四川省遂宁市射洪县2025届高二下数学期末统考模拟试题含解析.doc

四川省遂宁市射洪县2025届高二下数学期末统考模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．用反证法证明：若整系数一元二次方程有有理数根，那么、、中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（ ）
A．假设、、都是偶数
B．假设、、都不是偶数
C．假设、、至多有一个偶数
D．假设、、至多有两个偶数
2．的展开式中的系数为（ ）
A．5 B．10 C．20 D．30
3．2017年1月我市某校高三年级1600名学生参加了全市高三期末联考，已知数学考试成绩（试卷满分150分）．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次期末联考中成绩不低于120分的学生人数约为
A．120 B．160 C．200 D．240
4．设，均为实数，且，，，则( )
A． B． C． D．
5．甲乙两人有三个不同的学习小组， ， 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，则函数的单调递增区间是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．
7．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件{两次的点数均为奇数}，{两次的点数之和小于}，则（ ）
A． B． C． D．
8．设，则“”是“直线与平行”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知回归直线的斜率的估计值为1.8，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程是（ ）
A． B． C． D．
11．已知集合，集合满足，则集合的个数为
A． B． C． D．
12．设复数满足，则的共轭复数的虚部为（ ）
A．1 B．-1 C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．参数方程所表示的曲线与轴的交点坐标是______．
14．用1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，这样的六位数的个数是_________（用数字作答）.
15．在xOy平面上，将双曲线的一支及其渐近线和直线、围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分，记D绕y轴旋转一周所得的几何体为，过作的水平截面，计算截面面积，利用祖暅原理得出体积为________

16．已知函数的导函数为，且对任意的实数都有(是自然对数的底数)，且，若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是_________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设函数.
（1）求的单调区间；
（2）求使对恒成立的的取值范围.
18．（12分）设椭圆的离心率为，圆与轴正半轴交于点，圆在点处的切线被椭圆截得的弦长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设圆上任意一点处的切线交椭圆于点，试判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，且平面平面.

（1）证明：
（2）求二面角的余弦值.
20．（12分）已知抛物线的焦点为，过点且与轴不垂直的直线与抛物线交于点，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线与轴交于点，试探究：线段与的长度能否相等？如果相等，求直线的方程，如果不等，说明理由．
21．（12分）设是数列的前项的和，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，数列的前项和为，求使时的最小值.
22．（10分）在中，角的对边分别为，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
根据反证法的概念，可知假设应是所证命题的否定，即可求解，得到答案。
【详解】
根据反证法的概念，假设应是所证命题的否定，
所以用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数”时，假设应为“假设都不是偶数”，故选B。
本题主要考查了反证法的概念及其应用，其中解答中熟记反证法的概念，准确作出所证命题的否定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
2、D
【解析】
根据乘法分配律和二项式展开式的通项公式，列式求得的系数.
【详解】
根据乘法分配律和二项式展开式的通项公式，题目所给表达式中含有的为，故展开式中的系数为，故选D.
本小题主要考查二项式展开式通项公式的应用，考查乘法分配律，属于基础题.
3、C
【解析】
结合正态分布图象的性质可得：此次期末联考中成绩不低于120分的学生人数约为 . 选C.
4、B
【解析】
分析：将题目中方程的根转化为两个函数图像的交点的横坐标的值，作出函数图像，根据图像可得出的大小关系.
详解：在同一平面直角坐标系中，
分别作出函数的图像
由图可知，故选B.

