2025年甘肃肃兰州五十一中数学高一上期末经典试题含解析.doc

2025年甘肃肃兰州五十一中数学高一上期末经典试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设函数f(x)=若，则实数的取值范围是（）
A.
B.
C.
D.
2．已知定义在R上的函数满足，且当]时，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
3．已知函数，则“”是“函数在区间上单调递增”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4．符号函数是一个很有用的函数，符号函数能够把函数的符号析离出来，其表达式为若定义在上的奇函数，当时，，则的图象是（）
A. B.
C. D.
5．实验测得四组（x，y）的值为（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），则y与x之间的回归直线方程为（）
A.
B.
C.
D.
6．已知函数，若存在实数，（）满足，则的最小值为（）
A B.
C. D.1
7．若函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
8．直线l：ax+y﹣3a＝0与曲线y有两个公共点，则实数a的取值范围是
A.[，] B.（0，）
C.[0，） D.（，0）
9．已知集合，集合，则（ ）
A.{-1，0，1} B.{1，2}
C.{-1，0，1，2} D.{0，1，2}
10．命题p：，的否定是（ ）
A.， B.，
C.， D.，
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在平面直角坐标系中，点在单位圆O上，设，且.若，则的值为______________.
12．若，，，则的最小值为____________.
13．设函数，若不存在，使得与同时成立，则实数a的取值范围是________.
14．已知，则的最小值为___________
15．若函数在区间上单调递减，在上单调递增，则实数的取值范围是_________
16．求方程在区间内的实数根，用“二分法”确定的下一个有根的区间是____________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．若关于的不等式的解集为
（1）求的值；
（2）求不等式的解集.
18．已知圆，点是直线上的一动点，过点作圆的切线，切点为.
(1)当切线的长度为时，求线段PM长度.
(2)若的外接圆为圆，试问：当在直线上运动时，圆是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；
(3)求线段长度的最小值

19．已知函数是指数函数
（1）求的解析式；
（2）若，求的取值范围
20．设直线与相交于一点.
（1）求点的坐标；
（2）求经过点，且垂直于直线的直线的方程.
21．如图，已知三棱锥中，，，为的中点，为的中点，且为正三角形.

（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）若，，求三棱锥的体积.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】由于的范围不确定，故应分和两种情况求解.
【详解】当时，，
由得，
所以，可得：，
当时，，
由得，
所以，即，即，
综上可知：或.
故选：C
【点睛】本题主要考查了分段函数，解不等式的关键是对的范围讨论，分情况解，属于中档题.
2、A
【解析】由，可得的周期为，利用周期性和单调性化简计算即可得出结果.
【详解】因为，所以的周期为
当时，，则在上单调递减，所以在上单调递减
因为，且
所以
故
故选：A.
3、A
【解析】先由在区间上单调递增，求出的取值范围，再根据充分条件，必要条件的定义即可判断.
【详解】解：的对称轴为：，
若在上单调递增，
则，
即，在区间上单调递增，
反之，在区间上单调递增，，
故 “”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件.
故选：A.
4、C
【解析】根据函数的奇偶性画出的图象，结合的知识确定正确答案.
【详解】依题意，是定义在上的奇函数，图象关于原点对称.
当时，，
结合的奇偶性，作出的大致图象如下图所示，
根据的定义可知，选项C符合题意.
故选：C

5、A
【解析】根据所给数据，求出样本中心点，把样本中心点代入所给四个选项中验证，即可得答案
【详解】解：由已知可得，
所以这组数据的样本中心点为，
因样本中心必在回归直线上，
所以把样本中心点代入四个选项中验证，可得只有成立，
故选：A.
6、A
【解析】令=t，分别解得，，得到，根据参数t的范围求得最小值.
【详解】当0≤x≤2时，0≤x2≤4，当2<x≤3时，2<3x－4≤5，
则[0，4]∩(2，5]=(2，4]，令=t∈(2，4]，
则，，
∴，
当，即时，有最小值，
故选：A.
7、C
【解析】根据偶次根号下非负，分母不等于零求解即可.
【详解】解：要使函数有意义，则需满足不等式， 解得：且，
故选：C
8、C
【解析】根据直线的点斜式方程可得直线过定点,曲线表示以为圆心,1为半径的半圆,作出图形,利用数形结合思想求出两个极限位置的斜率,即可得解.
【详解】直线,即斜率为且过定点,
曲线为以为圆心,1为半径的半圆,如图所示,

