2026届内蒙古包头市第六中学数学高一上期末联考模拟试题含解析.doc

2026届内蒙古包头市第六中学数学高一上期末联考模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若、是全集真子集，则下列四个命题①；②；③；④中与命题等价的有
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
2．已知幂函数的图象过点，则的值为（）
A. B.1
C.2 D.4
3．△ABC的内角、、的对边分别为、、,若,,,则（）
A. B.
C. D.
4．下列区间包含函数零点的为（ ）
A. B.
C. D.
5．已知的图象在上存在个最高点，则的范围（ ）
A. B.
C. D.
6．已知函数的部分图象如图所示，则将的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数解析式为（）

A. B.
C. D.
7．福州新港江阴港区地处福建最大海湾兴化湾西北岸，全年全日船泊进出港不受航道及潮水的限制，是迄今为止“我国少有、福建最佳”的天然良港.如图，是港区某个泊位一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）

A.5 B.6
C.8 D.10
8．函数的零点所在的区间（ ）
A. B.
C. D.
9．下列各式正确是
A. B.
C. D.
10．已知的值域为，那么的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．请写出一个同时满足下列两个条件的函数：____________.
（1） ，若则（2）
12．要制作一个容器为4，高为无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）
13．已知函数的图象如图所示，则函数的解析式为__________.

14．若，其中，则的值为______
15．在中，若，则的形状一定是___________三角形.
16．据资料统计，通过环境整治.某湖泊污染区域的面积与时间t（年）之间存在近似的指数函数关系，若近两年污染区域的面积由降至．则使污染区域的面积继续降至还需要_______年
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．2021年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”、“拉姆达”、“奥密克戎”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松.某科研机构对某变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间进行一次记录，用表示经过单位时间的个数，用表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据：

1
2
3
4
5
6

（万个）

10

50

250

若该变异毒株的数量（单位：万个）与经过个单位时间的关系有两个函数模型与可供选择.
（1）判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
（2）求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于1亿个.（参考数据：）
18．已知函数是定义域为的奇函数.
（1）求实数的值；
（2）若，不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）若，且函数在上最小值为，求的值.
19．设非空集合P是一元一次方程的解集.若，，满足，，求的值.
20．已知定义域为的函数是奇函数
（1）求实数，的值；
（2）判断的单调性，并用单调性的定义证明；
（3）当时，恒成立，求实数的取值范围
21．（1）化简：.
（2）已知都是锐角，，求值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】直接根据集合的交集、并集、补集的定义判断集合间的关系，从而求出结论
【详解】解：由得Venn图，

①；
②；
③；
④；
故和命题等价的有①③，
故选：B
【点睛】本题主要考查集合的包含关系的判断及应用，考查集合的基本运算，考查了Venn图的应用，属于基础题
2、C
【解析】设出幂函数的解析式，利用给定点求出解析式即可计算作答.
【详解】依题意，设，则有，解得，于得，
所以.
故选：C
3、C
【解析】由已知利用余弦定理可求的值,利用等腰三角形的性质可求的值.
【详解】解：∵,,,
∴由余弦定理可得,
求得：c＝1.
∴
∴.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形中应用,属于基础题.
4、C
【解析】根据零点存在定理，分别判断选项区间的端点值的正负可得答案.
【详解】，，
，，
，又为上单调递增连续函数
故选：C .
5、A
【解析】根据题意列出周期应满足的条件，解得，代入周期计算公式即可解得的范围.
【详解】由题可知，解得，
则，
故选：A
【点睛】本题考查正弦函数图像的性质与周期，属于中档题.
6、C
【解析】根据给定图象求出函数的解析式，再平移，代入计算作答.
【详解】观察图象得，令函数周期为，有，解得，则，
而当时，，则有，又，则，
因此，，将的图象向左平移个单位得：，
所以将的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数解析式为.
故选：C
7、C
【解析】从图象中的最小值入手，求出，进而求出函数的最大值，即为答案.
【详解】从图象可以看出，函数最小值为-2，即当时，函数取得最小值，即，解得：，所以，当时，函数取得最大值，，这段时间水深（单位：m）的最大值为8m.
故选：C
8、B
【解析】，
，
零点定理知，
的零点在区间上
所以选项是正确的
9、D
【解析】对于，，，故，故错误；
根据对数函数的单调性，可知错误
故选
10、C
【解析】先求得时的值域，再根据题意，当时，值域最小需满足，分析整理，即可得结果.
【详解】当，，
所以当时，，
因为的值域为R，
所以当时，值域最小需满足
所以，解得，
故选：C
【点睛】本题考查已知函数值域求参数问题，解题要点在于，根据时的值域，可得时的值域，结合一次函数的图像与性质，即可求得结果，考查分析理解，计算求值的能力，属基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、，答案不唯一
【解析】由条件（1） ，若则.可知函数为R上增函数；
由条件（2）.可知函数可能为指数型函数.
【详解】令，
则为R上增函数，满足条件（1）.
又，
故
即成立.
故答案为：，（，等均满足题意）
12、160
【解析】设底面长方形的长宽分别为和,先求侧面积，进一步求出总的造价，利用基本不等式求出最小值.
【详解】设底面长方形的长宽分别为和,则，

