2025-2026学年新疆石河子二中数学高二上期末质量检测模拟试题含解析.doc

2025-2026学年新疆石河子二中数学高二上期末质量检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知直线，，点是抛物线上一点，则点到直线和的距离之和的最小值为（ ）
A.2 B.
C.3 D.
2．已知为偶函数，且当时，，其中为的导数，则不等式的解集为()
A. B.
C. D.
3．若关于x的方程有解，则实数a的取值范围为（）
A. B.
C. D.
4．古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知O(0，0)，A(3，0)，动点P(x，y)满，则动点P轨迹与圆的位置关系是（）
A.相交 B.相离
C.内切 D.外切
5．正方体的棱长为2，E，F，G分别为，AB，的中点，则直线ED与FG所成角的余弦值为（ ）

A. B.
C. D.
6．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）
A. B.
C. D.
7．一质点的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），则该质点在时的瞬时速度为（）
A.4 B.12
C.15 D.21
8．德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响．他幼年时就表现出超人的数学天才，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列，则（）
A.96 B.97
C.98 D.99
9．设是等差数列的前n项和，若，，则（）
A.26 B.－7
C.－10 D.－13
10．已知直线和直线互相垂直，则等于（ ）
A.2 B.
C.0 D.
11．若用面积为48的矩形ABCD截某圆锥得到一个椭圆，且该椭圆与矩形ABCD的四边都相切.设椭圆的方程为，则下列满足题意的方程为（ ）
A. B.
C. D.
12．若，则复数在复平面内对应的点在（）
A.曲线上 B.曲线上
C.直线上 D.直线上
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知正项等比数列的前n项和为，且，则的最小值为_________
14．已知数列满足，则＝________.
15．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来1524石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为_______石
16．经过点作直线，直线与连接两点线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围是________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设等差数列的前项和为，已知，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18．（12分）已知椭圆的离心率为，右焦点为F，点A（a，0），且|AF|＝1
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F的直线l（不与x轴重合）交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别与直线x＝4交于点P，Q，求∠PFQ的大小
19．（12分）已知某电器市场由甲、乙、丙三家企业占有，其中甲厂产品的市场占有率为40％，乙厂产品的市场占有率为36％，丙厂产品的市场占有率为24％，甲、乙、丙三厂产品的合格率分别为，，
（1）现从三家企业的产品中各取一件抽检，求这三件产品中恰有两件合格的概率；
（2）现从市场中随机购买一台该电器，则买到的是合格品的概率为多少？
20．（12分）设a，b是实数，若椭圆过点，且离心率为.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过椭圆E的上顶点P分别作斜率为，的两条直线与椭圆交于C，D两点，且，试探究过C，D两点的直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；否则，说明理由.
21．（12分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接

（1）证明：．试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；
（2）记阳马的体积为，四面体的体积为，求的值；
（3）若面与面所成二面角的大小为，求的值
22．（10分）已知椭圆的右顶点为，上顶点为.离心率为，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，是椭圆上异于长轴端点的两点（斜率不为0），已知直线，且，垂足为，垂足为，若，且的面积是面积的5倍，求面积的最大值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】由抛物线的定义可知点到直线和的距离之和的最小值即为焦点到直线的距离.
【详解】解：由题意，抛物线的焦点为，准线为，
所以根据抛物线的定义可得点到直线的距离等于，
所以点到直线和的距离之和的最小值即为焦点到直线的距离，
故选：C.
2、A
【解析】根据已知不等式和要求解的不等式特征，构造函数，将问题转化为解不等式.通过已知条件研究g(x)的奇偶性和单调性即可解该不等式.
【详解】令，
则根据题意可知，，∴g(x)是奇函数，
∵，
∴当时，，单调递减，
∵g(x)是奇函数，g(0)＝0，∴g(x)在R上单调递减，
由不等式得，
.
故选：A.
3、C
【解析】将方程有解，转化为方程有解求解.
【详解】解：因为方程有解，
所以方程有解，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以实数a的取值范围为，
故选：C
4、A
【解析】首先求得点的轨迹，再利用圆心距与半径的关系，即可判断两圆的位置关系.
【详解】由条件可知，，
化简为：，
动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
圆是以为圆心，为半径的圆，两圆圆心间的距离，
所以两圆相交.
故选：A
5、B
【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标运算即可求解.
【详解】如图所示建立适当空间直角坐标系，

