2025年辽宁省大连市一〇三中学高一数学第一学期期末质量检测试题含解析.doc

2025年辽宁省大连市一〇三中学高一数学第一学期期末质量检测试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，其终边与单位圆相交于点，则（ ）
A. B.
C. D.
2．半径为，圆心角为弧度的扇形的面积为（）
A. B.
C. D.
3．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
4．已知函数在 上有两个零点，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
5．已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，则（）
A. B.
C. D.
6．集合用列举法表示是（）
A. B.
C. D.
7．点到直线的距离等于（ ）
A. B.
C.2 D.
8．已知，则（ ）
A.a<b<c B.a<c<b
C.c<a<b D.b<c<a
9．已知函数，则（）
A.5 B.
C. D.
10．已知点在外，则直线与圆的位置关系为（）
A.相交
B.相切
C.相离
D.相交、相切、相离三种情况均有可能
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若函数有4个零点，则实数a的取值范围为___________.
12．将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则__________.
13．函数的最小正周期是__________
14．已知函数的定义域为R，，且函数为偶函数，则的值为________，函数是________函数（从“奇”、“偶”、“非奇非偶”、“既奇又偶”中选填一个）.
15．设b＞0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列之一，则a的值为______________

16．已知函数，若，则实数_________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数，（，且）
（1）求函数的定义域；
（2）当时，求关于的不等式的解集
18．如图所示四棱锥中，底面，四边形中，，，，

求四棱锥的体积；
求证：平面；
在棱上是否存在点异于点，使得平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由
19．已知函数.
（1）判断的奇偶性并证明；
（2）用函数单调性的定义证明在区间上单调递增；
（3）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.
20．如图，某公园摩天轮的半径为40，圆心O距地面的高度为50，摩天轮做匀速转动，每3转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在距地面最近处.

（1）已知在时点P距离地面的高度为，求时，点P距离地面的高度；
（2）当离地面以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中在点P处有多少时间可以看到公园的全貌.
21．已知函数， 且.
（1）判断的奇偶性；
（2）证明在上单调递增；
（3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】由已知利用任意角的三角函数求得，再由二倍角的余弦公式求解即可
【详解】解：因为角的终边与单位圆相交于点，
则，
故选：C
2、A
【解析】由扇形面积公式计算
【详解】由题意，
故选：A
3、A
【解析】当时,在上是增函数，且恒大于零，即
当时,在上是减函数，且恒大于零，即 ，因此选A
点睛:1．复合函数单调性的规则
若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．即“同增异减”
函数单调性的性质
(1)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数，更进一步，即增＋增＝增，增－减＝增，减＋减＝减，减－增＝减；
(2)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反
4、B
【解析】先化简，再令，求出范围，根据在上有两个零点，作图分析，求得的取值范围.
【详解】，由，又，
则可令，
又函数在上有两个零点，作图分析：

则，解得.
故选：B.
【点睛】本题考查了辅助角公式，换元法的运用，三角函数的图象与性质，属于中档题.
5、D
【解析】先利用三角函数的恒等变换确定点P的坐标，再根据三角函数的定义求得答案.
【详解】,
,
即，则，
故选：D.
6、D
【解析】解不等式，结合列举法可得结果.
【详解】.
故选：D
7、C
【解析】由点到直线的距离公式求解即可.
【详解】解：由点到直线的距离公式得，
点到直线的距离等于.
故选：C
【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，属基础题.
8、A
【解析】
找中间量0或1进行比较大小，可得结果
【详解】，所以，
故选：A.
【点睛】此题考查利用对数函数、指数函数的单调性比较大小，属于基础题
9、A
【解析】分段函数求值，根据自变量的取值范围代相应的对应关系
【详解】因为
所以
故选：A
10、A
【解析】结合点与圆的位置关系，直线和圆的位置关系列不等式，由此确定正确答案.
【详解】是圆C：外一点，
，
圆心到直线的距离：，
直线与圆相交
故选：A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】将函数转化为方程，作出的图像，结合图像分析即可.
【详解】令得，
作出的函数图像，如图，
因为有4个零点，
所以直线与的图像有4个交点，
所以.
故答案为：

