高考数学第二轮专题第12讲-直线与圆.pptx

,第,12,讲,直线与圆,05,真知真题扫描,考点考法探究,教师备用习题,1,.,2020,全国卷,若过点,(2,1),的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线,2,x-y-,3,=,0,的距离为,(,)A.,B.,C.,D.,真知真题扫描,B,解析,因为过点,(2,1),的圆与两坐标轴都相切,所以可设圆心的坐标为,(,a,a,)(,a,0),则圆的半径为,a.,由,(,a-,2),2,+,(,a-,1),2,=a,2,解得,a=,1,或,a=,5,所以圆心的坐标为,(1,1),或,(5,5),.,因为点,(1,1),到直线,2,x-y-,3,=,0,的距离为,=,点,(5,5),到直线,2,x-y-,3,=,0,的距离为,=,所以圆心到直线,2,x-y-,3,=,0,的距离为,.,真知真题扫描,2,.,2020,北京卷,已知半径为,1,的圆经过点,(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为,(,),A,.,4B,.,5C,.,6D,.,7,A,解析,设圆心为,C,(,a,b,),则,C,:(,x-a,),2,+,(,y-b,),2,=,1,.,因为圆,C,过点,(3,4),所以,(3,-a,),2,+,(4,-b,),2,=,1,所以圆心,C,的轨迹是以,A,(3,4),为圆心,1,为半径的圆,所以圆心,C,到原点,O,的距离的最小值为,|AO|-,1,=,5,-,1,=,4,.,故选,A,.,真知真题扫描,3,.,2020,全国卷,若直线,l,与曲线,y=,和圆,x,2,+y,2,=,都相切,则,l,的方程为,(,),A,.y=,2,x+,1 B,.y=,2,x+,C,.y=,x+,1 D,.y=,x+,D,解析,设直线,l,与曲线,y=,相切于点,(,x,0,)(,x,0,0),因为,y=,所以直线,l,的方程是,y-,=,(,x-x,0,),即,x-,2,y+x,0,=,0,又直线,l,与圆,x,2,+y,2,=,相切,所以,=,=,得,x,0,=,1,所以,l,的方程为,x-,2,y+,1,=,0,故选,D,.,真知真题扫描,4,.,2020,天津卷,已知直线,x-,y+,8,=,0,和圆,x,2,+y,2,=r,2,(,r,0),相交于,A,B,两点,.,若,|AB|=,6,则,r,的值为,.,5,解析,圆心,(0,0),到直线,x-,y+,8,=,0,的距离,d=,=,4,由,|AB|=,2,可得,6,=,2,解得,r=,5,.,故答案为,5,.,真知真题扫描,5,.,2020,浙江卷,已知直线,y=kx+b,(,k,0),与圆,x,2,+y,2,=,1,和圆,(,x-,4),2,+y,2,=,1,均相切,则,k=,b=,.,解析,方法一,:,由题意可得,圆心,(0,0),和,(4,0),到直线,kx-y+b=,0,的距离都是,1,则,得,|b|=|,4,k+b|.,若,b=,4,k+b,则,k=,0,舍去,;,若,-b=,4,k+b,则,b=-,2,k,则,=,1,解得,k=,(,负值舍去,),所以,b=-,.,真知真题扫描,5,.,2020,浙江卷,已知直线,y=kx+b,(,k,0),与圆,x,2,+y,2,=,1,和圆,(,x-,4),2,+y,2,=,1,均相切,则,k=,b=,.,方法二,:,如图所示,两圆都与直线相切,则,Rt,ODB,Rt,ACB,则,B,(2,0),AB=,2,又,AC=,1,所以,ABC=,30,k=,tan 