广东省北大附中深圳南山分校2025年数学高一第一学期期末监测试题含解析.doc

广东省北大附中深圳南山分校2025年数学高一第一学期期末监测试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图，PO是三棱锥P-ABC底面ABC的垂线，垂足为O

①若PA⊥BC，PB⊥AC，则点O是△ABC的垂心；
②若PA=PB=PC，则点O是△ABC的外心；
③若∠PAB=∠PAC，∠PBA=∠PBC，则点O是△ABC的内心；
④过点P分别做边AB，BC，AC的垂线，垂足分别为E，F，G，若PE=PF=PG，则点O是△ABC的重心
以上推断正确的个数是（　　）
A.1 B.2
C.3 D.4
2．已知的部分图象如图所示，则的表达式为　　

A.
B.
C.
D.
3．国家质量监督检验检疫局发布的相关规定指出，饮酒驾车是指车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于，小于的驾驶行为；醉酒驾车是指车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于的驾驶行为.一般的，成年人喝一瓶啤酒后，酒精含量在血液中的变化规律的“散点图”如图所示，且图中的函数模型为： ，假设某成年人喝一瓶啤酒后至少经过小时才可以驾车，则的值为（ ）
（参考数据：，）

A.5 B.6
C.7 D.8
4．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6}，则集合A∩(∁UB)＝（）
A.{2，5} B.{3，6}
C.{2，5，6} D.{2，3，5，6}
5．在下列函数中，同时满足：①在上单调递增；②最小正周期为的是（）
A. B.
C. D.
6．已知，，则的值等于（）
A. B.
C. D.
7．幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），则幂函数y=f（x）的图象是
A. B.
C. D.
8．用b，表示a，b，c三个数中的最小值设函数，则函数的最大值为　　
A.4 B.5
C.6 D.7
9．函数的定义域是（）
A. B.
C D.
10．设函数，则下列说法错误的是（）
A.当时，的值域为
B.的单调递减区间为
C.当时，函数有个零点
D.当时，关于的方程有个实数解
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数的部分图象如图所示,则____________

12．已知点角终边上一点，且，则______
13．若，则___________.
14．若偶函数在区间上单调递增，且，，则不等式的解集是___________.
15．计算______.
16．我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，现有一“阳马”如图所示，平面，，，，则该“阳马”外接球的表面积为________.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数.
（1）若且的最小值为，求不等式的解集；
（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
18．已知函数（且）的图象过点.
（1）求函数的解析式；
（2）解不等式.
19．已知直线经过直线与直线的交点，且与直线垂直.
（1）求直线的方程；
（2）若直线与圆相交于两点，且，求的值.
20． “绿水青山就是金山银山”．某企业决定开发生产一款大型净水设备，生产这款设备的年固定成本为600万元，每生产台需要另投入成本万元．当年产量x不足100台时，；当年产量x不少于100台时，．若每台设备的售价为100万元时，经过市场分析，该企业生产的净水设备能全部售完
（1）求年利润y（万元）关于年产量x（台）的函数关系式；
（2）当年产量x为多少台时，该企业在这一款净水设备的生产中获利最大，最大利润是多少万元？
21．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示

（1）请补出函数，剩余部分的图象，并根据图象写出函数，的单调增区间；
（2）求函数，的解析式；
（3）已知关于x的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】①由题意得出AO⊥BC，BO⊥BC，点O是△ABC的垂心；
②若PA=PB=PC，则AO=BO=CO，点O是△ABC的外心；
③由题意得出AO是∠BAC的平分线，BO是∠ABC的平分线，O是△ABC的内心；
④若PE=PF=PG，则OE=OF=OG，点O是△ABC的内心
【详解】对于①，PO⊥底面ABC，∴PO⊥BC，又PA⊥BC，
∴BC⊥平面PAO，∴AO⊥BC；
同理PB⊥AC，得出BO⊥BC，

