山西省忻州市静乐县第一中学2024-2025学年高二下数学期末考试模拟试题含解析.doc

山西省忻州市静乐县第一中学2024-2025学年高二下数学期末考试模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问数学考试的成绩老师说：你们四人中有两位优秀、两位良好，我现在给乙看甲、丙的成绩，给甲看丙的成绩，给丁看乙的成绩，看后乙对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（ ）
A．甲可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩
C．甲、丁可以知道对方的成绩 D．甲、丁可以知道自己的成绩
2．已知集合,,则下图中阴影部分所表示的集合为( )

A． B． C． D．
3．如果点位于第三象限，那么角所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．某商场要从某品牌手机a、 b、 c、 d 、e 五种型号中，选出三种型号的手机进行促销活动，则在型号a被选中的条件下，型号b也被选中的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，，则，，的大小关系为（）
A． B．
C． D．
6．已知某产品的次品率为4%，其合格品中75%为一级品，则任选一件为一级品的概率为（）
A．75% B．96% C．72% D．78.125%
7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)

A．16 B．(10＋)π C．4＋(5＋)π D．6＋(5＋)π
8．若是第四象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
9．随机变量，且，则（ ）
A．0.20 B．0.30 C．0.70 D．0.80
10．甲、乙、丙 3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是
A．210 B．336 C．84 D．343
11．已知向量，，若与垂直，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
12．为预测某种产品的回收率y，需要研究它和原料有效成分的含量x之间的相关关系，现取了8组观察值．计算得，，，，则y对x的回归方程是(　　)
A．＝11.47＋2.62x B．＝－11.47＋2.62x
C．＝2.62＋11.47x D．＝11.47－2.62x
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知是虚数单位，则复数的实部为______ .
14．已知定义在R上的函数是奇函数且满足，则_________.
15．已知函数是上的增函数，则实数的数值范围为________.
16．如图，在一个底面边长为cm的正六棱柱容器内有一个半径为cm的铁球，现向容器内注水，使得铁球完全浸入水中，若将铁球从容器中取出，则水面下降______cm.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）把6本不同的书，全部分给甲，乙，丙三人，在下列不同情形下，各有多少种分法？（用数字作答）
(Ⅰ)甲得2本；
(Ⅱ)每人2本；
(Ⅲ)有1人4本，其余两人各1本．
18．（12分）己知函数.
（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）是否存在整数使得函数的极大值大于零，若存在，求的最小整数值，若不存在，说明理由.
19．（12分）如图是某市年月日至日的空气质量指数趋势图，某人随机选择年月日至月日中的某一天到达该市，并停留天.

（1）求此人到达当日空气质量指数大于的概率；
（2）设是此人停留期间空气质量指数小于的天数，求的分布列与数学期望；
（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）
20．（12分）已知函数，为自然对数的底数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求函数的单调区间与极值.
21．（12分）若，且.
(1)求；
(2)归纳猜想通项公式.
22．（10分）2018年6月14日，国际足联世界杯足球赛在俄罗斯举行了第21届赛事.虽然中国队一如既往地成为了看客，但中国球迷和参赛的32支队伍所在国球迷一样，对本届球赛热情似火，在6月14日开幕式的第二天，我校足球社团从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：

收看
没收看
男生
60
20
女生
20
20
（1）根据上表说明，能否有99%的把握认为，是否收看开幕式与性别有关?
（2）现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取12人参加志愿者宣传活动.
（i）问男、女学生各选取了多少人？
（ⅱ）若从这12人中随机选取3人到校广播站开展足球项目的宣传介绍，设选取的3人中女生人数为X，写出X的分布列，并求.
附：，其中.