30,=,.,所以直线方程为,y=,(,x-,2),所以,b=-,.,真知真题扫描,6,.,2020,江苏卷,在平面直角坐标系,xOy,中,已知,P,(,0),A,B,是圆,C,:,x,2,+,(,y-,),2,=,36,上的两个动点,满足,PA=PB,则,PAB,面积的最大值是,.,10,解析,因为,PA=PB,CA=CB,所以,PC,AB.,设,C,到,AB,的距离为,d,则,0,d,6,易知当,P,C,在,AB,同侧,且,P,到,AB,的距离大于,d,时,PAB,的面积,S,能取到最大值,所以,S=,2,(,d+,1),=,.,令,f,(,d,),=,(,d+,1),2,(36,-d,2,),0,d,0,得,0,d,4,由,f,(,d,),0,得,4,d,6,则,f,(,d,),在,(0,4),上单调递增,在,(4,6),上单调递减,所以,S,在,d=,4,处取得最大值,10,.,考点考法探究,例,1,(1),直线,l,:2,x-y+,e,=,0,的倾斜角为,则,sin(,-,)sin(,+,),的值为,(,),A,.-,B,.-,C,.,D,.,直线的方程及应用,D,解析,由已知得,tan,=,2,则,sin(,-,)sin(,+,),=,sin,cos,=,=,=,=,.,故选,D,.,考点考法探究,(2),若,O,为坐标原点,P,是直线,x-y+,2,=,0,上的动点,则,|OP|,的最小值为,(,),A,.,B,.,C,.,D,.,2,解析,由题意知,当,OP,垂直于直线,x-y+,2,=,0,时,|OP|,取得最小值,最小值为,=,.,故选,B,.,考点考法探究,(3),唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句为,“,白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河,.,”,诗中隐含着一个有趣的数学问题,“,将军饮马,”,问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,.,在平面直角坐标系中,设军营所在区域为,x,2,+y,2,1,若将军从点,A,(2,0),处出发,河岸线所在直线方程为,x+y=,3,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则,“,将军饮马,”,的最短总路程为,(,),A,.,-,1B,.,2,-,1 C,.,2,D,.,解析,设点,A,关于直线,x+y=,3,的对称点为,A,(,a,b,),则线段,AA,的中点坐标为,(,),k,AA,=,.,由题意得,解得,易知点,A,到军营最短的距离即为,“,将军饮马,”,的最短总路程,最短总路程为,-,1,=,-,1,故选,A,.,考点考法探究,考点考法探究,【规律提炼】,直线的方程及其应用主要考查直线的倾斜角、直线与直线的位置关系、点到直线的距离等问题,一般比较简单,属容易题,.,考点考法探究,自测题,1,.,已知直线,l,1,:,x,sin,+y-,1,=,0,直线,l,2,:,x-,3,y,cos,+,1,=,0,若,l,1,l,2,则,sin 2,=,(,),A,.,B,.,C,.-,D,.,D,解析,因为,l,1,l,2,所以,sin,-,3cos,=,0,所以,tan,=,3,所以,sin 2,=,2sin,cos,=,=,=,.,故选,D,.,考点考法探究,2,.,将直线,l,:,y=,2,x+,1,绕点,A,(1,3),按逆时针方向旋转,45,得到直线,l,则直线,l,的方程为,(,),A,.,2,x-y+,1,=,0 B,.x-y+,2,=,0 C,.,3,x-,2,y+,3,=,0 