甘肃省重点中学2026届数学高二第一学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析.doc

甘肃省重点中学2026届数学高二第一学期期末质量跟踪监视模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知直线l，m，平面α，β，，，则是的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2．抛物线上的一点到其焦点的距离等于（）
A. B.
C. D.
3．已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则此直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
4．已知等差数列前项和为，且，，则此数列中绝对值最小的项为
A.第5项 B.第6项
C.第7项 D.第8项
5．某市2016年至2020年新能源汽车年销量y（单位：百台）与年份代号x的数据如下表：
年份
2016
2017
2018
2019
2020
年份代号x
0
1
2
3
4
年销量y
10
15
m
30
35
若根据表中的数据用最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为，则表中m的值为（）
A.22 B.20
C.30 D.32.5
6．空气质量指数大小分为五级指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大，指数范围在：，，，，分别对应“优”、“良”、“轻中度污染”、“中度重污染”、“重污染”五个等级，如图是某市连续14天的空气质量指数趋势图，下面说法错误的是（）.

A.这14天中有4天空气质量指数为“良”
B.从2日到5日空气质量越来越差
C.这14天中空气质量的中位数是103
D.连续三天中空气质量指数方差最小是9日到11日
7．已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则（）
A.2 B.3
C.4 D.5
8．2020年北京时间11月24日我国嫦娥五号探月飞行器成功发射.嫦娥五号是我国探月工程“绕、落、回”三步走的收官之战，经历发射入轨、地月转移、近月制动、环月飞行、着陆下降、月面工作、月面上升、交会对接与样品转移、环月等待、月地转移、再入回收等11个关键阶段.在经过交会对接与样品转移阶段后，若嫦娥五号返回器在近月点（离月面最近的点）约为200公里，远月点（离月面最远的点）约为8600公里，以月球中心为一个焦点的椭圆形轨道上等待时间窗口和指令进行下一步动作，月球半径约为1740公里，则此椭圆轨道的离心率约为（）

A.0.32 B.0.48
C.0.68 D.0.82
9．已知椭圆的左右焦点分别为，，点B为短轴的一个端点，则的周长为（）
A.20 B.18
C.16 D.9
10．已知直四棱柱的棱长均为，则直线与侧面所成角的正切值为（）
A. B.
C. D.
11．若且，则下列不等式中一定成立的是（）
A. B.
C. D.
12．已知数列满足：且，则此数列的前20项的和为（ ）
A.621 B.622
C.1133 D.1134
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量，，若，则______
14．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：其中，所有正确结论的序号是____________
①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；
③曲线C所围城的“心形”区域的面积小于3

15．为和的等差中项，则_____________.
16．已知椭圆 ()中，成等比数列，则椭圆的离心率为 _______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若函数有两个不相等的零点，证明：
18．（12分）已知等差数列的前项和为，，.
（1）求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，用符号表示不超过x的最大数，当时，求的值.
19．（12分）已知函数
（Ⅰ）若的图象在点处的切线与轴负半轴有公共点，求的取值范围；
（Ⅱ）当时，求的最值
20．（12分）已知数列{an}的首项a1＝1，且an＋1＝ (n∈N*).
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设bn＝－，求数列{bn}的前n项和Sn.
21．（12分）动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，记动点M的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）已知过点的直线与曲线C相交于两点，，请问点P能否为线段的中点，并说明理由.
22．（10分）已知直线经过点，且满足下列条件，求相应的方程.
（1）过点；
（2）与直线垂直.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】由题意可知，已知，，则可以推出，反之不成立.
【详解】已知，，则可以推出，
已知，，则不可以推出.
故是的充分不必要条件.
故选：A.
2、C
【解析】由点的坐标求得参数，再由焦半径公式得结论
【详解】由题意，解得，
所以，
故选：C
3、D
【解析】求出直线的斜率，利用斜截式可得出直线的方程.
【详解】直线的斜率为，由题意可知，所求直线的方程为.
故选：D.
4、C
【解析】设等差数列的首项为，公差为，，则，又，则，说明数列为递减数列，前6项为正，第7项及后面的项为负，又，则，则在数列中绝对值最小的项为，选C.
5、B
【解析】求出样本中心的横坐标，代入回归直线方程，求出样本中心的纵坐标，然后求解即可
【详解】因为，
代入回归直线方程为，
所以，，
于是得，解得
故选：B
6、C
【解析】根据题图分析数据，对选项逐一判断
【详解】对于A，14天中有1，3，12，13共4日空气质量指数为“良”，故A正确
对于B，从2日到5日空气质量指数越来越高，故空气质量越来越差，故B正确
对于C，14个数据中位数为：，故C错误
对于D，观察折线图可知D正确
故选：C
7、C
【解析】依据椭圆和双曲线定义和题给条件列方程组，得到关于椭圆的离心率和双曲线的离心率的关系式，即可求得的值.
【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，令，
不妨设
则，解之得
代入，
可得
整理得，即，也就是
故选：C
8、C
【解析】由题意可知，求出的值，从而可求出椭圆的离心率
【详解】解：由题意得，解得，
所以离心率，
故选：C
9、B
【解析】根据椭圆的定义求解
【详解】由椭圆方程知，所以，