0.10
0.05
0.025
0.01
0.005

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
先由乙不知道自己成绩出发得知甲、丙和乙、丁都是一优秀、一良好，那么甲、丁也就结合自己看的结果知道自己成绩了.
【详解】
解：乙看后不知道自己成绩，说明甲、丙必然是一优秀、一良好，则乙、丁也必然是一优秀、一良好；甲看了丙的成绩，则甲可以知道自己和丙的成绩；丁看了乙的成绩，所以丁可以知道自己和乙的成绩，故选D.
本题考查了推理与证明，关键是找到推理的切入点.
2、B
【解析】
分析：根据韦恩图可知阴影部分表示的集合为，首先利用偶次根式满足的条件，求得集合B，根据集合的运算求得结果即可.
详解：根据偶次根式有意义，可得，
即，解得，即，
而题中阴影部分对应的集合为，
所以，故选B.
点睛：该题考查的是有关集合的运算的问题，在求解的过程中，首先需要明确偶次根式有意义的条件，从而求得集合B，再者应用韦恩图中的阴影部分表示的是，再利用集合的运算法则求得结果.
3、B
【解析】
由二倍角的正弦公式以及已知条件得出和的符号，由此得出角所在的象限.
【详解】
由于点位于第三象限，则，得，
因此，角为第二象限角，故选B.
本题考查角所在象限的判断，解题的关键要结合已知条件判断出角的三角函数值的符号，利用“一全二正弦，三切四余弦”的规律判断出角所在的象限，考查推理能力，属于中等题.
4、B
【解析】
设事件表示“在型号被选中”，事件表示“型号被选中”，则，，由此利用条件概率能求出在型号被选中的条件下，型号也被选中的概率.
【详解】
解从、、、、5种型号中，选出3种型号的手机进行促销活动．
设事件表示“在型号被选中”，事件表示“型号被选中”，
，，
∴在型号被选中的条件下，型号也被选中的概率：，
故选：B.
本题考查条件概率的求法，考查运算求解能力，属于基础题.
5、C
【解析】
根据的单调性判断的大小关系，由判断出三者的大小关系.
【详解】
由，，，则.故选C.
本小题主要考查对数运算，考查对数函数的单调性，考查对数式比较大小，属于基础题.
6、C
【解析】
不妨设出产品是100件，求出次品数，合格品中一级品数值，然后求解概率.
【详解】
解：设产品有100件，次品数为：4件，合格品数是96件，合格品中一级品率为75%.
则一级品数为：96×75%＝72，
现从这批产品中任取一件，恰好取到一级品的概率为：.
故选：C.
本题考查概率的应用，设出产品数是解题的关键，注意转化思想的应用.
7、C
【解析】
分析：由该几何体的三视图判断出组合体各部分的几何特征，以及各部分的几何体相关几何量的数据，由面积公式求出该几何体的表面积.
详解：该几何体是两个相同的半圆锥与一个半圆柱的组合体，

其表面积为：S＝π＋4π＋4＋π＝4＋(5＋)π.
故选：C.
点睛：本题考查了由三视图求几何体的表面积，解题的关键是根据三视图判断几何体的结构特征及相关几何量的数据.
8、C
【解析】
确定角所处的象限，并求出的值，利用诱导公式求出的值．
【详解】
是第四象限角，则，
，且，
所以，是第四象限角，则，
因此，，故选C．
本题考查三角求值，考查同角三角函数基本关系、诱导公式的应用，再利用同角三角函数基本关系求值时，要确定对象角的象限，于此确定所求角的三角函数值符号，结合相关公式求解，考查计算能力，属于中等题．
9、B
【解析】
分析：由及可得．
详解：∵，∴．
故选B．
点睛：本题考查正态分布，若随机变量中，则正态曲线关于直线对称，因此有，（）．
10、B
【解析】
由题意知本题需要分组解决，共有两种情况，对于7个台阶上每一个只站一人，若有一个台阶有2人另一个是1人，根据分类计数原理得到结果．
【详解】
由题意知本题需要分组解决，
∵对于7个台阶上每一个只站一人有A73种；
若有一个台阶有2人另一个是1人共有C31A72种，
∴根据分类计数原理知共有不同的站法种数是A73+C31A72=336种．
故答案为：B．
分类要做到不重不漏，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．分步要做到步骤完整﹣﹣完成了所有步骤，恰好完成任务．
11、B
【解析】
分析：先求出的坐标，然后根据向量垂直的结论列出等式求出x，再求即可.
详解：由题可得：

