2025年江苏省七校联盟数学高一第一学期期末复习检测试题含解析.doc

2025年江苏省七校联盟数学高一第一学期期末复习检测试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．关于函数，下列说法正确的是（）
A.最小值为0 B.函数为奇函数
C.函数是周期为周期函数 D.函数在区间上单调递减
2．下面四个不等式中不正确的为
A. B.
C. D.
3．若，则下列不等式中成立的是（）
A. B.
C. D.
4．命题“对任意x∈R，都有x2≥1”的否定是（）
A.对任意x∈R，都有x2<1 B.不存在x∈R，使得x2<1
C.存在x∈R，使得x2≥1 D.存在x∈R，使得x2<1
5．下列各角中，与角1560°终边相同的角是（）
A.180° B.-240°
C.-120° D.60°
6．下列命题正确的是
A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线平行
D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
7．已知函数则满足的实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8．若“”是“”的充分不必要条件，则（）
A. B.
C. D.
9．已知函数则=（ ）
A. B.9
C. D.
10．已知，则的最小值是（ ）
A.5 B.6
C.7 D.8
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在正三角形中，是上的点，，则________
12．已知，是相互独立事件，且，，则______
13．已知△ABC的三个顶点分别为A(2，3)，B(-1，-2)，C(-3，4)，则BC边上的中线AD所在的直线方程为_____
14．设x、y满足约束条件，则的最小值是________.
15．已知函数，方程有四个不相等的实数根
（1）实数m的取值范围为_____________；
（2）的取值范围为______________
16．函数的单调递增区间为___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知直线l过点和直线:平行，圆O的方程为，直线l与圆O交于B，C两点.
（1）求直线l的方程；
（2）求直线l被圆O所截得的弦长.
18．已知函数f (x) =sinx cosx − cos2x + m的最大值为1.
（1）求m的值；
（2）求当xÎ[0，]时f (x) 的取值范围；
（3）求使得f (x)≥成立的x的取值集合.
19．已知函数.
（1）若在上的最大值为，求的值；
（2）若为的零点，求证：.
20．如图所示，正方体的棱长为，过顶点、、截下一个三棱锥.

（1）求剩余部分的体积；
（2）求三棱锥的高.
21．如图所示，在直三棱柱中，，，，，点是中点
（）求证：平面
（）求直线与平面所成角的正切值

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】根据三角函数的性质，得到的最小值为，可判定A不正确；根据奇偶性的定义和三角函数的奇偶性，可判定C不正确；举例可判定C不正确；根据三角函数的单调性，可判定D正确.
【详解】由题意，函数，
当时，可得，所以，
当时，可得，所以，
所以函数的最小值为，所以A不正确；
又由，所以函数为偶函数，所以B不正确；
因为，，所以，
所以不是的周期，所以C不正确；
当时，，，
当时，，即函数在区间上单调递减，
又因为，所以函数在区间上单调递减，
所以D正确.
故选：D.
2、B
【解析】A，利用三角函数线比较大小；B，取中间值1和这两个数比较；C，利用对数函数图象比较这两个数的大小；D，取中间值1和这两个数比较
【详解】解：A，如图，利用三角函数线可知，所对的弧长为，，
∴，A对；

B，由于，B错；
C，如图，，则，C对；

D，，D对；
故选：B
【点睛】本题主要考查比较两个数的大小，考查三角函数线的作用，考查指对数式的大小，属于基础题
3、C
【解析】根据函数的单调性，即可判断选项A是否正确；根据函数在上单调递减，即可判断选项B是否正确；在根据不等式的性质即可判断选项C，D是否正确.
【详解】因为，所以，又函数在上单调递增，所以，故A错误；
因为，函数在上单调递减，所以，故B错误；
因为，所以，又，所以，故C正确；
因为，两边同时除以，可知，故D错误.
故选：C.
4、D
【解析】根据含有一个量词的否定是改量词、否结论直接得出.
【详解】因为含有一个量词的否定是改量词、否结论，
所以命题“对任意x∈R，都有x2≥1”的否定是“存在x∈R，使得x2<1”.
故选：D.
【点睛】本题考查含有一个量词的否定，属于基础题.
5、B
【解析】终边相同的角，相差360°的整数倍，据此即可求解.
【详解】与1560°终边相同的角为，，
当时，.
故选：B.
6、C
【解析】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确.
[点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质，需要熟练掌握课本基础知识的定义、定理及公式.
7、B
【解析】根据函数的解析式，得出函数的单调性，把不等式，转化为相应的不等式组，即可求解.
【详解】由题意，函数，
可得当时，，
当时，函数在单调递增，且，
要使得，则 ，解得，
即不等式的解集为，
故选：B.
【点睛】思路点睛：该题主要考查了函数的单调性的应用，解题思路如下：
（1）根据函数的解析式，得出函数单调性；
（2）合理利用函数的单调性，得出不等式组；
（3）正确求解不等式组，得到结果.
8、B
【解析】转化“”是“”的充分不必要条件为Ü，分析即得解
【详解】由题意，“”是“”的充分不必要条件
故Ü
故
故选：B
9、A
【解析】根据函数的解析式求解即可.
【详解】，
所以，
故选A
10、C
【解析】，根据结合基本不等式即可得出答案.
【详解】解：，
因为，又，所以，
则，
当且仅当，即时，取等号，
即的最小值是7.
故选：C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据正三角形的性质以及向量的数量积的定义式，结合向量的特点，可以确定，故答案为
考点：平面向量基本定理，向量的数量积，正三角形的性质
12、
【解析】由相互独立事件的性质和定义求解即可
【详解】因为，是相互独立事件，所以，也是相互独立事件，
因为，，
所以，
故答案为：
13、
【解析】求出的坐标后可得的直线方程.
【详解】的坐标为，故的斜率为，
故直线的方程为即，
故答案为：
14、-6
【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用的几何意义求最值，只需求出直线过可行域内的点时，从而得到的最小值即可
【详解】解：由得，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：

