贵州省铜仁市石阡民族中学2025年数学高一上期末教学质量检测试题含解析.doc

贵州省铜仁市石阡民族中学2025年数学高一上期末教学质量检测试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数的值域为（ ）
A. B.
C. D.
2．如图，在平面内放置两个相同的直角三角板，其中，且三点共线，则下列结论不成立的是

A. B.
C.与共线 D.
3．如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，使得∠B′AC＝60°．那么这个二面角大小是（　　　　）

A.30° B.60°
C.90° D.120°
4．设则的最大值是（ ）
A.3 B.
C. D.
5．已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列命题：
①若，，则；
②若，，且，则；
③若，，则；
④若，，且，则
其中正确命题的序号是（　　）
A.②③ B.①④
C.②④ D.①③
6．若，是第二象限角，则（）
A. B.3
C.5 D.
7．已知平面向量，，若，则实数的值为（ ）
A.0 B.-3
C.1 D.-1
8．以下给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是

A.
B.
C.
D.
9．已知函数为偶函数，则　　
A.2 B.
C. D.
10．已知向量，且，则
A. B.
C.2 D.-2
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在正方体中，则异面直线与的夹角为_________
12．求方程在区间内的实数根，用“二分法”确定的下一个有根的区间是____________.
13．如图所示，正方体的棱长为，线段上有两个动点，且，则下列结论中正确的是_____

①∥平面；
②平面⊥平面；
③三棱锥的体积为定值；
④存在某个位置使得异面直线与成角°
14．在空间直角坐标系中，一点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是________.
15．已知集合，，且，则实数的取值范围是__________
16．若函数满足以下三个条件：①定义域为R且函数图象连续不断；②是偶函数；③恰有3个零点.请写出一个符合要求的函数___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．冰雪装备器材产业是冰雪产业的重要组成部分，加快发展冰雪装备器材产业，对筹办好北京2022年冬奥会、冬残奥会，带动我国3亿人参与冰雪运动具有重要的支撑作用.某冰雪装备器材生产企业，生产某种产品的年固定成本为300万元，每生产千件，需另投入成本（万元）.当年产量低于60千件时，；当年产量不低于60千件时，.每千件产品售价为60万元，且生产的产品能全部售完.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
（2）当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？
18．已知平行四边形的三个顶点的坐标为.
（Ⅰ）在中，求边中线所在直线方程
（Ⅱ） 求的面积.

19．已知函数， 且.
（1）判断的奇偶性；
（2）证明在上单调递增；
（3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
20．已知函数
（1）求的最大值，并写出取得最大值时自变量的集合；
（2）把曲线向左平移个单位长度，然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的单调递增区间.
21．已知
（1）作出函数的图象，并写出单调区间；
（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】根据分段函数的解析式，结合基本初等函数的单调，分别求得两段上函数的值域，进而求得函数的值域.
【详解】当时，单调递减，此时函数的值域为；
当时，在上单调递增，在上单调递减，
此时函数的最大值为，最小值为，此时值域为，
综上可得，函数值域为.
故选:D.
2、D
【解析】设BC=DE=m，∵∠A=30°，且B，C，D三点共线，则CD═AB=m，AC=EC=2m，∴∠ACB=∠CED=60°，∠ACE=90°，,
故A、B、C成立；而，，
即不成立，故选D.
3、C
【解析】根据折的过程中不变的角的大小、结合二面角的定义进行判断即可.
【详解】因为AD是等腰直角△ABC斜边BC上的高，所以
，因此是二面角的平面角，
∠B′AC＝60°．所以是等边三角形，因此，在中
.
故选：C
【点睛】本题考查了二面角的判断，考查了数学运算能力，属于基础题.
4、D
【解析】利用基本不等式求解.
【详解】因为
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故选：D
5、A
【解析】对于①当，时，不一定成立；对于②可以看成是平面的法向量，是平面的法向量即可；对于③可由面面垂直的判断定理作出判断；对于④，也可能相交
【详解】①当，时，不一定成立，m可能在平面所以错误；
②利用当两个平面的法向量互相垂直时，这两个平面垂直，故成立；
③因为，则一定存在直线在，使得，又可得出，由面面垂直的判定定理知，，故成立；
④，，且，，也可能相交，如图所示，所以错误，