D,.,3,x+y-,6,=,0,解析,设直线,l,:,y=,2,x+,1,的倾斜角为,则,tan,=,2,.,由题知直线,l,的斜率,k=,tan(45,+,),=,=-,3,所以直线,l,的方程为,y-,3,=-,3(,x-,1),即,3,x+y-,6,=,0,故选,D,.,考点考法探究,例,2,(1),若圆,x,2,+y,2,-,4,x+,2,y+a=,0,与,x,轴、,y,轴均有公共点,则实数,a,的取值范围是,(,),A,.,(,-,1B,.,(,-,0C,.,0,+,)D,.,5,+,),圆的方程及应用,A,解析,将圆的方程化为标准方程得,(,x-,2),2,+,(,y+,1),2,=,5,-a,由于该圆与,x,轴、,y,轴均,有公共点,故,解得,a,1,因此实数,a,的取值范围是,(,-,1,.,故选,A,.,考点考法探究,(2),如图,M5,-,12,-,1,现有边长均为,1,的正方形、正五边形、正六边形及半径为,1,的圆各一个,在水平桌面上无滑动滚动一周,它们的中心的运动轨迹长度分别为,l,1,l,2,l,3,l,4,则,(,),A,.l,1,l,2,l,3,l,4,B,.l,1,l,2,l,3,=l,4,C,.l,1,=l,2,=l,3,=l,4,D,.l,1,=l,2,=l,3,l,4,B,图,M5,-,12,-,1,解析,由题意可知,它们的中心滚动一周的运动轨迹都是圆,设圆的半径分别为,r,1,r,2,r,3,r,4,则由题意可知,r,1,=,r,2,=,(,1),r,3,=,1,r,4,=,1,得,r,1,r,2,r,3,=r,4,.,因为,l,1,=,2,r,1,l,2,=,2,r,2,l,3,=,2,r,3,l,4,=,2,r,4,所以,l,1,l,2,0,且,1,时,点,P,的轨迹是个圆,我们称这个圆为阿波罗尼斯圆,.,(3),已知两定点,A,B,动点,P,满足,=,确定隐形圆,.,(4),已知两定点,A,B,动点,P,满足,|PA|,2,+|PB|,2,是定值,确定隐形圆,.,考点考法探究,自测题,1,.,已知圆,C,经过两点,A,(0,2),B,(4,6),且圆心,C,在直线,l,:2,x-y-,3,=,0,上,则圆,C,的方程为,(,),A,.x,2,+y,2,-,6,y-,16,=,0B,.x,2,+y,2,-,2,x+,2,y-,8,=,0,C,.x,2,+y,2,-,6,x-,6,y+,8,=,0D,.x,2,+y,2,-,2,x+,2,y-,56,=,0,C,解析,因为线段,AB,的中点坐标为,(2,4),直线,AB,的斜率为,=,1,所以线段,AB,的垂直平分线方程为,y-,4,=-,(,x-,2),即,y=,6,-x,与直线,l,的方程联立,得圆心坐标为,(3,3),.,因为圆,C,的半径,r=,=,所以圆,C,的方程为,(,x-,3),2,+,(,y-,3),2,=,10,即,x,2,+y,2,-,6,x-,6,y+,8,=,0,.,故选,C,.,考点考法探究,2,.,已知,A,B,是圆,O,:,x,2,+y,2,=,16,上的两个动点,|AB|=,4,=,-,若,M,是线段,AB,的中点,则,=,(,),A,.,8,+,4,B,.,8,-,4,C,.,12 D,.,4,C,解析,由题意知,=,+,则,=,(,-,)(,+,),=,-,+,因为圆,O,的半径为,4,|AB|=,4,所以,与,的夹角为,则,=,8,=,=,16,所以,=,12,.,故选,C,.,考点考法探究,3,.,如图,M5-12-2,已知,A,(2,0),B,(1,1),C,(-1,1),D,(-2,0),是以,OD,为直径的圆上的一段圆弧,是以,BC,为直径的圆上的一段圆弧,是以,OA,为直径的圆上的一段圆弧,三段弧构成曲线,W,.,下列关于曲线,W,的说法中,正确的个数为,(,),曲线,W,与,x,轴围成的封闭图形的面积为,2;,曲线,W,上共有,5,个整点,(,横、纵坐标均为整数的点,);,所在圆与,所在圆的公共弦所在直线的方程为,x