点睛：解决本题，要注意①方程有实数根②函数图像与轴有交点③函数有零点三者之间的等价关系，解决此类问题时，有时候采用“数形结合”的策略往往能起到意想不到的效果.
5、A
【解析】依题意，基本事件的总数有种，两个人参加同一个小组，方法数有种，故概率为.
6、C
【解析】
先求出函数的定义域，再求导，根据导数大于0解得x的范围，继而得到函数的单调递增区间．
【详解】
函数f(x)＝x2－5x＋2ln x的定义域是(0，＋∞)，令f′(x)＝2x－5＋＝＝＞0，解得0＜x＜或x＞2，故函数f(x)的单调递增区间是，(2，＋∞)．
故选C
本题考查了导数和函数的单调性的关系，易错点是注意定义域，属于基础题．
7、D
【解析】
由题意得 ，两次的点数均为奇数且和小于的情况有 ，则 ，故选D.
8、C
【解析】
先由直线与平行，求出的范围，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.
【详解】
因为直线与平行，所以，
解得或，
又当时，与重合，不满足题意，舍去；
所以；
由时，与分别为，，显然平行；
因此“”是“直线与平行”的充要条件；
故选C
本题主要考查由直线平行求参数，以及充分条件与必要条件的判定，熟记概念即可，属于常考题型.
9、A
【解析】
将椭圆方程化为标准方程，根据题中条件列出关于的不等式，解出该不等式可得出实数的取值范围.
【详解】
椭圆的标准方程为，由于该方程表示焦点在轴上的椭圆，
则，解得，因此，实数的取值范围是，故选A.
本题考查椭圆的标准方程，考查根据方程判断出焦点的位置，解题时要将椭圆方程化为标准形式，结合条件列出不等式进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.
10、D
【解析】
根据回归直线必过样本点的中心可构造方程求得结果.
【详解】
回归直线斜率的估计值为1.8，且回归直线一定经过样本点的中心，
，即.
故选：.
本题考查回归直线的求解问题，关键是明确回归直线必过样本点的中心，属于基础题.
11、D
【解析】
分析：根据题意得到为的子集，确定出满足条件的集合的个数即可
详解：集合，集合满足，

则满足条件的集合的个数是
故选
点睛：本题是基础题，考查了集合的子集，当集合中有个元素时，有个子集。
12、A
【解析】
先求解出的共轭复数，然后直接判断出的虚部即可.
【详解】
因为，所以，所以的虚部为.
故选：A.
本题考查共轭复数的概念以及复数的实虚部的认识，难度较易.复数的实部为 ，虚部为.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
根据消参,将化为直角坐标系下曲线方程,即可求轴的交点坐标.
【详解】
可化为 可得:

当时,
曲线与轴的交点坐标是.
故答案为:.
本题考查圆锥曲线的参数方程和普通方程的转化,消去参数方程中的参数,就可把参数方程化为普通方程,消去参数的常用方法有:①代入消元法;②加减消元法;③乘除消元法;④三角恒等式消元法.本题采用了三角恒等式消元法.
14、72
【解析】
先排奇数（或偶数），然后从排好的三个数形成的四个空中选择相邻的三个再排剩下的偶数（或奇数），由此可得结果．
【详解】
先排三个奇数，共有种结果，然后再从形成的四个空中选择前三个或后三个空排入三个偶数，共有种结果．由分步乘法计数原理可得这样的六位数共有个．
故答案为：．
对于排列问题，一般情况下要从受到限制的特殊元素开始考虑，有时也从特殊的位置开始讨论．对于相邻问题常用“捆绑法”；对于不相邻问题常用“插空法”；对于“在与不在”的问题，常使用“直接法”或“排除法”．
15、.
【解析】
分析：由已知中过（0，y）（0≤y≤4）作Ω的水平截面，计算截面面积，利用祖暅原理得出Ω的体积．
详解：在xOy平面上，将双曲线的一支 及其渐近线和直线y=0，y=4围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．

则直线y=a与渐近线交于一点A（，a）点，与双曲线的一支 交于B（，a）点，
记D绕y轴旋转一周所得的几何体为Ω．
过（0，y）（0≤y≤4）作Ω的水平截面，
则截面面积S=，
利用祖暅原理得Ω的体积相当于底面面积为9π高为4的圆柱的体积，
∴Ω的体积V=9π×4=36π，
故答案为36π
点睛：本题考查的知识点是类比推理，其中利用祖暅原理将不规则几何体的体积转化为底面面积为9π高为4的圆柱的体积，是解答的关键．祖暅原理也可以成为中国的积分，将图形的横截面的面积在体高上积分，得到几何体的体积.
16、
【解析】
由得，即.设，由得，从而.判断函数的单调性，数形结合求实数的取值范围.
【详解】
，
即.
设.
,
.
由，得；由，得或，
函数在上单调递增，在和上单调递减，如图所示