故选：B
10、D
【解析】根据题意把直线与侧面所成角的正切值转化为在直角三角形中的正切值，即可求出答案.
【详解】由题意可知直四棱柱如下图所示：

取的中点设为点，连接，
在直四棱柱中，面，面，
，
在四边形中，，，
故且.
面，
面，面，
.
故直线与侧面所成角的正切值为.
故选：D.
11、D
【解析】根据不等式的性质即可判断.
【详解】对于A，若，则不等式不成立；
对于B，若，则不等式不成立；
对于C，若均为负值，则不等式不成立；
对于D，不等号的两边同乘负值，不等号的方向改变，故正确；
故选：D
【点睛】本题主要考查不等式的性质，需熟练掌握性质，属于基础题.
12、C
【解析】这个数列的奇数项是公差为2的等差数列，偶数项是公比为2的等比数列，只要分开来计算即可.
【详解】由于，所以当n为奇数时，是等差数列，即：
共10项，
和为；
，共10项，
其和为；
∴该数列前20项的和；
故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】根据向量平行求得，由此求得.
【详解】由于，所以.
故答案为：
14、①②
【解析】根据题意，先判断曲线关于轴对称，由基本不等式的性质对方程变形，得到，可判定①正确；当时，，得到曲线右侧部分的点到原点的距离都不超过，再根据曲线的对称性，可判定②正确；由轴的上方，图形的面积大于四点围成的矩形的面积，在轴的下方，图形的面积大于三点围成的三角形的面积，可判断③不正确.
【详解】根据题意，曲线，
用替换曲线方程中的，方程不变，所以曲线关于轴对称，
对于①中，当时，，即为，
可得，所以曲线经过点，
再根据对称性可知，曲线还经过点，故曲线恰好经过6个整点，所以①正确；
对于②中，由①可知，当时，，即曲线右侧部分的点到原点的距离都不超过，再根据曲线的对称性可知，曲线上任意一点到原点的距离都不超过，所以②正确；
对于③中，因为在轴的上方，图形的面积大于四点围成的矩形的面积，在轴的下方，图形的面积大于三点围成的三角形的面积，所以曲线所围城的“心形”区域的面积大于3，所以③不正确.
故选：①②
15、
【解析】利用等差中项的定义可求得结果.
【详解】由等差中项的定义可得.
故答案为：.
16、
【解析】根据成等比数列，可得，再根据的关系可得，
然后结合的自身范围解方程即可求出
【详解】∵成等比数列，∴，
∴，∴，
∴，又，∴
故答案为：
【点睛】本题主要考查椭圆的离心率的计算以及等比数列定义的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）单调递增区间是(4,+∞)，单调递减区间是(0,4)；
（2）证明见解析.
【解析】（1）求的导函数，结合定义域及导数的符号确定单调区间；
（2）法一：讨论、时的零点情况，即可得，构造，利用导数研究在(0,2a)恒成立，结合单调性证明不等式；法二：设，由零点可得，进而应用分析法将结论转化为证明，综合换元法、导数证明结论即可.
【小问1详解】
函数的定义域为(0,+∞)，
当a=2时，，则
令得，x>4；令得，0<x<4；
所以,单调递增区间是(4,+∞)；单调递减区间是(0,4).
【小问2详解】
法一：
当a≤0时，>0 在(0,+∞)上恒成立，故函数不可能有两个不相等的零点，
当a>0时，函数在(2a,+∞)上单调递增，在(0,2a)上单调递减，
因为函数有两个不相等的零点，则，
不妨设，
设，（0<x<2a），则，
所以，
由a>0知：在(0,2a)恒成立，