故选B.
点睛：考查向量的坐标运算，向量垂直关系和模长计算，正确求解x是解题关键，属于基础题.
12、A
【解析】
分析：根据公式计算≈2.62，≈11.47，即得结果.
详解：由，直接计算得≈2.62，≈11.47，所以＝2.62x＋11.47.选A.
点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】
，
复数的实部为1．
故答案为：1．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于容易题．
14、0
【解析】
根据奇函数的性质可知，由可求得周期和，利用周期化简所求式子可求得结果.
【详解】
为定义在上的奇函数，.
由得：，是周期为的周期函数，
令得：.
.
故答案为：.
本题考查利用函数的奇偶性和周期性求解函数值的问题，关键是能够根据抽象函数关系式推导得到函数的周期.
15、.
【解析】
根据在上的单调性列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
【详解】
依题意可知且，所以.
由于在上递增，所以即，解得.
故答案为：
本小题主要考查根据分段函数单调性求参数的取值范围，属于中档题.
16、
【解析】
由题意可求球的体积，假设铁球刚好完全浸入水中，则水面高度为，将铁球从容器中取出，求出水面高度，即可求水面下降高度．
【详解】
解：假设铁球刚好完全浸入水中，球的体积，水面高度为，
此时正六棱柱容器中水的体积为，
若将铁球从容器中取出，则水面高度，
则水面下降.
故答案为:.
本题考查了球体积的求解，考查了棱柱体积的求解.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）240种（Ⅱ）90种（Ⅲ）90种
【解析】
（Ⅰ）根据题意，分2步进行分析：①，在6本书中任选2本，分给甲，②，将剩下的4本分给乙、丙，由分步计数原理计算可得答案；
（Ⅱ）根据题意，分2步进行分析：①，将6本书平均分成3组，②，将分好的3组全排列，分给甲乙丙三人，由分步计数原理计算可得答案；
（Ⅲ）根据题意，分2步进行分析：①，在6本书中任选4本，分给三人中1人，②，将剩下的2本全排列，安排给剩下的2人，由分步计数原理计算可得答案；
【详解】
（Ⅰ）根据题意，分2步进行分析：
①，在6本书中任选2本，分给甲，有C62＝15种选法，
②，将剩下的4本分给乙、丙，每本书都有2种分法，则有2×2×2×2＝16种分法，
则甲得2本的分法有15×16＝240种；
（Ⅱ）根据题意，分2步进行分析：
①，将6本书平均分成3组，有15种分组方法，
②，将分好的3组全排列，分给甲乙丙三人，有A33＝6种情况，
则有15×6＝90种分法；
（Ⅲ）根据题意，分2步进行分析：
①，在6本书中任选4本，分给三人中1人，有C64×C31＝45种分法，
②，将剩下的2本全排列，安排给剩下的2人，有A22＝2种情况，
则有45×2＝90种分法．
本题考查排列、组合的应用，考查了分组分配问题的步骤，涉及分类、分步计数原理的应用，属于中档题．
18、（1）；（2）在上单调递增，在上单调递减；（3）1，理由见解析
【解析】
（1）求导函数的导数，利用导数求出在处切线的斜率，即可得答案．
（2）求导，然后对分情况讨论，求出单调区间；
（3）利用（2）的结论必须满足时才有极大值，然后由极大值列出不等式，判断的正负，即可得答案．
【详解】
（1）；
当时，令；
；；
函数的图象在处的切线方程为；
（2）根据题意得当时，在时恒成立，在上单调递减；
当时，令；令；令；
在上单调递增，在上单调递减．
（3）由（2）可得当时，函数不存在极值，不符合题意（舍掉）必须；
函数的极大值为，
设，；
且当时，；当时，；
最小值为，
，，
的最小整数值为1．
本题考查函数的单调性、函数的极值、以及函数在某点的切线方程，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．
19、 (1)；(2)答案见解析；(3)答案见解析.
【解析】
分析：（1） 由空气质量指数趋势图，直接利用古典概型概率公式可得“此人到达当日空气质量指数大于” 的概率；（2）由题意可知，的可能取值为，，，分别利用古典概型概率公式求出相应的概率，由此能求出故的分布列，利用期望公式可得；（3）由图知，从日开始，连续三天（日，日，日）空气质量指数方差最大.
详解：（1）设 “此人到达当日空气质量指数大于”的事件为，则；
（2）的可能取值为，，，则，，，
故的分布列为：

所以.
（3）由图知，从日开始，连续三天（日，日，日）空气质量指数方差最大.
点睛：本题主要考查互斥事件的概率公式、以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先正确要理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.
20、（1）；（2）的单调递减区间为，单调递增区间为；极小值为，无极大值.
【解析】
首先求得；（1）将代入求得且点坐标，根据导数的几何意义可求得切线斜率，利用点斜式可得切线方程；（2）令导函数等于零，求得，从而可得导函数在不同区间内的符号，进而得到单调区间；根据极值的定义可求得极值.
【详解】
由得：
（1）在处切线斜率：，又
所求切线方程为：，即：
（2）令，解得：
当时，；当时，
的单调递减区间为：；单调递增区间为：
的极小值为：；无极大值
本题考查利用导数求解曲线在某一点处的切线方程、求解导数的单调区间和极值的问题，考查学生对于导数基础应用的掌握.
21、 (1) .
【解析】
(1)分别把，代入递推公式中，可以求出的值；
(2)根据的数字特征猜想出通项公式.
【详解】
(1)由已知a1＝1， ，当时，得
当时，得当时，得
当时，得因此；
(2) 因为,
.
所以归纳猜想，得 (n∈N*).
本题考查了已知递推公式猜想数列通项公式，考查了数感能力.
22、（1）有（2）（i）男生有9人，女生有3人.（ⅱ）见解析，
【解析】
（1）套用公式，算出的值与6.635比较大小，即可得到本题答案；
（2）（i）由男女的比例为3：1，即可得到本题答案；（ii）根据超几何分布以及离散型随机变量的均值公式，即可得到本题答案.
【详解】
（1）因为，
所以有99%的把握认为，是否收看开幕式与性别有关.
（2）（ⅰ）根据分层抽样方法得，男生人，女生人，
所以选取的12人中，男生有9人，女生有3人.
（ⅱ）由题意可知，X的可能取值有0，1，2，3.
，，
，
X
0
1
2
3
P

∴.
本题主要考查分层抽样，独立性检验的应用和超几何分布以及其分布列均值的求法，考查学生的运算求解能力.