2025-2026学年陕西省宝鸡中学、西安三中等五校数学高一第一学期期末联考试题含解析.doc

2025-2026学年陕西省宝鸡中学、西安三中等五校数学高一第一学期期末联考试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．下列四个函数，最小正周期是的是（）
A. B.
C. D.
2．将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是
A. B.
C. D.
3．设的两根是，则
A. B.
C. D.
4．正割及余割这两个概念是由伊朗数学家阿布尔威发首先引入的．定义正割，余割．已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的最小值为（）
A. B.
C. D.
5．已知为锐角，为钝角，，则（）
A. B.
C. D.
6．函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
7．若偶函数在区间上是减函数，是锐角三角形的两个内角，且，则下列不等式中正确的是（）
A. B.
C. D.
8．已知函数是上的增函数（其中且），则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
9．已知正实数满足,则最小值为
A. B.
C. D.
10．已知，且，则的最小值为（）
A.3 B.4
C.6 D.9
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为轴，建立如图平面直角坐标系，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，当秒时，___________.

12．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则__________.
13．将函数的图象向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数的图象，则函数的解析式为____________
14．幂函数的图像经过点，则的值为____
15．若函数（，且）在上是减函数，则实数的取值范围是__________.
16．函数函数的定义域为________________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）化简：.
（2）已知都是锐角，，求值.
18．已知函数f（x）=lg，
（1）求f（x）的定义域并判断它的奇偶性
（2）判断f（x）的单调性并用定义证明
（3）解关于x的不等式f（x）+f（2x2﹣1）＜0
19．已知定义在R上的函数
（1）若，判断并证明的单调性；
（2）解关于x的不等式.
20．如果函数满足：对定义域内的所有，存在常数，，都有，那么称是“中心对称函数”，对称中心是点.
（1）证明点是函数的对称中心；
（2）已知函数（且，）的对称中心是点.
①求实数的值；
②若存在，使得在上的值域为，求实数的取值范围.
21．已知关于x的不等式的解集为R，记实数a的所有取值构成的集合为M.
（1）求M；
（2）若，对，有，求t的最小值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】依次计算周期即可.
【详解】A选项：，错误；B选项：，错误；
C选项：，正确；D选项：，错误.
故选：C.
2、C
【解析】将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为y＝sin(x－);
再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是.故选C.
3、D
【解析】详解】解得或或即，
所以
故选D
4、D
【解析】由参变量分离法可得出，利用基本不等式可求得取值范围，即可得解.
【详解】由已知可得，可得，
因为，则，
因为
，
当且仅当时，等号成立，故.
故选：D.
5、C
【解析】利用平方关系和两角和的余弦展开式计算可得答案.
【详解】因为为锐角，为钝角，，
所以，
，
则
.
故选：C.
6、D
【解析】由函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组，由此可求得原函数的定义域.
【详解】函数有意义，只需且，解得且
因此，函数的定义域为.
故选：D.
7、C
【解析】根据，可得，根据的单调性，即可求得结果.
【详解】因为是锐角三角形的两个内角，故可得，
即，又因为，故可得；
是偶函数，且在单调递减，
故可得在单调递增，
故.
故选：C.
【点睛】本题考查由函数奇偶性判断函数的单调性，涉及余弦函数的单调性，属综合中档题.
8、D
【解析】利用对数函数、一次函数的性质判断的初步取值范围，再由整体的单调性建立不等式，构造函数，利用函数的单调性求解不等式，从求得的取值范围.
【详解】由题意必有，可得，且，
整理为．令
由换底公式有，