,-,y,=0.,A.0B.1C.2D.3,C,图,M5-12-2,考点考法探究,解析,曲线,W,与,x,轴围成的封闭图形的面积,S=,1,2,+,1,2,+,1,2,+,12,=,+,2,故,错误,;,曲线,W,上有点,(,-,2,0),(,-,1,1),(0,2),(1,1),(2,0),共,5,个整点,故,正确,;,所在圆的方程为,(,x-,1),2,+y,2,=,1,所在圆的方程为,x,2,+,(,y-,1),2,=,1,两圆的方程相减得,x-y=,0,故,正确,.,故选,C,.,图,M5-12-2,考点考法探究,例,3,(1),若过点,P,(,1),的直线,l,是圆,C,:(,x-,2,),2,+y,2,=,4,的一条对称轴,将直线,l,绕点,P,逆时针旋转,30,得到直线,l,则直线,l,被圆,C,截得的弦长为,(,),A,.,4 B,.,2,C,.,2 D,.,1,直线与圆、圆与圆的位置关系,B,解析,由题意知,点,P,在圆,C,上,且圆心,C,在直线,l,上,所以,|PC|=,2,.,如图,设,l,与圆,C,交于,P,Q,两点,线段,PQ,的中点为,H,连接,HC,则在,Rt,PHC,中,|PH|=,|PC|,cos 30,=,故直线,l,被圆,C,截得的弦长为,2,|PH|=,2,.,故选,B,.,考点考法探究,(2),过直线,x+y+,2,=,0,上一点,P,作圆,C,:(,x-,3),2,+,(,y+,1),2,=,16,的两条切线,切点分别为,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),若,-,=,(,x,1,-x,2,)(,x,1,+,x,2,-,2),则,|PA|=,(,),A,.,8 B,.,4,C,.,4,D,.,10,A,解析,连接,AB,PC,AC,取,AB,的中点,Q,易知,C,(3,-,1),设,E,(1,0),由,-,=,(,x,1,-x,2,)(,x,1,+x,2,-,2),得,=-,1,即,k,AB,k,EQ,=-,1,AB,EQ,P,C,E,三点共线,.,设,P,(,a,-a-,2),则,=,解得,a=-,5,则,P,(,-,5,3),|PA|=,=,=,8,故选,A,.,考点考法探究,(3)2020,全国卷,已知,M,:,x,2,+y,2,-,2,x-,2,y-,2,=,0,直线,l,:2,x+y+,2,=,0,P,为,l,上的动点,.,过点,P,作,M,的切线,PA,PB,切点为,A,B,当,|PM|,|AB|,最小时,直线,AB,的方程为,(,),A,.,2,x-y-,1,=,0B,.,2,x+y-,1,=,0 C,.,2,x-y+,1,=,0 D,.,2,x+y+,1,=,0,D,解析,连接,AM,BM,由题知,M,的标准方程为,(,x-,1),2,+,(,y-,1),2,=,4,.,设,|PM|=t,则,|PA|=,.,四边形,APBM,的面积,S=|PA|,|AM|=,|AB|,|PM|,|AB|=,=,|PM|,|AB|=,4,.,要使,|PM|,|AB|,最小,只需,t,最小,当且仅当,PM,l,时,|PM|,取得最小值,AB,l,排除,A,C,此时,t=,|AB|=,检验,B,D,选项可知,D,正确,.,故选,D,.,考点考法探究,【规律提炼】,直线与圆的位置关系既可以从几何的角度来探索,又可以从方程的角度来解决一些度量问题,体现数形结合的思想,.,对这类问题的考查,一般会涉及弦长、距离的计算、圆的切线、圆与圆的位置关系、圆的几何性质等,解答此类问题,“,圆的特征直角三角形,”“,垂径定理,”“,切线三角形,”,等是关键,.,考点考法探究,自测题,1,.,已知直线,y=-x,被圆,M,:,x,2,+y,2,+Ey=,0(,E,0),截得的弦长为,2,