故选：B
6、C
【解析】作出辅助线，找到异面直线与所成角，进而利用余弦定理及勾股定理求出各边长，最后利用余弦定理求出余弦值.
【详解】如图所示，把三棱柱补成四棱柱，异面直线与所成角为

，
由勾股定理得：，，
∴
故选：C
7、B
【解析】由瞬时变化率的定义，代入公式求解计算.
【详解】由题意，该质点在时的瞬时速度为.
故选：B
8、C
【解析】令，利用倒序相加原理计算即可得出结果.
【详解】令，
，
两式相加得：
，
∴，
故选:C
9、C
【解析】直接利用等差数列通项和求和公式计算得到答案.
【详解】，，解得，故.
故选：C.
10、D
【解析】利用直线垂直系数之间的关系即可得出.
【详解】解：直线和直线互相垂直，则，解得：.
故选：D.
11、A
【解析】由椭圆与矩形ABCD的四边都相切得到再逐项判断即可.
【详解】由于椭圆与矩形ABCD的四边都相切，所以矩形两边长分别为， 由矩形面积为48，得，
对于选项B，D由于，不符合条件，不正确.对于选项A，，满足题意.对于选项C，不正确.
故选：A.
12、B
【解析】根据复数的除法运算，先化简，进而求出，再由复数的几何意义，即可得出结果.
【详解】因为，所以，
因此复数在复平面内对应的点为，可知其在曲线上.
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、16
【解析】根据是等比数列，由，即可得也是等比数列，结合基本不等式的性质即可求出的最小值.
【详解】是等比数列，，即，
也是等比数列，且，
，
可得：
，当且仅当时取等号，
的最小值为16.
故答案为：16
14、4
【解析】根据对数的运算性质得，可得，即数列是以2为公比的等比数列，代入等比数列的通项公式化简可得值.
【详解】因为，所以，即数列是以2为公比的等比数列，所以.
故答案为：4.
【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式以及对数的运算性质，熟练运用相应的公式即可，属于基础题.
15、168石
【解析】由题意，得这批米内夹谷约为石
考点：用样本估计总体
16、
【解析】求出的斜率，结合图形可得结论
【详解】，，而，
因此，
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）根据已知条件求得等差数列的首项和公差，由此求得.
（2）利用裂项求和法求得.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
则,解得，.
∴.
【小问2详解】
由（1）知.
∴.
∴.
18、（1）
（2）∠PFQ＝90°
【解析】（1）由题意得求出a，c，然后求解b，即可得到椭圆方程
（2）当直线l的斜率不存在时，验证，即∠PFQ＝90°．当直线l的斜率存在时，设l：y＝k（x﹣1），其中k≠0．联立得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．由题意，知Δ＞0恒成立，设M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理，结合直线MA的方程为．求出、．利用向量的数量积，转化求解即可
【小问1详解】
由题意得
解得a＝2，c＝1，
从而，
所以椭圆C的方程为
【小问2详解】

当直线l的斜率不存在时，有，，P（4，﹣3），Q（4，3），F（1，0），
则，，故，即∠PFQ＝90°
当直线l的斜率存在时，设l：y＝k（x﹣1），其中k≠0
联立得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0
由题意，知Δ＞0恒成立，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，
直线MA的方程为，
令x＝4，得，即，同理可得
所以，
因为
0，所以∠PFQ＝90°
综上，∠PFQ＝90°
19、（1）
（2）
【解析】（1）由相互独立事件的概率可得；
（2）根据各产品的市场占有率和合格率，由条件概率公式计算可得.
【小问1详解】
记随机抽取甲乙丙三家企业的一件产品，产品合格分别为事件，，，
则三个事件相互独立，恰有两件产品合格为事件D，
则