所以在(0,2a)上单调递减，即>=0，
所以，即，又，故，
因为，所以，
因为函数在(2a,+∞)上单调递增，
所以，即
法二：不妨设，
由题意得，，得，即，
要证，只需证，即证：，即，
令，，则，
所以在区间(1,+∞)单调递减，故<=0，即恒成立
因此，所以.
【点睛】关键点点睛：第二问，法一：应用极值点偏移方法构造，将问题转化为在(0,2a)恒成立，法二：根据零点可得，再由分析法将问题化为证明，构造函数，综合运用换元法、导数证明结论.
18、（1）
（2）9
【解析】(1)首先根据已知条件分别求出的首项和公差，然后利用等差数列的通项公式求解即可；(2)首先利用等差数列求和公式求出，然后利用裂项相消法和分组求和法求出，进而可求出的通项公式，最后利用等差数列求和公式求解即可.
【小问1详解】
不妨设等差数列的公差为，
故，，
解得，，
从而，
即的通项公式为.
【小问2详解】
由题意可知，，
所以，
故
，
因为当时，；当时，，
所以，
由可知，，
即，解得，
即值为9.
19、（Ⅰ）；（Ⅱ）答案见解析.
【解析】（Ⅰ）求导数．求得切线方程，由切线与轴的交点在负半轴可得的范围；
（Ⅱ）求导数，由的正负确定单调性，极值得最值
【详解】命题意图 本题主要考查导数在函数问题中的应用
解析 （Ⅰ）由题可知，
，
故可得的图象在点处的切线方程为
令，可得
由题意可得，
即，解得，即的取值范围为
（Ⅱ）当时，
，
易知在上单调递增
又，
当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增
，无最大值
【点睛】关键点点睛：本题考查用导数的几何意义，考查用导数求函数的的最值．解题关键是求出导函数，由的正负确定单调性，得函数的极值，从而可得最值
20、（1）证明见解析.
（2）2－.
【解析】（1）根据递推公式，得到，推出，即可证明数列是等比数列；
（2）先由（1）求出，即bn＝，再错位相减法，即可求出数列的和.
【小问1详解】
（1）证明：因为an＋1＝，所以＝＝＋，
所以－＝－＝，
又a1－≠0，所以数列为以－＝为首项，为公比的等比数列.
【小问2详解】
解：由（1）可得＝＋，所以bn＝，
所以Sn＝＋＋＋…＋，①
所以Sn＝＋＋…＋＋，②
①－②得，Sn＝＋＋…＋－＝－，解得Sn＝2－.
21、（1）
（2）不能，理由见解析.
【解析】（1）利用题中距离之比列出关于动点的方程即可求解；
（2）先假设点P能为线段的中点，再利用点差法求出直线的斜率，最后联立直线与曲线进行检验即可.
【小问1详解】
解：动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是
则
等式两边平方可得：

化简得曲线C的方程为：

【小问2详解】
解：点不能为线段的中点，理由如下：
由（1）知，曲线C的方程为：
过点的直线斜率为，，
因为过点的直线与曲线C相交于两点，
所以，两式作差并化简得：①
当为的中点时，则，②
将②代入①可得：
此时过点的直线方程为：
将直线方程与曲线C方程联立得：
，
，无解
与过点的直线与曲线C相交于两点矛盾
所以点不能为线段的中点
【点睛】方法点睛：当圆锥曲线中涉及中点和斜率的问题时，常用点差法进行求解.
22、（1）
（2）
【解析】（1）直接利用两点式写出直线的方程；
（2）先求出直线的斜率，由点斜式写出直线的方程.
【小问1详解】
直线经过，两点，
由两点式得直线的方程为.
【小问2详解】
与直线垂直
直线的斜率为
由点斜式得直线的方程为.