且圆,N,的,方程为,x,2,+y,2,-,2,x-,2,y+,1,=,0,则圆,M,与圆,N,的位置关系为,(,),A,.,相交,B,.,外切,C,.,相离,D,.,内切,A,解析,x,2,+y,2,+Ey=,0,可化为,x,2,+,(,y+,),2,=,可知圆心为,M,(0,-,),半径,r,M,=-,圆心,M,(0,-,),到直线,x+y=,0,的距离,d=,由,d=,=,=,解得,E=-,4,或,E=,4(,舍去,),M,(0,2),r,M,=,2,.,圆,N,的方程可化为,(,x-,1),2,+,(,y-,1),2,=,1,则圆心为,N,(1,1),半径,r,N,=,1,=,r,M,+r,N,=,3,r,M,-r,N,=,1,r,M,-r,N,r,M,+r,N,则圆,M,与圆,N,相交,故选,A,.,考点考法探究,2,.,在平面直角坐标系,xOy,中,已知直线,l,:,y=kx+,2,与圆,C,:(,x-,1),2,+y,2,=,9,相交于,A,B,两点,过点,A,B,分别作圆,C,的切线,l,1,l,2,直线,l,1,与,l,2,交于点,P,则线段,PC,长度的最小值是,.,解析,圆,C,:(,x-,1),2,+y,2,=,9,的圆心为,C,(1,0),半径为,3,直线,l,:,y=kx+,2,过定点,G,(0,2),连接,BC,AC,则,|PC|=,=,要使,|PC|,最小,则,cos,PCB,最大,即,PCB,最小,也就是,|AB|,最小,此时,AB,CG,由,|CG|=,得,cos,PCB=,线段,PC,长度的最小值是,=,.,考点考法探究,3,.,已知直线,Ax+By+C=,0(,其中,A,2,+B,2,=C,2,C,0),与圆,x,2,+y,2,=,6,交于,M,N,两点,O,是坐标原点,则,|MN|=,=,.,2,-,10,解析,由,A,2,+B,2,=C,2,C,0,可知,圆心,(0,0),到直线,Ax+By+C=,0,的距离,d=,=,1,所以,|MN|=,2,=,2,=,2,.,设线段,MN,的中点为,D,则,OD,MN,=,+,=,+,所以,=,(,+,),=-,=-,10,.,教师备用例题,备选理由,例,1,考查点与圆的位置关系,意在培养学生的计算能力和转化能力,.,例,2,考查动点的轨迹方程的求法,考查坐标法的应用,解题的关键就是利用数形结合思想,将代数式转化为距离求解,考查数形结合思想的应用以及运算求解能力,.,例,3,考查圆的一般方程与标准方程的转化、圆的几何性质、正弦定理的简单应用,具有一定的综合性,.,例,4,考查直线与圆相交所得的弦,.,例,5,考查直线与圆的综合应用,考查数形结合思想与转化化归思想,意在培养学生的运算能力,.,例,6,主要考查直线与直线、直线与圆的位置关系,.,教师备用例题,例,1,配例,2,使用,已知点,P,(2,2),和圆,C,:,x,2,+y,2,+,4,x+,2,y+k=,0,若过点,P,能作两条直线与,C,相切,则,k,的取值范围是,(,),A,.,0,k-,20,C,.k,5 D,.-,20,k,0,得,k,而,|PC|=,=,5,则有,25,5,-k,解得,k-,20,所以,-,20,k,0,k,1),的点的轨迹是圆,.,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆,.,若平面内两定点,A,B,间的距离为,2,动点,P,满足,=,则,|PA|,2,+,|PB|,2,的最小值为,(,),A,.,36,-,24,B,.,48,-,24,C,.,36,D,.,24,A,教师备用例题,解析,如图,以经过,A,B,的直线为,x,轴,线段,AB,的垂直平分线为,y,轴,建立平面直角,坐标系,则,A,(,-,1,0),B,(1,0),设,P,(,x,y,