得到函数，令，，转化为函数在上的最小值求解.，
【详解】（Ⅰ）当时，
，
由得，
即：，
解得：，
所以的解集为.
（Ⅱ），
，
.
令，因为，所以，
若求在上的最小值，
即求函数在上的最小值，
，，对称轴为.
①当时，即时，
函数在为减函数，所以；
②当时，即时，
函数在为减函数，在为增函数，
所以；
③当，即时，
函数在为增函数，
所以.
综上，当时，的最小值为；
当时，的最小值为；
当时，的最小值为.
【点睛】方法点睛：(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解