宁夏大学附属中学2025届高二数学第二学期期末检测试题含解析.doc

宁夏大学附属中学2025届高二数学第二学期期末检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设，则“”是“”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动,社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目,每人限报其中一项,记事件为4名同学所报项目各不相同”,事件为“只有甲同学一人报关怀老人项目”,则（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合，集合满足，则集合的个数为
A． B． C． D．
4．若随机变量服从正态分布，则（ ）
附：随机变量，则有如下数据：，
，.
A． B． C． D．
5．设.若函数，的定义域是.则下列说法错误的是（ ）
A．若，都是增函数，则函数为增函数
B．若，都是减函数，则函数为减函数
C．若，都是奇函数，则函数为奇函数
D．若，都是偶函数，则函数为偶函数
6．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．己知集合，，若，则实数的取值范围_______.
A． B． C． D．
8．某高中举办了一场中学生作文竞赛活动，现决定从参赛选手中选出一等奖一名、二等奖二名、三等奖二名，通过评委会获悉在此次比赛中获奖的学生为3男2女，其中一等奖、二等奖的奖项中都有男生，请计算一下这5名学生不同的获奖可能种数为（ ）
A．12 B．15 C．18 D．21
9．已知空间不重合的三条直线、、及一个平面，下列命题中的假命题是（ ）．
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
10．设：实数，满足，且；：实数，满足；则是的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11．一次考试中，某班学生的数学成绩近似服从正态分布，若，则该班数学成绩的及格（成绩达到分为及格）率可估计为（ ）
A． B． C． D．
12．第十九届西北医疗器械展览将于2018年5月18至20日在兰州举行,现将5名志愿者分配到3个不同的展馆参加接待工作，每个展馆至少分配一名志愿者的分配方案种数为 （ ）
A．540 B．300 C．180 D．150
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知顶点在原点的抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则抛物线的方程为______．
14．《左传.僖公十四年》有记载:“皮之不存,毛将焉附?"”这句话的意思是说皮都没有了,毛往哪里依附呢?比喻事物失去了借以生存的基础,就不能存在.皮之不存,毛将焉附?则“有毛”是“有皮”的__________条件(将正确的序号填入空格处).
①充分条件②必要条件③充要 条件④既不充分也不必要条件
15．已知a，1，2，，则不同的复数的个数是______．
16．在的展开式中，项的系数为_____________.（用数字作答）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知，不等式的解集是．
（）求的值．
（）若存在实数解，求实数的取值范围．
18．（12分）已知函数.
(Ⅰ)证明：；
(Ⅱ)若直线为函数的切线，求的最小值.
19．（12分）在复平面内，复数 （其中）.
（1）若复数为实数，求的值；
（2）若复数为纯虚数，求的值；
（3）对应的点在第四象限，求实数的取值范围．
20．（12分）已知正四棱柱的底面边长为2，.

（1）求该四棱柱的侧面积与体积；
（2）若为线段的中点，求与平面所成角的大小.
21．（12分）2017年5月，来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国的“新四大发明”：高铁、扫码支付、共享单车和网购.乘坐高铁可以网络购票，为了研究网络购票人群的年龄分布情况，在5月31日重庆到成都高铁9600名网络购票的乘客中随机抽取了120人进行了统计并记录，按年龄段将数据分成6组：，得到如下直方图：

（1）试通过直方图，估计5月31日当天网络购票的9600名乘客年龄的中位数；
（2）若在调查的且年龄在段乘客中随机抽取两人，求两人均来自同一年龄段的概率.
22．（10分）如图所示，在四棱锥中，平面，，，是的中点，是上的点，且，为中边上的高.