由函数为增函数，
可得函数为增函数，
注意到，
所以由，得，
即，实数a的取值范围为
故选:D.
9、A
【解析】由题设条件得，，利用基本不等式求出最值
【详解】由已知，，所以
当且仅当时等号成立，又，所以时取最小值
故选A
【点睛】本题考查据题设条件构造可以利用基本不等式的形式，利用基本不等式求最值
10、A
【解析】将变形为，再将变形为，整理后利用基本不等式可求最小值.
【详解】因为，故，
故，
当且仅当时等号成立，
故的最小值为3.
故选：A.
【点睛】方法点睛：应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】求出关于的函数解析式，将代入函数解析式，求出的值，可得出点的坐标，进而可求得的值.
【详解】由题意可知，，函数的最小正周期为，
则，所以，，
点对应，，则，可得，
，，故，
当时，，
因为，故点不与点重合，此时点，则.
故答案为：.
12、##
【解析】先求得是周期为的周期函数，然后结合周期性、奇偶性求得.
【详解】因为函数为上的奇函数，所以，
故，函数是周期为4的周期函数.
当时，，
则.
故答案为：
13、
【解析】利用函数的图象变换规律，即可得到的解析式
【详解】函数的图象向右平移个单位，可得到，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍，可得到.
故.
【点睛】本题考查了三角函数图象的平移变换，属于基础题
14、2
【解析】因为幂函数，因此可知f()=2
15、
【解析】根据分段函数的单调性，列出式子，进行求解即可.
【详解】由题可知：函数在上是减函数
所以，即
故答案为：
16、（1,3）
【解析】函数函数的定义域,满足
故答案为（1,3）.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】（1）通分，然后用辅助角公式计算即可；
（2）先通过角范围求出，再通过，利用两角差的正弦公式计算即可.
【详解】（1）
；
（2）因为都是锐角，则，
又，，
，

18、（1）奇函数（2）见解析（3）
【解析】（1）先求函数f（x）的定义域，然后检验与f（x）的关系即可判断；
（2）利用单调性的定义可判断f（x）在（﹣1，1）上单调性；
（3）结合（2）中函数的单调性及函数的定义域，建立关于x的不等式，可求
【详解】（1）的定义域为（-1,1）
因为，所以为奇函数
（2）为减函数．证明如下：
任取两个实数，且，
==
=
<0
<0,所以在（-1,1）上为单调减函数
（3）由题意：，
由（1）、（2）知是定义域内单调递减的奇函数

即不等式的解集为（，）
【点睛】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的定义的应用，及函数单调性在求解不等式中的应用
19、（1）在定义域R内单调递增；证明见解析
（2）答案见解析
【解析】（1）根据题意，利用待定系数法求出的值，即可得函数的解析式，利用作差法分析可得结论；
（2）根据题意，，即，求出的取值范围，按的取值范围分情况讨论，求出不等式的解集，即可得答案
【小问1详解】
若，则a=3，，
在定义域R内单调递增；
证明如下：任取，，且.
则，
根据单调递增的定义可知在定义域R内单调递增；
【小问2详解】
由，即，
即，得，
当a>1时，的解为；
当0<a<1时，的解为.
综上所述，
当a>1时，原不等式的解为；
当0<a<1时，原不等式的解为.
20、（1）见解析； （2）①，②.
【解析】（1）求得，根据函数的定义，即可得到函数的图象关于点对称.
（2）①根据函数函数的定义，利用，即可求得.
②由在上的值域，得到方程组，转化为为方程的两个根，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）由题意，函数，可得，
所以函数的图象关于点对称.
（2）①因为函数（且，）对称中心是点，
可得，即，解得（舍）.
②因为，∴，可得，
又因为，∴.
所以在上单调递减，
由在上的值域为
所以，，
即，即，
即为方程的两个根，且，
令，
则满足，解得，所以实数的取值范围.
【点睛】本题主要考查了函数的新定义，函数的基本性质的应用，以及二次函数的图象与性质的综合应用，其中解答中正确理解函数的新定义，合理利用函数的性质，以及二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
21、（1）
（2）1
【解析】（1）分类讨论即可求得实数a的所有取值构成的集合M；
（2）先求得的最大值2，再解不等式即可求得t的最小值.
【小问1详解】
当时，满足题意；
当时，要使不等式的解集为R，
必须，解得，
综上可知，所以
【小问2详解】
∵，∴，
∴，（当且仅当时取“=”）
∴，
∵，有，∴，
∴，∴或，
又，∴，∴ t的最小值为1.