12、0
【解析】根据题意，可知将函数的图象向右平移个单位长度后得到，由函数图象的平移得出的解析式，即可得出的结果.
【详解】解：由题意可知，将函数的图象向右平移个单位长度后得到，
则，
所以.
故答案为：0.
13、
【解析】根据正弦函数的最小正周期公式即可求解
【详解】因为
由正弦函数的最小正周期公式可得
故答案为：
14、 ①.7 ②.奇
【解析】利用函数的奇偶性以及奇偶性定义即可求解.
【详解】函数为偶函数，
由，则，
所以，
所以，
，定义域为，
定义域关于原点对称.
因为，
所以，
所以函数为奇函数.
故答案为：7；奇
15、-1
【解析】根据题中条件可先排除①,②两个图象，然后根据③，④两个图象都经过原点可求出a的两个值，再根据二次函数图象的开口方向就可确定a的值.
【详解】∵b＞0∴二次函数的对称轴不能为y轴，∴可排除掉①,②两个图象
∵③，④两个图象都经过原点，∴a2﹣1＝0，∴a＝±1
∵当a＝1时，二次函数图象的开口向上，对称轴在y轴左方，
∴第四个图象也不对，∴a＝﹣1，
故答案为：-1
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，做题时注意题中条件的利用，合理地利用排除法解决选择题
16、
【解析】分和求解即可.
【详解】当时，，所以（舍去）；
当时，，所以（符合题意）.
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）求使函数有意义的的范围即可；
（2）根据函数的单调性解不等式组可得答案.
【小问1详解】
由题意可得，解得，
故函数的定义域为
【小问2详解】
当时，函数是增函数，
因为，所以，解得
故原不等式的解集为
18、（1）4；（2）见解析；（3）不存在.
【解析】利用四边形是直角梯形，求出，结合底面，利用棱锥的体积公式求解即可求；先证明，，结合，利用线面垂直的判定定理可得平面；用反证法证明，假设存在点异于点使得平面证明平面平面，与平面与平面相交相矛盾，从而可得结论
【详解】显然四边形ABCD是直角梯形，

又底面

平面ABCD，平面ABCD，
在直角梯形ABCD中，，
，，即
又，
平面；
不存在，下面用反证法进行证明
假设存在点异于点使得平面PAD
，且平面PAD，
平面PAD，
平面PAD
又，
平面平面PAD
而平面PBC与平面PAD相交，得出矛盾
【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，棱锥的体积，平面与平面平行的判定定理，考查空间想象能力，逻辑推理能力．证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.
19、（1）为奇函数，证明见解析
（2）证明见解析（3）
【解析】（1）求出函数的定义域，然后验证、之间的关系，即可证得函数为奇函数；
（2）任取、，且，作差，因式分解后判断差值的符号，即可证得结论成立；
（3）由参变量分离法可得出，令，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
证明：函数为奇函数，理由如下：
函数的定义域为，，
所以为奇函数.
【小问2详解】
证明：任取、，且，则，，

，
所以，，所以在区间上单调递增.
【小问3详解】
解：不等式在上恒成立
等价于在上恒成立，
令，因为，所以，
则有在恒成立，
令，，则，
所以，所以实数的取值范围为.
20、（1）70；（2）0.5.
【解析】（1）根据题意，确定的表达式，代入运算即可；（2）要求，即，解不等式即可.
【详解】（1）依题意，，，，
由得，所以.
因为，所以，又，所以.
所以，
所以.
即时点P距离地面的高度为70m.
（2）由（1）知.
令，即，
从而，
∴.
∵，
∴转一圈中在点P处有0.5min的时间可以看到公园的全貌.
【点睛】本题考查了已知三角函数模型的应用问题，解答本题的关键是能根据题目条件，得出相应的函数模型，作出正确的示意图，然后再由三角函数中的相关知识进行求解，解题时要注意综合利用所学知识与题中的条件，是中档题
21、（1）奇函数（2）详见解析（3）
【解析】（1）运用代入法，可得m值，计算f（-x）与f（x）比较即可得到结论；
（2）运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号和下结论
（3）若不等式在上恒成立，所以在上恒成立，求即可得解.
【详解】（1）即所以
函数的定义域为

所以为奇函数
（2）设且，则

因为且
所以，
所以即
则在上单调递增
（3）若不等式在上恒成立
所以在上恒成立
由（2）知在上递增
所以
所以
【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和证明，考查不等式恒成立，采用分离参数是常用方法，属于中档题