所以总造价
当且仅当的时区到最小值
则该容器的最低总造价是160.
故答案为：160.
13、
【解析】根据最大值得，再由图像得周期，从而得，根据时，取得最大值，利用整体法代入列式求解，再结合的取值范围可得.
【详解】根据图像的最大值可知，，由，可得，所以，再由得，，所以，因为，所以，故函数的解析式为.
故答案为：.
14、；
【解析】
因为，所以
点睛：三角函数求值三种类型
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.
15、等腰
【解析】根据可得，利用两角和的正弦公式展开，再逆用两角差的正弦公式化简，结合三角形内角的范围可得，即可得的形状.
【详解】因，，
所以，
即，
所以，可得：，
因为，，所以
所以，即，故是等腰三角形.
故答案为：等腰.
16、2
【解析】根据已知条件，利用近两年污染区域的面积由降至，求出指数函数关系的底数，再代入求得污染区域将至还需要的年数.
【详解】设相隔为t年的两个年份湖泊污染区域的面积为和，则可设
由题设知，，，，即，解得，
假设需要x年能将至，即，，，解得
所以使污染区域的面积继续降至还需要2年.
故答案为：2

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）选择函数更合适，解析式为
（2）11个单位
【解析】（1）将，和，分别代入两种模型求解解析式，再根据时的值估计即可；
（2）根据题意，进而结合对数运算求解即可.
【小问1详解】
若选，将，和，代入得
，解得
得
将代入，，不符合题意
若选，将，和，代入得
，解得
得
将代入得，符合题意
综上：所以选择函数更合适，解析式为
【小问2详解】
解：设至少需要个单位时间，
则，即
两边取对数：

因为，所以的最小值为11
至少经过11个单位时间不少于1亿个
18、（1）0（2）（3）2.
【解析】（1）是定义域为的奇函数,由，得到的值；（2）根据得到的范围，从而得到的单调性，结合的奇偶性，得到将不等式转化为在上恒成立，通过得到的范围；（3）由得到，从而得到解析式，令，得到，动轴定区间分类讨论，根据最小值为，得到的值.
【详解】（1）因为是定义域为的奇函数，所以，所以，所以，经检验，当时，为上的奇函数
（2）由（1）知:，
因为，所以，
又且，所以，
所以是.上的单调递减函数，
又是定义域为的奇函数，
所以，

即在上恒成立，
所以，
即，
所以实数的取值范围为
（3）因为，所以，
解得或(舍去)，
所以，
令，
则，
因为在R上为增函数，且，
所以，
因为在上最小值为，
所以在上的最小值为，
因为的对称轴为，
所以当时，
，解得或（舍去），
当时，，解得（舍去），
综上可知:.
【点睛】本题考查根据函数奇偶性求参数的值，根据函数的性质解不等式，二次函数在上恒成立问题，根据函数的最小值求参数的范围，运用了换元的方法，属于中档题.
19、答案见解析
【解析】由题意可得，写出P的所有可能，结合一元二次方程的根与系数的关系求解即可.
【详解】由于一元二次方程的解集非空，且，
，所以，
即满足题意.
当时，由韦达定理得，，此时：
当时，由韦达定理得，，此时；
当时，由韦达定理得，，此时.
20、（1），（2）在上单调递增，证明见解析（3）的取值范围为.
【解析】（1）根据得到，根据计算得到，得到答案.
（2）化简得到，，计算，得到是增函数.
（3）化简得到，参数分离，求函数的最大值得到答案.
【详解】（1）因为在定义域R上是奇函数.所以，
即，所以．又由，即，
所以，检验知，当，时，原函数是奇函数.
（2）在上单调递增.证明：由（1）知，
任取，则，
因为函数在上是增函数，且，所以，
又，
所以，即，
所以函数R上单调递增.
（3）因为是奇函数，从而不等式等价于，
因为在上是增函数，由上式推得，
即对一切有恒成立，设，
令，
则有，，所以，
所以，即的取值范围为.
21、（1）；（2）
【解析】（1）通分，然后用辅助角公式计算即可；
（2）先通过角范围求出，再通过，利用两角差的正弦公式计算即可.
【详解】（1）
；
（2）因为都是锐角，则，
又，，
，