2025年内蒙古固阳县第一中学数学高二第一学期期末监测模拟试题含解析.doc

2025年内蒙古固阳县第一中学数学高二第一学期期末监测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”的关系是（）
A.既不互斥也不对立 B.互斥又对立
C.互斥但不对立 D.对立
2．椭圆的两焦点之间的距离为
A. B.
C. D.
3．已知点是椭圆方程上的动点，、是直线上的两个动点，且满足，则（）
A.存在实数使为等腰直角三角形的点仅有一个
B.存在实数使为等腰直角三角形的点仅有两个
C.存在实数使为等腰直角三角形的点仅有三个
D.存在实数使为等腰直角三角形的点有无数个
4．如果椭圆的弦被点平分，那么这条弦所在的直线的方程是（ ）
A. B.
C. D.
5．点是正方体的底面内（包括边界）的动点.给出下列三个结论：
①满足的点有且只有个；
②满足的点有且只有个；
③满足平面的点的轨迹是线段.
则上述结论正确的个数是（）
A. B.
C. D.
6．在等差数列中，若，，则公差d=（）
A. B.
C.3 D.－3
7．从编号分别为,,,,的五个大小完全相同的小球中,随机取出三个小球,则恰有两个小球编号相邻的概率为()
A. B.
C. D.
8．在空间直角坐标系中，已知点M是点在坐标平面内的射影，则的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
9．我国新冠肺炎疫情防控进入常态化，各地有序进行疫苗接种工作，下面是我国甲、乙两地连续11天的疫苗接种指数折线图，根据该折线图，下列说法不正确的是（ ）

A.这11天甲地指数和乙地指数均有增有减
B.第3天至第11天，甲地指数和乙地指数都超过80%
C.在这11天期间，乙地指数的增量大于甲地指数的增量
D.第9天至第11天，乙地指数的增量大于甲地指数的增量
10．已知圆 ，圆 C2 ： x2+y2－x－4y+7=0 ，则“ a=1 ”是“两圆内切”的（ ）
A.充分必要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
11．已知等差数列的前项和为，若，，则（）
A. B.
C. D.
12．已知等差数列为其前项和，且，且，则（ ）
A.36 B.117
C. D.13
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知抛物线：上有两动点，，且，则线段的中点到轴距离的最小值是___________.
14．在空间直角坐标系中，已知点A，若点P满足，则_______
15．如图所示，二面角为，是棱上的两点，分别在半平面内，且，，，，，则的长______

16．直线与两坐标轴相交于，两点，则线段的垂直平分线的方程为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知的三个顶点是，，
（1）求边所在的直线方程；
（2）求经过边的中点，且与边平行的直线的方程
18．（12分）如图，在直棱柱 中，已知，点分别的中点.

（1）求异面直线与所成的角的大小；
（2）求点到平面的距离；
（3）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角的大小是? 若存在，请指出点的位置，若不存在，请说明理由.
19．（12分）如图，在直角梯形中，．直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且使得平面平面．M为线段的中点，P为线段上的动点

（1）求证：；
（2）当点P满足时，求证：直线平面；
（3）是否存在点P，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，试确定P点的位置；若不存在，请说明理由
20．（12分）如图，四棱锥中，，且，

（1）求证：平面平面；
（2）若是等边三角形，底面是边长为3的正方形，是中点，求直线与平面所成角的正弦值.
21．（12分）已知椭圆的长轴长是6，离心率是.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设O为坐标原点，过点的直线l与椭圆E交于A，B两点，判断是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
22．（10分）某保险公司根据官方公布的历年营业收入，制成表格如下：
表1
年份
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
年份序号x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
营业收入y（亿元）
0.52
9.36
33.6
132
352
571
912
1207
1682
2135
由表1，得到下面的散点图：