（1）证明：平面；
（2）若，，，求三棱锥的体积.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.
【详解】
化简不等式，可知 推不出；
由能推出，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选B．
本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件．
2、A
【解析】
确定事件，利用古典概型的概率公式计算出和，再利用条件概型的概率公式可计算出的值.
【详解】
事件为“名同学所报项目各不相同且只有甲同学一人报关怀老人项目”，
则，，，故选：A.
本题考查条件概型概率的计算，考查条件概率公式的理解和应用，考查运算能力，属于中等题。
3、D
【解析】
分析：根据题意得到为的子集，确定出满足条件的集合的个数即可
详解：集合，集合满足，

则满足条件的集合的个数是
故选
点睛：本题是基础题，考查了集合的子集，当集合中有个元素时，有个子集。
4、B
【解析】
先将、用、表示，然后利用题中的概率求出的值.
【详解】
由题意可知，，则，，，
因此，，
故选B.
本题考查利用正态分布原则求概率，解题时要将相应的数用和加以表示，并利用正态曲线的对称性列式求解，考查计算能力，属于中等题.
5、C
【解析】
根据题意得出，据此依次分析选项，综合即可得出答案．
【详解】
根据题意可知，，
则，据此依次分析选项：
对于A选项，若函数、都是增函数，可得图象均为上升，则函数为增函数，A选项正确；
对于B选项，若函数、都是减函数，可得它们的图象都是下降的，则函数
为减函数，B选项正确；
对于C选项，若函数、都是奇函数，则函数不一定是奇函数，如，，可得函数不关于原点对称，C选项错误；
对于D选项，若函数、都是偶函数，可得它们的图象都关于轴对称，则函数
为偶函数，D选项正确．故选C．
本题考查分段函数的奇偶性与单调性的判定，解题时要理解题中函数的定义，考查判断这些基本性质时，可以从定义出发来理解，也可以借助图象来理解，考查分析问题的能力，属于难题．
6、C
【解析】
求导，把分别代入导函数和原函数，得到斜率和切点，再计算切线方程.
【详解】

将代入导函数方程，得到
将代入曲线方程，得到切点为：
切线方程为：
故答案选C
本题考查了曲线的切线，意在考查学生的计算能力.
7、B
【解析】
首先解出集合,若满足，则当时，和恒成立，求的取值范围.
【详解】
，
，
即当时，恒成立，
即 ，当时恒成立，
即 ，
而是增函数，
当时，函数取得最小值，

