2025-2026学年四川省成都市七中数学高一第一学期期末调研模拟试题含解析.doc

2025-2026学年四川省成都市七中数学高一第一学期期末调研模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知集合，区间，则=（ ）
A. B.
C. D.
2．直线l1：x+ay+1＝0与l2：（a﹣3）x+2y﹣5＝0（a∈R）互相垂直，则直线l2的斜率为（ ）
A. B.
C.1 D.﹣1
3．已知，且，则的最小值为（）
A.3 B.4
C.5 D.6
4．已知函数有唯一零点，则（）
A. B.
C. D.1
5．若是第三象限角，且，则是
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
6．下列各对角中，终边相同的是（ ）
A.和 B.和
C.和 D.和
7．已知是定义在上的奇函数，且，当且时.已知，若对恒成立，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
8．已知，则
A.-2 B.-1
C. D.2
9．下列四个函数，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
10．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．计算______
12．已知函数，.
（1）若函数的值域为R，求实数m的取值范围；
（2）若函数是函数的反函数，当时，函数的最小值为，求实数m的值；
（3）用表示m，n中的最大值，设函数，有2个零点，求实数m的范围.
13．函数是幂函数，且在上是减函数，则实数__________.
14．设函数，若函数满足对，都有，则实数的取值范围是_______.
15．如图是某个铁质几何体的三视图，其中每个小正方形格子的边长均为个长度单位，将该铁质几何体熔化，制成一个大铁球，如果在熔制过程中材料没有损耗，则大铁球的表面积为_______________________.

16．已知圆C1：（x+1）2+（y-1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称，则圆C2的方程为______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于A、B两点
(1)求公共弦AB的长；
(2)求经过A、B两点且面积最小的圆的方程
18．如图，在四边形中，，，，为等边三角形，是的中点.设，.

（1）用，表示，，
（2）求与夹角的余弦值.
19．已知，.
（1）求；
（2）若角的终边上有一点，求.
20．已知圆C过点，且与圆M：关于直线对称
求圆C的方程；
过点P作两条相异直线分别与圆C相交于点A和点B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由
21．已知，且
（1）求的值；
（2）求的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】利用交集的运算律求
【详解】∵ ，，
∴．
故选：D.
2、C
【解析】利用直线l1：x+ay+1＝0与l2：（a﹣3）x+2y﹣5＝0（a∈R）互相垂直，则 ，解出即可.
【详解】因为直线l1：x+ay+1＝0与l2：（a﹣3）x+2y﹣5＝0（a∈R）互相垂直.
所以，即.
解得：.
故选：C
【点睛】本题考查由两条直线互相垂直求参数的问题，属于基础题
3、C
【解析】依题意可得，则，再利用基本不等式计算可得；
【详解】解：因为且，所以，所以
当且仅当，即，时取等号；
所以的最小值为
故选：C
【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
4、B
【解析】令，转化为有唯一零点，根据偶函数的对称性求解.
【详解】因为函数，
令，
则为偶函数，
因为函数有唯一零点，
所以有唯一零点，
根据偶函数对称性，则，
解得，
故选：B
5、D
【解析】根据是第三象限角，写出角的集合，进一步得到的集合，再根据得到答案
【详解】是第三象限角，
，
则，
即是第二象限或者第四象限角，
，是第四象限角
故选：D
6、C
【解析】利用终边相同的角的定义，即可得出结论
【详解】若终边相同，则两角差，
A.，故A选项错误；
B.，故B选项错误；
C.，故C选项正确；
D.，故D选项错误.
故选：C.
【点睛】本题考查终边相同的角的概念，属于基础题.
7、A
【解析】由奇偶性分析条件可得在上单调递增，所以，进而得，结合角的范围解不等式即可得解.
【详解】因为是定义在上的奇函数，
所以当且时，
根据的任意性，即的任意性可判断在上单调递增，
所以，
若对恒成立，则，
整理得，所以，
由，可得，
故选：A.
【点睛】关键点点睛，本题解题关键是利用，结合变量的任意性，可判断函数的单调性，属于中档题.
8、B
【解析】，，则，故选B.
9、A
【解析】先判断各函数最小正周期，再确定各函数在区间上单调性，即可选择判断.
【详解】最小正周期为，在区间上单调递减；
最小正周期为，在区间上单调递减；
最小正周期为，在区间上单调递增；
最小正周期为，在区间上单调递增；
故选：A
10、B
【解析】令，则可得，解出即可.
【详解】令，其对称轴为，
要使在上是增函数，
则应满足，解得.
故选：B.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、11
【解析】进行分数指数幂和对数式的运算即可
【详解】原式
故答案为11
【点睛】本题考查对数式和分数指数幂的运算，熟记运算性质，准确计算是关键，是基础题.
12、（1）
（2）
（3）
【解析】( 1 )函数的值域为R,可得,求解即可;
( 2)设分类论可得m的值;
(3)对m分类讨论可得结论.
【小问1详解】
值域为R,