当直线与半圆相切,为切点时(此时直线的倾斜角为钝角),圆心到直线的距离,
,解得,
当直线过原点时斜率,即,
则直线与半圆有两个公共点时,实数的取值范围为: [0，）,
故选:C
【点睛】本题主要考查圆的方程与性质,直线与圆的位置关系,考查了数形结合思想的应用,属于中档题.
9、B
【解析】由交集定义求得结果.
【详解】由交集定义知
故选：B
10、C
【解析】根据特称命题的否定是全称命题即可求解.
【详解】解：命题p：，的否定是：，，
故选：C.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】由题意，，，只需求出即可.
【详解】由题意，，因为，所以，
，所以
.
故答案为：
【点睛】本题考查三角恒等变换中的给值求值问题，涉及到三角函数的定义及配角的方法，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.
12、9
【解析】“1”的代换法去求的最小值即可.
【详解】
（当且仅当时等号成立）
则的最小值为9
故答案为：9
13、.
【解析】当恒成立，不存在使得与同时成立，当时，恒成立，则需时，恒成立，只需时，，
对的对称轴分类讨论，即可求解.
【详解】若时，恒成立，
不存使得与同时成立，
则时，恒成立，
即时，，
对称轴为，
当时，即，
解得，
当，即为抛物线顶点的纵坐标，
，只需，
.
若恒成立，不存在
使得与同时成立，
综上，的取值范围是.
故答案为:.
【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图像和性质，不等式恒成立和能成立问题的解法，考查分类讨论和转化化归的思想方法，属于较难题.
14、
【解析】根据基本不等式，结合代数式的恒等变形进行求解即可.
【详解】解：因为a>0，b>0，且4a+b=2，所以有：
，当且仅当时取等号，即时取等号，
故答案为：.
15、
【解析】反比例函数在区间上单调递减，要使函数在区间上单调递减，则，还要满足在上单调递增，故求出结果
【详解】函数
根据反比例函数的性质可得：在区间上单调递减
要使函数在区间上单调递减，则
函数在上单调递增
则，解得
故实数的取值范围是
【点睛】本题主要考查了函数单调性的性质，需要注意反比例函数在每个象限内是单调递减的，而在定义域内不是单调递减的
16、
【解析】根据二分法的步骤可求得结果.
【详解】令，
因为，，，
所以下一个有根的区间是.
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】（1）由题意可知，方程的两根为，结合根与系数的关系得出的值；
（2）根据一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】（1）由题意可知，方程的两根为
由根与系数的关系可知，，解得
（2）由（1）可知，
，即，解得
即该不等式的解集为
【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.
18、（1）8（2）（3）
【解析】（1）根据圆中切线长的性质得到；（2）设，经过A,P,M三点的圆N以MP为直径，圆N的方程为化简求值即可；（3）（Ⅲ）求出点M到直线AB的距离，利用勾股定理，即可求线段AB长度的最小值.
解析：
（1）由题意知，圆M的半径r=4，圆心M(0，6)，设
PA是圆的一条切线，
(2)设，经过A,P,M三点的圆N以MP为直径，
圆心，半径为
得圆N的方程为
即，有
由，解得或圆过定点
(3) 圆N的方程，即①
圆即②
②-①得：圆M与圆N相交弦AB所在直线方程为：
圆心M(0,6)到直线AB的距离
弦长
当时，线段AB长度有最小值.
点睛：这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；再者在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；圆的问题经常应用的性质有垂径定理的应用，切线长定理的应用.
19、（1）
（2）
【解析】（1）由指数函数定义可直接构造方程组求得，进而得到所求解析式；
（2）将不等式化为，根据对数函数单调性和定义域要求可构造不等式组求得结果.
【小问1详解】
为指数函数，
，解得：，
.
【小问2详解】
由（1）知：，
，解得：，
的取值范围为.
20、（1）；（2）.
【解析】（1）将两直线方程联立，求出方程组的公共解，即可得出点的坐标；
（2）求出直线的斜率，可得出垂线的斜率，然后利用点斜式方程可得出所求直线的方程，化为一般式即可.
【详解】（1）由，解得，因此，点的坐标为；
（2）直线斜率为，垂直于直线的直线斜率为，
则过点且垂直于直线的直线的方程为，
即：.
【点睛】本题两直线交点坐标计算，同时也考查了直线的垂线方程的求解，解题时要将两直线的垂直关系转化为斜率关系，考查计算能力，属于基础题.
21、（1）见详解；（2）见详解；（3）.
【解析】(1)先证，可证平面.
(2)先证，得，结合可证得平面.
(3)等积转换，由，可求得体积.
【详解】(1)证明：因为为的中点，为的中点，
所以是的中位线，.
又，，
所以.
(2)证明：因为为正三角形，为的中点，所以.
又，所以.
又因为，，所以.
因为，所以.
又因为，，
所以.
(3)因为，，
所以，即是三棱锥的高.
因为，为的中点，为正三角形，
所以.
由，可得，
在直角三角形中，由，可得.
于是.
所以.
【点睛】本题考查空间线面平行与垂直的证明，体积的计算.空间中的平行与垂直的证明过程就是利用相关定义、判定定理和性质定理实现线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)的转换.求三棱锥的体积常采用等积转换的方法，选择易求的底面积和高来求体积.