∴点O是△ABC的垂心，①正确；
对于②，若PA=PB=PC，由此推出Rt△PAO≌Rt△PBO≌Rt△PCO，
∴AO=BO=CO，点O是△ABC的外心，②正确；
对于③，若∠PAB=∠PAC，且PO⊥底面ABC，
则AO是∠BAC的平分线，
同理∠PBA=∠PBC时BO是∠ABC平分线，
∴点O是△ABC的内心，③正确；
对于④，过点P分别做边AB，BC，AC的垂线，垂足分别为E，F，G，
若PE=PF=PG，则OE=OF=OG，点O是△ABC的内心，④错误
综上，正确的命题个数是3
故选C
【点睛】本题主要考查了空间中的直线与平面的垂直关系应用问题，是中档题
2、B
【解析】由图可知，，所以，所以，又当，即，所以，即，当时，，故选.
考点：三角函数的图象与性质.
3、B
【解析】由散点图知，该人喝一瓶啤酒后个小时内酒精含量大于或者等于，所以，根据题意列不等式，解不等式结合即可求解.
【详解】由散点图知，该人喝一瓶啤酒后个小时内酒精含量大于或者等于，
所以所求，
由，即，
所以，即，
所以，
因为，所以最小为，
所以至少经过小时才可以驾车，
故选：B.
4、A
【解析】先求出∁UB，再求A∩(∁UB)即可.
【详解】解：由已知∁UB＝{2，5}，
所以A∩(∁UB) ＝{2，5}.
故选：A.
【点睛】本题考查集合的交集和补集的运算，是基础题.
5、C
【解析】根据题意，结合余弦、正切函数图像性质，一一判断即可.
【详解】对于选项AD，结合正切函数图象可知，和的最小正周期都为，故AD错误；
对于选项B，结合余弦函数图象可知，在上单调递减，故B错误；
对于选项C，结合正切函数图象可知，在上单调递增，且最小正周期，故C正确.
故选：C.
6、B
【解析】由题可分析得到,由差角公式,将值代入求解即可
【详解】由题,
,
故选：B
【点睛】本题考查正切的差角公式的应用,考查已知三角函数值求三角函数值问题
7、C
【解析】设出函数的解析式，根据幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），构造方程求出指数的值，再结合函数的解析式研究其性质即可得到图象
【详解】设幂函数的解析式为y=xa，
∵幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），
∴2=4a，
解得a=
∴，其定义域为[0，+∞），且是增函数，
当0＜x＜1时，其图象在直线y=x的上方．对照选项
故选C
【点睛】本题考查的知识点是函数解析式的求解及幂函数图象及其与指数的关系，其中对于已经知道函数类型求解析式的问题，要使用待定系数法
8、B
【解析】在同一坐标系内画出三个函数，，的图象，以此确定出函数图象，观察最大值的位置，通过求函数值，解出最大值
【详解】如图所示：

则的最大值为与交点的纵坐标，
由，得
即当时，
故选B
【点睛】本题考查了函数的概念、图象、最值问题利用了数形结合的方法关键是通过题意得出的简图
9、B
【解析】解不等式组即可得定义域.
【详解】由得：
所以函数的定义域是.
故选：B
10、C
【解析】利用二次函数和指数函数的值域可判断A选项；利用二次函数和指数函数的单调性可判断B选项；利用函数的零点个数求出的取值范围，可判断C选项；解方程可判断D选项.
【详解】选项A：当时，当时，，
当时，，
当时，，
综上，函数的值域为，故A正确；
选项B：当时，的单调递减区间为，
当时，函数为单调递增函数，无单调减区间，
所以函数的单调递减为，故B正确；
选项C：当时，令，解得或（舍去），
当时，要使有解，即在上有解，只需求出的值域即可，
当时，，且函数在上单调递减，
所以此时的范围为，故C错误；
选项D：当时，，即，即，解得或，
当，时，，则，即，解得，
所以当时，关于的方程有个实数解，故D正确.
故选：C.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、 ①. ②.
【解析】分析：先根据四分之一周期求根据最高点求.
详解：因为
因为
点睛：已知函数的图象求解析式
(1).
(2)由函数周期求
(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.
12、
【解析】利用任意角的三角函数的定义，即可求得m值
【详解】点角终边上一点，
，则，
故答案为
【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题
13、1
【解析】由已知结合两角和的正切求解
【详解】由，可知tan（α+β）＝1，得，
即tanα+tanβ＝，
∴
故答案为1
【点睛】本题考查两角和的正切公式的应用，是基础的计算题
14、
【解析】根据题意，结合函数的性质，分析可得在区间上的性质，即可得答案.
【详解】因为偶函数在区间上单调递增，且，，
所以在区间上单调上单调递减，且，
所以的解集为.
故答案为：
15、7
【解析】根据对数与指数的运算性质计算即可得解.
【详解】解：

