2025年江苏省数学高一第一学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析.doc

2025年江苏省数学高一第一学期期末质量跟踪监视模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．《易经》是我国古代预测未来的著作，其中同时抛掷三枚古钱币观察正反面进行预测未知，则抛掷一次时出现两枚正面一枚反面的概率为
A. B.
C. D.
2．
A B.
C.1 D.
3．设则的值为
A. B.
C.2 D.
4．已知，都为单位向量，且，夹角的余弦值是，则　　
A. B.
C. D.
5．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A.函数图像关于对称
B.函数在上单调递增
C.若，则
D.函数的最小值为
6．已知全集，集合，，则∁U(A∪B ) =
A. B.
C. D.
7．若斜率为2的直线经过，，三点，则a，b的值是
A.， B.，
C.， D.，
8．已知为两条直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
9．已知函数（b，c为实数），.若方程有两个正实数根，，则的最小值是（）
A.4 B.2
C.1 D.
10．已知菱形的边长为2，，点分别在边上，,.若，则等于(　　)
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知，，，则，，的大小关系是______．（用“”连接）
12．已知则________
13．___________
14．已知平面向量，，，，，则的值是______
15．已知与是两个不共线的向量，且向量(+λ)与(-3)共线，则λ的值为_____.
16．已知函数,若方程有四个不同的解,且,则的最小值是______,的最大值是______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设函数是增函数，对于任意都有
（1）写一个满足条件的；
（2）证明是奇函数；
（3）解不等式
18．已知函数的最小正周期为，函数的最大值是，最小值是.
（1）求、、的值；
（2）指出的单调递增区间.
19．已知，，，.当k为何值时：
（1）；
（2）.
20．某厂家拟在年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量（即该产品的年产量）（单位：万件）与年促销费（单位：万元）满足（为常数），如果不举行促销活动，该产品的年销售量是万件，已知年生产该产品的固定投入为万元，每生产万件该产品需要再投入万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.
（1）将年该产品的利润（单位：万元）表示为年促销费用的函数；
（2）该厂家年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？
21．对于定义在上的函数，如果存在实数，使得，那么称是函数的一个不动点．已知
（1）当时，求的不动点；
（2）若函数有两个不动点，，且
①求实数的取值范围；
②设，求证在上至少有两个不动点
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】用列举法得出：抛掷三枚古钱币出现的基本事件的总数，进而可得出所求概率.
【详解】抛掷三枚古钱币出现的基本事件共有：正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反8中，其中出现两正一反的共有3种，故概率为.
故选C
【点睛】本题主要考查古典概型，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型.
2、A
【解析】由题意可得：

本题选择A选项.
3、D
【解析】由题意可先求f（2），然后代入f（f（2））＝f（﹣1）可得结果.
【详解】解：∵
∴f（2）
∴f（f（2））＝f（﹣1）＝
故选D
【点睛】本题主要考查了分段函数的函数值的求解，解题的关键是需要判断不同的x所对应的函数解析式，属于基础试题
4、D
【解析】利用，结合数量积的定义可求得的平方的值，再开方即可
【详解】依题意，

，故选D
【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.
5、A
【解析】本题首先可以去绝对值，将函数变成分段函数，然后根据函数解析式绘出函数图像，最后结合函数图像即可得出答案.
【详解】由题意可得：

，
即可绘出函数图像，如下所示：

故对称轴为，A正确；
由图像易知，函数在上单调递增，上单调递减，B错误；
要使，则，
由图象可得或、或，
故或或，C错误；
当时，函数取最小值，最小值，D错误，
故选：A
【点睛】本题考查三角函数的相关性质，主要考查三角函数的对称轴、三角函数的单调性以及三角函数的最值，考查分段函数，考查数形结合思想，是难题.
6、C
【解析】, ,
,∁U(A∪B )=
故答案为C.
7、C
【解析】根据两点间斜率公式列方程解得结果.
【详解】斜率为直线经过，，三点，∴，解得，．选C.
【点睛】本题考查两点间斜率公式，考查基本求解能力，属基础题.
8、D
【解析】A中，有可能，故A错误；B中，显然可能与斜交，故B错误；C中，有可能，故C错误；D中，由得， ，又 所以，故D正确.
9、B
【解析】由求得，再由方程有两个正实数根，，利用根的分布得到，然后利用韦达定理求解.
【详解】因为函数（b，c为实数），，
所以，
解得，
所以，
因为方程有两个正实数根，，
所以，
解得，
所以，
当c=2时，等号成立，所以其最小值是2，
故选：B
10、C
【解析】，，即①，同理可得②，①+②得，故选C
考点：1．平面向量共线充要条件；2．向量的数量积运算