故选A
【点睛】本题以命题的真假判断为载体考查了空间直线与平面的位置关系，熟练掌握空间线面关系的判定及几何特征是解答的关键
6、C
【解析】由题知，再根据诱导公式与半角公式计算即可得答案.
【详解】解：因为，是第二象限角，
所以，
所以.
故选：C
7、C
【解析】根据，由求解.
【详解】因为向量，，且，
所以，
解得，
故选：C.
8、A
【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S的值
【详解】程序运行过程中，各变量值如下表所示：
第一圈：S=1，k=2，
第二圈：S=1+，k=3，
第三圈：S=1++，k=4，…
依此类推，第十圈：S＝1+，k=11
退出循环
其中判断框内应填入的条件是：k≤10，
故选A
【点睛】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误
9、A
【解析】由偶函数的定义，求得的解析式，再由对数的恒等式，可得所求，得到答案
【详解】由题意，函数为偶函数，
可得时，，，
则，，
可得，
故选A
【点睛】本题主要考查了分段函数的运用，函数的奇偶性的运用，其中解答中熟练应用对数的运算性质，正确求解集合A，再根据集合的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
10、A
【解析】由于两个向量垂直，故有.
故选：A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】先证明，可得或其补角即为异面直线与所成的角，连接，在中求即可.
【详解】
在正方体中，
，
所以，
所以四边形是平行四边形，所以，
所以或其补角即为异面直线与所成的角，
连接，由为正方体可得是等边三角形，
所以.
故答案为：
【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角
12、
【解析】根据二分法的步骤可求得结果.
【详解】令，
因为，，，
所以下一个有根的区间是.
故答案为：
13、①②③④
【解析】在①中，由EF∥BD，得EF∥平面ABCD；在②中，连接BD，由AC⊥BD，AC⊥DD1，可知AC⊥面BDD1B1，从而得到面ACF⊥平面BEF；在③中，三棱锥E﹣ABF的体积与三棱锥A﹣BEF的体积相等，从而三棱锥E﹣ABF的体积为定值；在④中，令上底面中心为O，得到存在某个位置使得异面直线AE与BF成角30°
【详解】由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且，知：
在①中，由EF∥BD，且EF⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD，得EF∥平面ABCD，故①正确；
在②中，连接BD，由AC⊥BD，AC⊥DD1，可知AC⊥面BDD1B1，
而BE⊂面BDD1B1，BF⊂面BDD1B1，∴AC⊥平面BEF，
∵AC⊂平面ACF，∴面ACF⊥平面BEF，故②正确；
在③中，三棱锥E﹣ABF的体积与三棱锥A﹣BEF的体积相等，
三棱锥A﹣BEF的底面积和高都是定值，故三棱锥E﹣ABF的体积为定值，故③正确；
在④中，令上底面中心为O，当E与D1重合时，此时点F与O重合，
则两异面直线所成的角是∠OBC1，可求解∠OBC1＝300，
故存在某个位置使得异面直线AE与BF成角30°，故④正确
故答案为①②③④

【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于中档题
14、
【解析】设出点的坐标，根据题意列出方程组，从而求得该点到原点的距离.
【详解】设该点的坐标
因为点到三个坐标轴的距离都是1
所以，，，
所以
故该点到原点的距离为，
故填.
【点睛】本题主要考查了空间中点的坐标与应用，空间两点间的距离公式，属于中档题.
15、
【解析】，是的子集，故.
【点睛】本题主要考查集合的研究对象和交集的概念，考查指数不等式的求解方法，考查二次函数的值域等知识.对于一个集合，首先要确定其研究对象是什么元素，是定义域还是值域，是点还是其它的元素.二次函数的值域主要由开口方向和对称轴来确定.在解指数或对数不等式时，要注意底数对单调性的影响.
16、（答案不止一个）
【解析】根据偶函数和零点的定义进行求解即可.
详解】函数符合题目要求，理由如下：
该函数显然满足①；
当时，，所以有，
当时，，所以有，因此该函数是偶函数，所以满足②
当时，，或，
当时，，或舍去，所以该函数有3个零点，满足③，
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）当该企业年产量为50千件时，所获得利润最大，最大利润是950万元
【解析】(1)根据题意，分段写出年利润的表达式即可；
（2）根据年利润的解析式，分段求出两种情况下的最大利润值，比较大小，可得答案.
【小问1详解】
当时，；
当时，.
所以；
【小问2详解】
当时，.
当时，取得最大值，且最大值为950.
当时，
当且仅当时，等号成立.
因为，
所以当该企业年产量为50千件时，所获得利润最大，最大利润是950万元.
18、 (I)；(II)8.
【解析】（I）由中点坐标公式得边的中点，由斜率公式得直线斜率，进而可得点斜式方程，化为一般式即可；（II）由两点间距离公式可得可得的值，由两点式可得直线的方程为，由点到直线距离公式可得点到直线的距离,由三角形的面积公式可得结果.
试题解析：
(I)设边中点为，则点坐标为
∴直线.
∴直线方程为：
即：
∴边中线所在直线的方程为：
(II)

由得直线的方程为：
到直线的距离
.
19、（1）奇函数（2）详见解析（3）
【解析】（1）运用代入法，可得m值，计算f（-x）与f（x）比较即可得到结论；
（2）运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号和下结论
（3）若不等式在上恒成立，所以在上恒成立，求即可得解.
【详解】（1）即所以
函数的定义域为

所以为奇函数
（2）设且，则

因为且
所以，
所以即
则在上单调递增
（3）若不等式在上恒成立
所以在上恒成立
由（2）知在上递增
所以
所以
【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和证明，考查不等式恒成立，采用分离参数是常用方法，属于中档题
20、（1）的最大值，
（2）
【解析】（1）根据的范围可得的范围，可得 的最大值及取得最大值时自变量的集合；
（2）由图象平移规律可得，结合的范围和正弦曲线的单调性可得答案.
【小问1详解】
因为，所以，所以，
当即时的最大值，
所以取得最大值时自变量的集合是.
【小问2详解】
因为把曲线向左平移个单位长度，
然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，
所以.
因为，
所以.
因为正弦曲线在上的单调递增区间是，
所以，
所以.
所以在上的单调递增区间是.
21、（1）见解析；（2）
【解析】（1）根据函数的表达式，作出函数的图象即可；
（2）问题转化为求函数的交点问题，结合函数的图象，由数形结合得出即可
【详解】解：（1）画出函数的图象，如图示：
，
由图象得：在，单调递增；
（2）若函数有两个零点，
则和有2个交点，
结合图象得：
【点睛】本题考查了指数函数、对数函数的图象及性质，考查函数的零点问题，是一道基础题