.
故答案为：7.
16、
【解析】以，，为棱作长方体，长方体的对角线即为外接球的直径，从而求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积.
【详解】由题意，以，，为棱作长方体，长方体的对角线即为外接球的直径，
设外接球的半径为，则
故.
故答案为：
【点睛】本题考查了多面体外接球问题以及球的表面积公式，属于中档题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）.
【解析】（1）利用二次函数的最值可求得正数的值，再利用二次不等式的解法解不等式，即可得解；
（2）令，根据题意可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【小问1详解】
解：的图象是对称轴为，开口向上的抛物线，
所以，，因为，解得，
由得，即，得，
因此，不等式的解集为.
【小问2详解】
解：由得，设函数，
因为函数的图象是开口向上的抛物线，
要使当时，不等式恒成立，即在上恒成立，
则，可得，解得.
18、（1）
（2）
【解析】（1）把已知点的坐标代入求解即可；
（2）直接利用函数单调性即可求出结论，注意真数大于0的这一隐含条件
【小问1详解】
因为函数（且）的图象过点.
，所以，即；
【小问2详解】
因为单调递增，所以，
即不等式的解集是
19、（1）；（2）或.
【解析】（1）由解得P的坐标，再求出直线斜率，即可求直线的方程；
（2）若直线与圆：相交由垂径定理列方程求解即可.
【详解】（1）由得所以.
因为，所以，
所以直线的方程为，即.
（2）由已知可得：圆心到直线的距离为，
因为，所以，
所以，所以或.
【点睛】直线与圆的位置关系常用处理方法：
（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；
（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；
（３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小
20、（1）
（2）年产量为102台时，该企业在这一款净水设备的生产中获利最大，最大利润是2798万元
【解析】（1）根据利润=销售额−成本，通过分类讨论，即可求出年利润关于年产量的函数关系式；
（2）通过求分段函数的最大值即可得出答案.
【小问1详解】
由条件可得年利润y（万元）关于年产量x（台）的函数关系式：

化简得：
【小问2详解】
当时，,，
当时，取最大值（万元）
当时，,，
（万元）
当时，即台时，取最大值2798万元
综上：年产量为102台时，该企业在这一款净水设备的生产中获利最大，最大利润是2798万元
21、（1）图象见解析，函数的单调增区间为；
（2）；
（3）.
【解析】(1)根据奇函数的图象特征即可画出右半部分的图象，结合图象，即可得出单调增区间；
(2)根据函数的奇偶性即可直接求出函数的解析式；
(3)由(2)得出函数的解析式，画出函数图象，利用数形结合的数学思想即可得出m的取值范围.
【小问1详解】
剩余的图象如图所示，

有图可知，函数的单调增区间为；
【小问2详解】
因为当时，，
所以当时，则，有，
由为奇函数，得，
即当时，，
又，
所以函数的解析式为；
【小问3详解】
由(2)得，，
作出函数与图象，如图，

由图可知，当时，函数与图象有3个交点，
即方程有3个不等的实根.
所以m的取值范围为.