且当时，恒成立，
，解得：
综上：.
故选：B
本题考查根据给定区间不等式恒成立求参数取值范围的问题，意在考查转化与化归和计算求解能力，恒成立问题可以参变分离转化为求函数的最值问题，如果函数是二次函数可以转化为根的分布问题，列不等式组求解.
8、B
【解析】
一等奖为男生，则从3个男生里选一个；二等奖有男生，可能是一男一女，可能是两男；剩下的即为三等奖的学生，依照分析求组合数即可
【详解】
由题可知，一等奖为男生，故；
二等奖可能为2个男生或1个男生，1个女生，故
故获奖可能种数为，即选B
本题考查利用排列组合解决实际问题，考查分类求满足条件的组合数
9、B
【解析】
根据线线、线面有关定理对选项逐一分析，由此确定是假命题的选项.
【详解】
对于A选项，根据平行公理可知，A选项正确.
对于B选项，两条直线平行与同一个平面，这两条直线可以相交、平行或异面，故B选项是假命题.
对于C选项，由于，，根据空间角的定义可知，，C选项正确.
对于D选项，由于，所以平行于平面内一条直线，而，所以，所以，即D选项正确.
故选：B.
本小题主要考查空间线线、线面有关命题真假性的判断，属于基础题.
10、A
【解析】
利用充分必要性定义及不等式性质即可得到结果.
【详解】
当，且时，显然成立，故充分性具备；
反之不然，比如：a=100，b=0.5满足，但推不出，且，故必要性不具备，所以是的充分不必要条件.
故选A
本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
11、B
【解析】
由题意得出正态密度曲线关于直线对称，由正态密度曲线的对称性得知所求概率为可得出结果.
【详解】
由题意，得，又，
所以，
故选B.
本题考查正态分布在指定区间上概率的计算，解题时要充分利用正态密度曲线的对称性转化为已知区间的概率来计算，考查运算求解能力，属于中等题.
12、D
【解析】
分析：将人分成满足题意的组有与两种，分别计算分为两类情况的分组的种数，再分配到三个不同的展馆，即可得到结果．
详解：将人分成满足题意的组有与两种，
分成时，有种分法；
分成时，有种分法,
由分类计数原理得，共有种不同的分法，故选D．
点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
求得抛物线的右焦点坐标，由此求得抛物线方程.
【详解】
椭圆的，故，故，所以椭圆右焦点的坐标为，故，所以，所以抛物线的方程为.
故答案为：
本小题主要考查椭圆焦点的计算，考查根据抛物线的焦点计算抛物线方程，属于基础题.
14、①
【解析】
分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
详解：由题意知“无皮”⇒“无毛”，所以“有毛”⇒“有皮”即“有毛”是“有皮”的充分条件．
故答案为：①．
点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．
15、1
【解析】
分和两种情况讨论，结合排列数公式求解．
【详解】
当时，复数的个数是4个；
当时，由排列数公式可知，组成不同的复数的个数是个
不同的复数的个数是1个．
故答案为：1．
本题主要考查了排列及排列数公式，涉及分类讨论思想，属于中档题．
16、
【解析】
由，然后利用二项式定理得出含项为，然后利用二项式展开式通项求出中项的系数，与相乘即可得出结果.
【详解】
，展开式中含的项为，
中含项为，
因此，的展开式中项的系数为.
故答案为：.
本题考查二项展开式的应用，在处理含三项的问题时，可将其转化为两项的和来处理，考查运算求解能力，属于中等题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) ,(2) .
【解析】
试题分析：（1）通过讨论a的范围，求出不等式的解集，根据对应关系求出a的值即可；
（2）根据不等式的性质求出最小值，得到关于k的不等式，解出即可．
解析：（1）由，得，即，
当时，，
所以，解得；
当时，，
所以无解.
所以.
(2)因为 ，
所以要使存在实数解，
只需，所以实数的取值范围是.
点睛：本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，以及函数恒成立求参的方法．
18、 (1)见解析.(2) .
【解析】
（1）由即为，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可得到结论；
（2）求得函数的导数，设出切点，可得的值和切线方程，令，求得，令，利用导数求得函数的单调性与最小值，即可求解．
【详解】
(Ⅰ)证明：整理得
令，
当，，所以在上单调递增；
当，，所以在上单调递减，
所以，不等式得证.
(Ⅱ)，设切点为，
则，函数在点处的切线方程为
，令，解得，
所以，令，
因为，，所以，
，
当，，所以在上单调递减；
当，，所以在上单调递增，
因为，.
本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
19、（1）或4；（2）；（3）
【解析】
（1）根据复数为实数条件列方程解得结果，（2）根据纯虚数定义列式求解，（3）根据复数几何意义列不等式解得结果
【详解】
（1）因为复数为实数，所以，
所以或4；
（2）因为复数为纯虚数，所以，
所以
（3）因为对应的点在第四象限，所以
解不等式组得，，
即的取值范围是.
本题考查复数相关概念以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.
20、（1），

（2）
【解析】
试题分析：⑴根据题意可得：在中，高
∴

⑵过作，垂足为，连结，则平面，
∵平面，∴
∴在中，就是与平面所成的角
∵，∴，
又是的中点，∴是的中位线，
∴
在中
∴
∴
考点：线面角，棱柱的体积
点评：解决的关键是对于几何体体积公式以及空间中线面角的求解的表示，属于基础题．
21、（1）32.5 （2）
【解析】
（1）中位数是直方图中把频率等分的那一点对应的数据．
（2）由直方图得年龄在和的乘客人数频率都为0.05，可得人数，计算抽取方法总数和来自同一年龄段的方法数后可计算概率．
【详解】
（1）由直方图可知：中位数在区间内，设中位为x.
由题可得：，
所以5月31日当天网络购票的9600名乘客年龄的中位数大约为32.5
（2）年龄在和的乘客人数相等，频率为．人数为人
则在调查的且年龄在段乘客中随机抽取两人求两人均来自同一年龄段的概率为：
．
本题考查频率分布直方图，考查中位数，考查古典概型．掌握频率分布直方图的知识是解题基础．
22、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）通过证明，证得线面垂直；
（2）求出点到平面的距离，利用锥体体积公式即可得解.
【详解】
（1）因为平面，平面，所以，
又因为为中边上的高，所以，
，平面，平面，
所以平面.
（2），
因为是中点，平面，
所以点到平面的距离为，
于是.
此题考查证明线面垂直和求锥体的体积，关键在于熟练掌握线面垂直的判定定理，准确求出点到平面的距离，根据公式计算得解.