故从三家企业的产品中各取一件抽检，则这三件产品中恰有两件合格的概率是
【小问2详解】
记事件B为购买的电器合格，
记随机买一件产品，买到的产品为甲乙丙三个品牌分别为事件，，，
，，，，，，

故在市场中随机购买一台电器，买到的是合格品的概率为
20、（1）；
（2）过定点，坐标为.
【解析】（1）根据椭圆的离心率公式，结合代入法进行求解即可；
（2）根据直线斜率公式和一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.
【小问1详解】
因为椭圆离心率为，
所以有.
椭圆过点，所以，由可解：
，所以该椭圆方程为：；
【小问2详解】
由（1）可知：，
设直线的方程为：，若，由椭圆的对称性可知：，不符合题意，
当时，
直线的方程与椭圆方程联立得：，
设， ，
，
因为，所以，把代入得：
，
所以有或，
解得：或，
当时，直线，直线恒过定点，
此时与点重合，不符合题意，
当时，，直线恒过点，
当直线不存在斜率时，此时， ，因为，所以
，两点不在椭圆上，不符合题意，
综上所述：过C，D两点的直线过定点，定点坐标为.
【点睛】关键点睛：根据一元二次方程根与系数关系是解题的关键.
21、（1）证明见解析，是鳖臑，四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB
（2）4（3）
【解析】（1）由直线与直线，直线与平面的垂直的转化证明得出PB⊥EF，DE∩FE＝E，所以PB⊥平面DEF，即可判断DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，确定直角即可；
（2）PD是阳马P−ABCD的高，DE是鳖臑D−BCE的高，BC⊥CE，，由此能求出的值
（3）根据公理2得出DG是平面DEF与平面ACBD的交线．利用直线与平面的垂直判断出DG⊥DF，DG⊥DB，根据平面角的定义得出∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，转化到直角三角形求解即可
【小问1详解】
因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，
由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD＝D，
所以BC⊥平面PCD．而DE⊂平面PDC，所以BC⊥DE
又因为PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC
而PC∩CB＝C，所以DE⊥平面PBC．而PB⊂平面PBC，所以PB⊥DE
又PB⊥EF，DE∩FE＝E，所以PB⊥平面DEF
由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，
即四面体BDEF是一个鳖臑，
其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB；
【小问2详解】
由已知，PD是阳马P−ABCD的高，
∴，
由（Ⅰ）知，，
在Rt△PDC中，∵PD＝CD，
点E是PC的中点，
∴，
∴
【小问3详解】
如图所示，

在面BPC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ABCD的交线
由（1）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG
又因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG．而PD∩PB＝P，所以DG⊥平面PBD
所以DG⊥DF，DG⊥DB
故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，
设PD＝DC＝1，BC＝λ，有，
在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得，
则，解得
所以
故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，
22、（1）
（2）面积的最大值为
【解析】（1）由离心率为，，得，解得，，，进而可得答案
（2）设直线的方程为，，，，，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得，，由弦长公式可得，点到直线的距离，则，，由的面积是面积的5倍，解得，再计算的最大值，即可
【小问1详解】
解：因为离心率为，，
所以，
解得，，，
所以
【小问2详解】
解：设直线的方程为，，，，，
联立，得，
所以，，
所以，
点到直线的距离，
所以，
，
因为的面积是面积的5倍，
所以
所以或，
又因为，是椭圆上异于长轴端点的两点，
所以，
所以

，
令，
所以
，
因为在上单调递增，所以，（当时，取等号），
所以面积的最大值为．