根据已有的函数知识，某同学选用二次函数模型（b和a是待定参数）来拟合y和x的关系.这时，可以对年份序号做变换，即令，得，由表1可得变换后的数据见表2.
表2
T
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
Y
0.52
9.36
33.6
132
352
571
912
1207
1682
2135
（1）根据表中数据，建立y关于t的回归方程（系数精确到个位数）；
（2）根据（1）中得到的回归方程估计2021年的营业收入，以及营业收入首次超过4000亿元的年份.
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
参考数据：.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】根据互斥事件、对立事件的定义可得答案.
【详解】把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不能同时发生，但能同时不发生，所以它们的关系是互斥但不对立.
故选：C.
2、C
【解析】根据题意，由于椭圆的方程为,故可知长半轴的长为,那么可知两个焦点 的坐标为，因此可知两焦点之间的距离为，故选C
考点：椭圆的简单几何性质
点评：解决的关键是将方程变为标准式，然后结合性质得到结论，属于基础题
3、B
【解析】求出点到直线的距离的取值范围，对点是否为直角顶点进行分类讨论，确定、的等量关系，综合可得出结论.
【详解】设点，则点到直线的距离为.
因为椭圆与直线均关于原点对称，
①若为直角顶点，则.
当时，此时，不可能是等腰直角三角形；
当时，此时，满足是等腰直角三角形的直角顶点有两个；
当时，此时，满足是等腰直角三角形的直角顶点有四个；
②若不是直角顶点，则.
当时，满足是等腰直角三角形的非直角顶点不存在；
当时，满足是等腰直角三角形的非直角顶点有两个；
当时，满足是等腰直角三角形非直角顶点有四个.
综上所述，当时，满足是等腰直角三角形的点有八个；
当时，满足是等腰直角三角形的点有六个；
当时，满足是等腰直角三角形的点有四个；
当时，满足是等腰直角三角形的点有两个；
当时，满足是等腰直角三角形的点不存在.
故选：B.
4、B
【解析】设该弦所在直线与椭圆的两个交点分别为，，则，利用点差法可得答案.
【详解】设该弦所在直线与椭圆的两个交点分别为，，则
因为，两式相减可得，，即
由中点公式可得，所以，即，
所以AB所在直线方程为，即
故选：B
5、C
【解析】对于①，根据线线平行的性质可知点即为点，因此可判断①正确；
对于②，根据线面垂直的判定可知平面,，由此可判定的位置，进而判定②的正误；
对于③，根据面面平行可判定平面平面，因此可判断此时一定落在上，由此可判断③的正误.
【详解】如图：

对于①，在正方体中， ,
若异于 ，则过点至少有两条直线和平行，这是不可能的，
因此底面内（包括边界）满足的点有且只有个，即为点，
故①正确；
对于②，正方体中，平面 ,平面，
所以 ,
又，所以，
而 ,平面 ,故平面,
因此和垂直的直线一定落在平面内，
由是平面上的动点可知，一定落在上，这样的点有无数多个，故②错误；
对于③， ,平面 ,则平面，
同理平面,而 ,
所以平面平面，而平面，
所以一定落在平面上，
由是平面上的动点可知，此时一定落在上，
即点的轨迹是线段，故③正确，
故选：C.
6、C
【解析】由等差数列的通项公式计算
【详解】因为，，所以.
故选：C
【点睛】本题考查等差数列的通项公式，利用等差数列通项公式可得，
7、C
【解析】利用古典概型计算公式计算即可
【详解】从编号分别为,,,,的五个大小完全相同的小球中,随机取出三个小球
共有种不同的取法,
恰好有两个小球编号相邻的有:
,共有6种
所以概率为
故选:C
8、C
【解析】点在平面内的射影是坐标不变，坐标为0的点.
【详解】点在坐标平面内的射影为，故点M的坐标是
故选：C
9、C
【解析】由折线图逐项分析得到答案.
【详解】对于选项A，从折线图中可以直接观察出甲地和乙地的指数有增有减，故选项A正确；
对于选项B，从第3天至第11天，甲地指数和乙地指数都超过80%，故选项B正确；
对于选项C，从折线图上可以看出这11天甲的增量大于乙的增量，故选项C错误；
对于选项D，从折线图上可以看出第9天至第11天，乙地指数的增量大于甲地指数的增量，故D正确；
故选：C.
10、B
【解析】先得出圆的圆心和半径，求出两圆心间的距离，半径之差，根据两圆内切得出方程，从而得出答案.
【详解】圆 的圆心 半径
的圆心 半径
两圆心之间的距离为
两圆的半径之差为
当两圆内切时，，解得或
所以当，可得两圆内切，当两圆内切时，不能得出（可能）
故“ ”是“两圆内切”的充分不必要条件
故选：B
11、B
【解析】根据和可求得，结合等差数列通项公式可求得.
【详解】设等差数列公差为，
由得：；又，
，.
故选：B.
12、B
【解析】根据等差数列下标的性质，，进而根据条件求出，然后结合等差数列的求和公式和下标性质求得答案.
【详解】由题意，，即为递增数列，所以，又，又，联立方程组解得：.于是，.
故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、2
【解析】设抛物线的焦点为，由，结合抛物线的定义可得线段的中点到轴距离的最小值.
【详解】设抛物线的焦点为，点在抛物线的准线上的投影为，点在直线上的投影为，线段的中点为，点到轴的距离为，则

,
∴ ，当且仅当即三点共线时等号成立，
∴ 线段的中点到轴距离的最小值是2，
故答案为：2.