平移直线，由图象可知当直线，过点A时，直线截距最大，此时z最小，
由得，即，
代入目标函数，
得
∴目标函数的最小值是﹣6
故答案为：
【点睛】本题考查简单线性规划问题，属中档题
15、 ①. ②.
【解析】利用数形结合可得实数m的取值范围，然后利用对数函数的性质可得，再利用正弦函数的对称性及二次函数的性质即求.
【详解】作出函数与函数的图象，

则可知实数m的取值范围为，
由题可知，，
∵，
∴，即，又，，
∴，又函数在上单调递增，
∴，即.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛；本题的关键是数形结合，结合对数函数的性质及正弦函数的性质可得，再利用二次函数的性质即解.
16、
【解析】根据复合函数“同增异减”的原则即可求得答案.
【详解】由，设，对称轴为：，根据“同增异减”的原则，函数的单调递增区间为：.
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】（1）通过直线l和直线:平行，得到斜率，再由直线l过点，用点斜式写出方程.
（2）先求出圆心O到直线l的距离，再根据弦长公式求解.
【详解】（1），
，
又因为直线l过点
∴直线l的方程为:，
即
（2）因为圆心O到直线l的距离为，
所以
【点睛】本题主要考查了直线方程的求法和直线与圆的位置关系中的弦长问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
18、（1）
（2）
（3）
【解析】（1）将函数f (x) =sinx cosx − cos2x + m化为只含有一个三角函数的形式，根据三角函数的性质求其最大值，可得答案；
（2）根据xÎ[0，]，求出的范围，根据三角函数性质，求得答案；
（3）根据f (x)≥，利用三角函数的性质，即可求得答案.
【小问1详解】

由题意可知，函数的最大值，解得
【小问2详解】
由（1）可知，
当时，，，所以，
所以当时的取值范围是
【小问3详解】
因为，则，所以，所以，
所以的解集是
19、（1）2；（2）详见解析.
【解析】（1）易知函数和在上递增， 从而在上递增，根据在上的最大值为求解.
（2）根据为的零点，得到，由零点存在定理知，然后利用指数和对数互化，将问题转化为，利用基本不等式证明.
【详解】（1）因为函数和在上递增，
所以在上递增，
又因为在上的最大值为，
所以，
解得；
（2）因为为的零点，
所以，即，
又当时，，当 时，，
所以，
因为，
等价于，
等价于，
等价于，
而，
令，
所以，
所以成立，
所以.
【点睛】关键点点睛：本题关键是由指数和对数的互化结合，将问题转化为证成
20、（1）；（2）.
【解析】（1）由题意，正方体的几何结构特征，结合棱锥和正方体的体积公式，即可求解；
（2）由（1），结合，即可求解.
【详解】（1）由题意，正方体的棱长为，
则正方体的体积为，
根据三棱锥的体积公式，可得，
所以剩余部分的体积.
（2）由（1）知，
设三棱锥的高为，
则，
故，解得.
【点睛】求空间几何体的表面积与体积的求法：
（1）公式法：对于规则的几何体的表面积和体积，可直接利用公式进行求解；
（2）割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积的计算，或不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算；
（3）等体积法：等体积法也称积转化或等积变形，通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决锥体的体积，特别时三棱锥的体积.
21、（1）见解析（2）.
【解析】（1）设BC1与CB1交于点O，连接OD，利用三角形中位线性质，证明OD∥AC1，利用线面平行的判定，可得AC1∥平面CDB1
（2）过D作DE⊥BC，连结B1E，则DE⊥平面BCC1B1，于是∠DB1E为直线DB1与平面BCC1B1所成的角．利用勾股定理求出DE，B1E，计算tan∠DB1E
【详解】（1）证明：设BC1与CB1交于点O，则O为BC1的中点
在△ABC1中，连接OD，∵D，O分别为AB，BC1的中点，
∴OD为△ABC1的中位线，
∴OD∥AC1，
又AC1⊄平面CDB1，OD⊂平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1
（2）过D作DE⊥BC，连结B1E，则DE⊥平面BCC1B1，
∴∠DB1E为直线DB1与平面BCC1B1所成的角
∵D是AB的中点，∴DE，BE，∴B1E
∴tan∠DB1E

【点晴】本题考查了线面平行的判定，线面角的计算，属于中档题