),=,=,两边平方并整理得,x,2,+y,2,-,6,x+,1,=,0,即,(,x-,3),2,+y,2,=,8,点,P,的轨迹是以,(3,0),为圆心,2,为半径的圆,则,|PA|,2,+|PB|,2,=,2(,x,2,+y,2,),+,2,=,2,|OP|,2,+,2,如图所示,易知当点,P,为,圆与,x,轴的交点,(,靠近原点,),时,|OP|,取得最小值,且,|OP|=,3,-,2,因此,|PA|,2,+|PB|,2,2(3,-,2,),2,+,2,=,36,-,24,故选,A,.,教师备用例题,例,3,配例,2,使用,已知圆,C,:,x,2,+y,2,-,6,x-,8,y-,11,=,0,点,M,N,在圆,C,上,平面上一动点,P,满足,|PM|=|PN|,且,PM,PN,则,|PC|,的最大值为,(,),A,.,4 B,.,4,C,.,6 D,.,6,解析,圆,C,的方程,x,2,+y,2,-,6,x-,8,y-,11,=,0,化成标准方程为,(,x-,3),2,+,(,y-,4),2,=,36,所以圆,C,的半径,r=,6,.,因为点,M,N,在圆,C,上,动点,P,满足,|PM|=|PN|,且,PM,PN,所以点,P,在以,MN,为直径的圆上,.,连接,CM,CN,则,PMC,PNC,得,MPC=,NPC=,45,在,PMC,中,由正弦定理可得,=,即,=,则,|PC|=,6,sin,PMC,因为,sin,PMC,1,所以,|PC|,的最大值为,6,故选,D,.,D,教师备用例题,例,4,配例,3,使用,已知圆,M,:,x,2,+y,2,=,12,过圆,M,内一点,E,(1,),的最长弦和最短弦分别是,AC,和,BD,则四边形,ABCD,的面积为,(,),A,.,6,B,.,12,C,.,12,D,.,24,C,解析,由题知,AC,BD,由,|OE|=,=,得,|BD|=,2,=,6,又,|AC|=,4,四边形,ABCD,的面积为,64,=,12,.,故选,C,.,教师备用例题,例,5,配例,3,使用,已知圆,C,:(,x-,1),2,+y,2,=r,2,(,r,1),与,x,轴负半轴的交点为,M,过点,M,且斜率为,2,的直线,l,与圆,C,的另一个交点为,N,若,MN,的中点,P,恰好落在,y,轴上,则,|MN|=,(,)A,.,B,.,C,.,D,.,B,解析,由题意可得,M,(1,-r,0),则直线,l,的方程为,y=,2(,x+r-,1),由,得,5,x,2,+,(8,r-,10),x+,3,r,2,-,8,r+,5,=,0,.,由,x,M,+x,N,=,1,-r+x,N,=,得,x,N,=,.,由,MN,的中点,P,恰好落在,y,轴上,得,1,-r+,=,0,即,r=,M,(,-,0),N,(,1),则,|MN|=,=,.,故选,B,.,教师备用例题,例,6,配例,3,使用,在平面直角坐标系,xOy,中,已知圆,C,的半径为,圆心在直线,l,:,y=,2,x-,1,上,若圆,C,上存在一点,P,使得直线,l,1,:,ax-y-,2,=,0,与直线,l,2,:,x+ay-,2,=,0,交于点,P,则当实数,a,变化时,圆心,C,的横坐标的取值范围是,.,-,1,解析,设,C,(,m,2,m-,1),.,易知直线,l,1,:,ax-y-,2,=,0,与直线,l,2,:,x+ay-,2,=,0,互相垂直,且分别过,定点,A,(0,-,2),B,(2,0),故点,P,在以,AB,为直径的圆上,.,设以,AB,为直径的圆的圆心为,M,半径为,r,由,|AB|=,=,2,知,r=,且,M,(1,-,1),.,因为点,P,在圆,C,上,故圆,M,与圆,C,有公共点,所以,0,|MC|,2,即,0,2,解得,-,1,m,即圆心,C,的横坐标的取值范围为,-,1,.,