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】结合指数函数、对数函数的知识确定正确答案.
【详解】，
，
所以
故答案为：
12、
【解析】分段函数的求值，在不同的区间应使用不同的表达式.
【详解】，
故答案为：.
13、
【解析】利用、两角和的正弦展开式进行化简可得答案.
【详解】

故答案为：.
14、
【解析】根据向量垂直向量数量积等于，解得α·β＝，再利用向量模的求法，将式子平方即可求解.
【详解】由得，
所以，
所以
所以.
故答案为：
15、-
【解析】由向量共线可得+λ=k((-3)，计算即可.
【详解】由向量共线可得+λ=k((-3)，
即+λ=k-3 k，∴解得λ=-.
故答案为：-
16、 ①.1 ②.4
【解析】画出的图像,再数形结合分析参数的的最小值,再根据对称性与函数的解析式判断中的定量关系化简再求最值即可.
【详解】画出的图像有：

因为方程有四个不同的解,故的图像与有四个不同的交点,又由图,, 故的取值范围是,故的最小值是1.
又由图可知,,,故,故.
故.
又当时, .当时, ,故.
又在时为减函数,故当时取最大值.
故答案为：(1).1 (2).4
【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数以及范围的问题,需要根据题意分析交点间的关系,并结合函数的性质求解.属于难题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），
（2）见解析（3）
【解析】（1）满足是增函数，对于任意都有的函数
（2）利用函数的奇偶性的定义转化求解即可
（3）利用已知条件转化不等式，通过函数的单调性转化求解即可
【小问1详解】
因为函数是增函数，对于任意都有，这样的函数很多，其中一种为：，证明如下：
函数满足是增函数，，所以满足题意.
【小问2详解】
令，则由
得，
即得，故是奇函数
【小问3详解】
，所以，则
，因为，所以
，所以，又因为函数是增函数，所以
，所以或.所以的解集为：.
18、（1）（2）
【解析】（1）由 可得的值，根据正弦函数可得最值，再根据最值对应关系可得方程组，解得、的值；（2）根据正弦函数单调性可得不等式，解不等式可得函数单调区间.
试题解析：（1）由函数最小正周期为，得，∴.
又的最大值是，最小值是，
则解得
（2）由（1）知，，
当，
即时，单调递增，
∴的单调递增区间为.
点睛：已知函数的图象求解析式
(1).
(2)由函数的周期求
(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.
19、（1）或2；（2）
【解析】（1）根据向量共线坐标公式列方程即可求解；
（2）根据向量垂直坐标公式列方程即可求解
【详解】

（1）若，有，整理为
解得或2；
（2）若，有，整理为
解得：
20、（1）；（2）促销费用投入万元时，厂家的利润最大.
【解析】（1）由时，可构造方程求得，得到，代入利润关于的函数中，化简可得结果；
（2）利用基本不等式可求得，由取等条件可得结果.
【详解】（1）由题意可知：当时，（万件），，解得：，
，又每件产品的销售价格为，
年利润，
（2）当时，（当且仅当，即时取等号），
此时年利润（万元）；
该厂家年的促销费用投入万元时，厂家的利润最大，最大为万元.
21、（1）的不动点为和；（2）①，②证明见解析.
【解析】（1）当时，函数，令，即可求解；
（2）①由题意，得到的两个实数根为，，设，根据二次函数的图象与性质，列出不等式即可求解；②把可化为，设的两个实数根为，，根据是方程的实数根，得出，结合函数单调性，即可求解.
【详解】（1）当时，函数，
方程可化为，解得或，
所以的不动点为和
（2）①因为函数有两个不动点，，
所以方程，即的两个实数根为，，
记，则的零点为和，
因为，所以，即，解得.
所以实数的取值范围为
②因为
方程可化为，即
因为，，所以有两个不相等的实数根
设的两个实数根为，，不妨设
因为函数图象的对称轴为直线，
且，，，所以
记，
因为，且，所以是方程的实数根，
所以1是的一个不动点，
，
因为，所以，，
且的图象在上的图象是不间断曲线，所以，使得，
又因为在上单调递增，所以，所以是的一个不动点，
综上，在上至少有两个不动点
【点睛】利用函数的图象求解方程的根的个数或研究不等式问题的策略：
1、利用函数的图象研究方程的根的个数：当方程与基本性质有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程的根就是函数与轴的交点的横坐标，方程的根据就是函数和图象的交点的横坐标；
2、利用函数研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.