当时，.
又，且时，，
由图象可知，要使不等式的解集中恰有两个整数，
需满足，即.
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
本题考查利用导数求参数的取值范围，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析；（2）
【解析】
(1)求导后得,再对分三种情况讨论可得;
(2)先由,解得,从而由(1)可得 在 上为增函数,再将恒成立转化为可解得.
【详解】
（1）因为，其中，所以.
所以，时，所以的单调递增区间为，单调递减区间为；
时，所以的单调递减区间为；
时，所以的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）由题意得，即.由（1）知在内单调递增，要使对恒成立.
只要解得.故的取值范围是.
本题考查了利用导数求函数的单调区间,用导数研究不等式恒成立问题,属中档题.
18、（1）； （2）见解析.
【解析】
（I）结合离心率，得到a,b,c的关系，计算A的坐标，计算切线与椭圆交点坐标，代入椭圆方程，计算参数，即可．（II）分切线斜率存在与不存在讨论，设出M,N的坐标，设出切线方程，结合圆心到切线距离公式，得到m,k的关系式，将直线方程代入椭圆方程，利用根与系数关系，表示，结合三角形相似，证明结论，即可．
【详解】
(Ⅰ)设椭圆的半焦距为，由椭圆的离心率为知，，
∴椭圆的方程可设为.
易求得，∴点在椭圆上，∴，
解得，∴椭圆的方程为.
(Ⅱ)当过点且与圆相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为，由(Ⅰ)知，，
，∴.
当过点且与圆相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为，，
∴，即.
联立直线和椭圆的方程得，
∴，得.
∵，
∴，

，
∴.
综上所述，圆上任意一点处的切线交椭圆于点，都有.
在中，由与相似得，为定值.
本道题考查了椭圆方程的求解，考查了直线与椭圆位置关系，考查了向量的坐标运算，难度偏难．
19、（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）中点为，连接和，证明平面，即可证明；
（2）由（1）知，、、两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，即可求出二面角的余弦值.
【详解】
（1）设中点为，连接和，如图所示，

在中，，为中点，所以，
又四边形为菱形，，所以是等边三角形，
为中点，所以，
又，所以平面，
又因为平面，所以.
（2）由（1）知，、、两两垂直，
以为原点建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，
所以，，，
设平面的法向量，
则，令，则，，
所以；
设平面的法向量，
则，令，则，，
所以；
因为二面角是锐角，
所以，
即二面角的余弦值为.
本题主要考查了线面垂直的判定、由线面垂直求线线垂直和利用空间向量求二面角，考查学生空间想象能力和计算能力，属于中档题.
20、（1）（2）当的方程为时有.
【解析】
（1）设直线，与抛物线方程联立，利用韦达定理得到方程，解方程求得，从而得到抛物线方程；（2）将与抛物线方程联立，利用韦达定理可得，根据焦点弦长公式可求得，利用两点间距离公式得，利用构造方程，解方程求得，从而得到直线的方程.
【详解】
（1）设直线，代入抛物线方程得：
，解得：
抛物线方程为：
（2）由（1）知：
联立得：
此时恒成立
，
过焦点
由，
由得：，即：
，解得：或（舍）

当直线方程为：时，
本题考查直线与抛物线综合应用问题，涉及到抛物线方程的求解、焦点弦长公式的应用等知识；难点在于利用等长关系构造方程后，对于高次方程的求解，解高次方程时，需采用因式分解的方式来进行求解.
21、（1）；（2）3
【解析】
（1）根据结合的递推关系可求解.
（2）由（1）可得，则，用裂项相消可求和，从而解决问题.
【详解】
解：（1）由两式相减得到，，；
当，也符合，
综上，.
（2）由得，，
∴，
∴

，
易证明在时单调递增，且，
故的最小值为3.
本题考查根据的递推关系求数列的通项公式和用裂项相消法求和，属于中档题.
22、（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）利用余弦定理表示出 ，将已知等式代入即可求出的值；（2）由可求出 的值，然后利用两角和的余弦公式可得结果.
试题解析：（1）由，得，
根据余弦定理得；
（2）由，得，
∴，，
∴．