∴
【小问2详解】
，.
设，，
①若即时，，
②若，即时，，舍去
③若即时，，无解，舍去
综上所示：
【小问3详解】
①显然，当时，在无零点，舍去
②当时，，舍去
③时，解分别为，，
只需控制，不要均大于等于1即可
Ⅰ：，，，舍去
Ⅱ：，无解，
综上：
13、2
【解析】根据函数为幂函数求参数m，讨论所求得的m判断函数是否在上是减函数，即可确定m值.
【详解】由题设，，即，解得或，
当时，，此时函数在上递增，不合题意；
当时，，此时函数在上递减，符合题设.
综上，.
故答案为：2
14、
【解析】首先根据题意可得出函数在上单调递增；然后根据分段函数单调性的判断方法，同时结合二次函数的单调性即可求出答案.
【详解】因为函数满足对，都有，
所以函数在上单调递增.
当时，，
此时满足在上单调递增，且；
当时，，其对称轴为，
当时，上单调递增，所以要满足题意，需，
即；
当时，在上单调递增，所以要满足题意，需，
即；
当时，单调递增，且满足，所以满足题意.
综上知，实数的取值范围是.
故答案为：.
15、
【解析】由已知得该铁质几何体是由一个小铁球和一个铁质圆锥体拼接而成，根据圆锥和球体的体积公式可得答案.
【详解】该铁质几何体是由一个小铁球和一个铁质圆锥体拼接而成，体积之和为，
设制成的大铁球半径为，则，得，故大铁球的表面积为.
故答案为：.
16、
【解析】在圆C2上任取一点（x，y），则此点关于直线对称点（y+1，x-1）在圆C1：上，所以有（y+1+1）2+（x-1-1）2=1，即，
所以答案为
考点：点关于直线的对称点的求法
点评：本题考查一曲线关于一直线对称的曲线方程的求法：在圆C2上任取一点（x，y），则此点关于直线的对称点（y+1，x-1）在圆C1上

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) (2) (x＋2)2＋(y－1)2＝5.
【解析】(1)直接把两圆的方程作差消去二次项即可得到公共弦所在的直线方程,利用点到直线距离公式以及勾股定理可得结果；(2) 经过A、B两点且面积最小的圆就是以为直径的圆，求出中点坐标及的长度，则以为直径的圆的方程可求.
【详解】(1)圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝方程相减,
可得得x－2y＋4＝0，
此为公共弦AB所在的直线方程
圆心C1(－1，－1)，半径r1＝.
C1到直线AB的距离为d＝
故公共弦长|AB|＝2.
(2)过A、B且面积最小的圆就是以AB为直径的圆，
x－2y＋4＝0与x2＋y2＋2x＋2y－8＝0联立可得，
，其中点坐标为，
即圆心为，半径为，
所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5.
【点睛】本题主要考查点到直线距离公式以及圆的弦长的求法，求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.
18、（1），；（2）.
【解析】（1）利用向量的线性运算即平面向量基本定理确定，与，的关系；
（2）解法一：利用向量数量积运算公式求得向量夹角余弦值；解法二：建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示确定向量夹角余弦值.
【详解】解法一：
（1）由图可知.
因为E是CD的中点，所以.
（2）因为，为等边三角形，所以，，
所以，
所以，
.
设与的夹角为，则，
所以在与夹角的余弦值为.
解法二：（1）同解法一.
（2）以A为原点，AD所在直线为x轴，过A且与AD垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，
则，，，.
因为E是CD的中点，所以，
所以，，
所以，
.
设与的夹角为，则，
所以与夹角的余弦值为.
【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用
19、（1）
（2）
【解析】（1）由条件求得，将所求式展开计算
（2）由条件求得与，再由二倍角与两角和的正切公式计算
小问1详解】
，，则
故
【小问2详解】
角终边上一点，
则
由（1）可得，

20、（1）（2）直线AB和OP一定平行．证明见解析
【解析】由已知中圆C过点，且圆M：关于直线对称，可以求出圆心坐标，即可求出圆C的方程；
由已知可得直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，设PA：，PB：，求出A，B坐标后，代入斜率公式，判断直线OP和AB斜率是否相等，即可得到答案
【详解】由题意可得点C和点关于直线对称，
且圆C和圆M的半径相等，都等于r
设，由且，解得：，
故原C的方程为
再把点代入圆C的方程，求得
故圆的方程为：；
证明：过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，
且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，
则得直线OP和AB平行，
理由如下：由题意知，直线PA和直线PB斜率存在，且互为相反数，
故可设PA：，PB：
由，得，
因为的横坐标一定是该方程的解，，
同理可得
由于AB的斜率的斜率，
所以直线AB和OP一定平行
【点睛】本题主要考查了直线和圆的方程的应用，关于直线对称的圆的方程，其中根据已知条件求出圆C的方程是解答本题的关键，考查推理与运算能力，属于中档题
21、（1）7（2）
【解析】（1）根据题意求得，然后利用两角和的正切公式即可得出答案；
（2）利用诱导公式及二倍角的余弦公式，结合平方关系化弦为切计算即可得解.
【小问1详解】
解：由已知得，或，
∴或，
又∵，∴或，
又∵，∴，∴，
∴；
【小问2详解】
解：
.