14、
【解析】设，表示出，，根据即可得到方程组，解得、、，即可求出的坐标，即可得到的坐标，最后根据向量模的坐标表示计算可得；
【详解】解：设，所以，，因为，所以，所以，解得，即，所以，所以；
故答案为：
15、
【解析】推导出，从而，结合，，，能求出的长
【详解】二面角为，是棱上的两点，分别在半平面、内，
且
所以,
所以，
，

，
的长
故答案为
【点睛】本题主要考查空间向量的运算法则以及数量积的运算法则，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，是中档题
16、
【解析】由直线的方程求出直线的斜率以及，两点坐标，进而可得线段的垂直平分线的斜率以及线段的中点坐标，利用点斜式即可求解.
【详解】由直线可得，
所以直线的斜率为，所以线段的垂直平分线的斜率为，
令可得；令可得；即，，
所以线段的中点坐标为，
所以线段的垂直平分线的方程为，
整理得.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）利用直线方程的两点式求解；
（2）先求得AB的中点，再根据直线与AC平行，利用点斜式求解.
【小问1详解】
因为，，
所以边所在的直线方程为，
即；
【小问2详解】
因为，，
所以AB的中点为：，
又，
所以直线方程为：，
即.
18、（1）
（2）
（3）不存在，理由见解析
【解析】（1）由题意，以点A为原点，方向分别为x轴、y轴与z轴的正方向，建立空间直角坐标系.，利用向量法求解异面直线成角即可.
（2）先求出平面DEF的一个法向量，然后利用向量法求解点面距离.
（3）设（），由 可得关于的方程，从而得出答案.
【小问1详解】
由题意，以点A为原点，方向分别为x轴、y轴与z轴的正方向，建立空间直角坐标系.
则，，，，
故 ， ，
从而，
所以异面直线AE与DF所成角的大小为.
小问2详解】
，设平面DEF的法向量为 ，
则，即，
取，得到平面DEF的一个法向量为.
点A到平面DEF的距离为.
【小问3详解】
假设存在满足条件的点M，设（），则 ，
从而 .
即，即，此方程无实数解，
故不存在满足条件的点M.

19、（1）见解析（2）见解析
（3）存在点P，
【解析】（1）建立空间坐标系求两直线的方向向量，根据数量积为0可证的结论；
（2）求得直线的方向向量和面的法向量，证得两向量垂直即可；
（3）求直线的方向向量和面的法向量的夹角即可.
【小问1详解】
由已知可得，，，两两垂直，以A为原点，
，，所在直线为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系，
因为，
所以，，，，，，
，，，
∴，，
∴，，
即，，
∴平面
又∵平面，
∴
【小问2详解】
设点坐标为，则，
∵，∴，，，
解得：，，，即
设平面的一个法向量，
∵，，
∴，即，
令，则，，得
又，
∴
∴直线平面
【小问3详解】
设，则,
设的一个法向量为
∵，，
∴，解，
令，则，，得
设与平面所成角为，则
．解得：或(舍).
故存在点P，，即点P为距的第一个5等分点

20、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）根据线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理进行证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式，结合线面角定义进行求解即可.
【小问1详解】
∵，∴，，又，∴，∵，面，∴面，平面ABCD,
平面平面
【小问2详解】
∵平面平面，交AD于点F，平面，平面平面，∴平面，
以为原点，，的方向分别为轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，，
设平面的法向量为，则，求得法向量为，
由，所以直线与平面所成角的正弦值为.

21、（1）；
（2）存在，.
【解析】(1)根据给定条件求出椭圆长短半轴长即可代入计算作答.
(2)当直线l的斜率存在时，设出直线l的方程，与椭圆E的方程联立，利用韦达定理、向量数量积运算，推理计算作答.
【小问1详解】
依题意，，半焦距为c，则离心率，即，有，
所以椭圆E的标准方程为：.
【小问2详解】
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
由消去y并整理得：，设，
则，，，
，，

，
要使为定值，必有，解得，此时，
当直线l的斜率不存在时，由对称性不妨令，，，
当时，，
即当时，过点的任意直线l与椭圆E交于A，B两点，恒有，
所以存在满足条件.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值
22、（1）；（2）估计2021年的营业收入约为2518亿元，估计营业收入首次超过4000亿元的年份为2024年.
【解析】（1）根据的公式，将题干中的数据代入，即得解；
（2）代入，可估计2021年的营业收入；令，可求解的范围，继而得到的范围，即得解
【详解】（1），
，
故回归方程为.
（2）2021年对应的t的值为121，营业收入，
所以估计2021年的营业收入约为2518亿元.
依题意有，解得，故.
因为，
所以估计营业收入首次超过4000亿元的年份序号为14，即2024年.