黑龙江省佳木斯市一中2025届高二数学第二学期期末监测模拟试题含解析.doc

黑龙江省佳木斯市一中2025届高二数学第二学期期末监测模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．阅读如图所示的程序，若执行循环体的次数为5，则程序中的取值范围为（ ）

A． B． C． D．
2．已知函数f(x)＝则)等于(　　)
A．4 B．－2
C．2 D．1
3．已知二项式的展开式中二项式系数之和为64，则该展开式中常数项为
A．－20 B．－15 C．15 D．20
4．已知具有线性相关关系的五个样本点A1（0,0），A2（2,2），A3（3,2），A4（4,2）A5（6,4），用最小二乘法得到回归直线方程l1:y=bx+a，过点A1,A2的直线方程l2:y=mx+n那么下列4个命题中(1) ；(2)直线过点； (3) ； (4) .
（参考公式，）
正确命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为(　　)
A．240种 B．120种 C．96种 D．480种
6．.已知为等比数列，，则．若为等差数列，，
则的类似结论为（　）
A． B．
C． D．
7．在建立两个变量与的回归模型时，分别选择了4个不同的模型，这四个模型的相关系数分别为0.25、0.50、0.98、0.80，则其中拟合效果最好的模型是（ ）
A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型4
8．欧拉公式（i为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式，若将表示的复数记为z，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，当时，，则 （ ）
A． B． C． D．
10．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
11．甲罐中有个红球，个白球和个黑球，乙罐中有个红球，个白球和个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以，，表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一个球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列结论中不正确的是（ ）
A．事件与事件不相互独立 B．、、是两两互斥的事件
C． D．
12．已知,则 ( )
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知幂函数的图象经过点，则实数α的值是_______.
14．已知直线与椭圆相切于第一象限的点，且直线与轴、轴分别交于点、，当(为坐标原点)的面积最小时，(、是椭圆的两个焦点)，若此时在中，的平分线的长度为，则实数的值是__________．
15．已知函数，若方程有四个不相等的实根，则实数的取值范围是______.
16．已知集合，，，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中的点的坐标，则确定不同点的坐标个数为______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）双曲线的左、右焦点分别为、，直线过且与双曲线交于、两点．
（1）若的倾斜角为，，是等腰直角三角形，求双曲线的标准方程；
（2），，若的斜率存在，且，求的斜率；
（3）证明：点到已知双曲线的两条渐近线的距离的乘积为定值是该点在已知双曲线上的必要非充分条件．
18．（12分）设，复数，其中为虚数单位.
（1）当为何值时，复数是虚数？
（2）当为何值时，复数是纯虚数？
19．（12分）已知的内角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若，，是中点，求的长.
20．（12分）某饮料公司根据市场调查数据分析得到以下结果：如果某款饮料年库存积压率低于千分之一，则该款饮料为畅销产品，可以继续大量生产. 如果年库存积压率高于千分之一，则说明需要调整生产计划. 现公司 2013—2018 年的某款饮料生产，年销售利润及年库存积压相关数据如下表所示：
年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
年生产件数（千万件）
3
5
6
8
9
11
年销售利润（千万元）
22
40
48
68
82
100
年库存积压件数（千件）
29
58
30
90
75
80
注：
（1）从公司 2013—2018 年的相关数据中任意选取 2 年的数据，求该款饮料这 2 年中至少有 1 年畅销的概率.
（2）公司根据上表计算出年销售利润与年生产件数的线性回归方程为.现公司计划 2019 年生产 11 千万件该款饮料，且预计 2019 年可获利 108 千万元. 但销售部 门发现，若用预计的 2019 年的数据与 2013—2018 年中畅销年份的数据重新建立回归方程， 再通过两个线性回归方程计算出来的 2019 年年销售利润误差不超过 4 千万元，该款饮料的 年库存积压率可低于千分之一. 如果你是决策者，你认为 2019 年的生产和销售计划是否需要调整？请说明理由.
21．（12分）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

（Ⅰ）求证：平面BCD；
（Ⅱ）求点E到平面ACD的距离.
22．（10分）己知，函数.
（1）若，解不等式；
（2）若函数，且存在使得成立，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
输入
执行循环体，不满足
继续执行循环体，不满足
继续执行循环体，不满足
继续执行循环体，不满足
继续执行循环体，由题可知满足，输出
故
故选C
2、B
【解析】
，则，故选B.
3、C
【解析】
利用二项式系数之和为64解得，再利用二项式定理得到常数项.
【详解】
二项式的展开式中二项式系数之和为64

当时，系数为15
故答案选C
本题考查了二项式定理，先计算出是解题的关键，意在考查学生的计算能力.
4、B
【解析】
分析：先求均值，再代公式求b,a，再根据最小二乘法定义判断命题真假.
详解：因为 ，所以直线过点；
因为，所以
因为，所以，
因为过点A1,A2的直线方程，所以 ，即；
根据最小二乘法定义得； (4) .因此只有（1）（2）正确，
选B.
点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.
5、A
【解析】
由题先把5本书的两本捆起来看作一个元素，这一个元素和其他的三个元素在四个位置全排列，根据分步计数原理两个过程的结果数相乘即可得答案。
【详解】
由题先把5本书的两本捆起来看作一个元素共有种可能，这一个元素和其他的三个元素在四个位置全排列共有种可能，所以不同的分法种数为种，故选A.
本题考查排列组合与分步计数原理，属于一般题。
6、D
【解析】
根据等差数列中等差中项性质推导可得.
【详解】
由等差数列性质，有＝＝…＝2.易知选项D正确．
等差中项和等比中项的性质是出题的热点,经常与其它知识点综合出题.
7、C
【解析】
相关系数的绝对值越靠近1，拟合效果越好，据此得到答案.
【详解】
四个模型的相关系数分别为0.25、0.50、0.98、0.80
相关系数的绝对值越靠近1，拟合效果越好
故答案选C
本题考查了相关系数，相关系数的绝对值越靠近1，拟合效果越好.
8、A
【解析】
根据欧拉公式求出，再计算的值.
【详解】
∵，
∴.
故选：A.
此题考查复数的基本运算，关键在于根据题意求出z.
9、A
【解析】
根据是偶函数判出是函数的对称轴，结合是奇函数可判断出函数是周期为的周期函数，由此求得的值.
【详解】
由于是偶函数，所以函数的一条对称轴为，由于函数是奇函数，函数图像关于原点对称，故函数是周期为的周期函数，故，故选A.
本小题主要考查函数的奇偶性、考查函数的对称性、考查函数的周期性，考查函数值的求法，属于基础题.
10、A
【解析】
根据含有一个量词的命题的否定，特称命题的否定是全称命题，写出原命题的否定，得到答案.
【详解】
因为特称命题的否定是全称命题，
所以命题“，”的否定是
“，”.
故选：A.
本题考查含有一个量词的命题的否定，属于简单题.
11、D
【解析】
分析：由题意，，是两两互斥事件，条件概率公式求出，，对照选项即可求出答案.
详解：由题意，，是两两互斥事件，
,
,,,
而

.
所以D不正确.
故选：D.
点睛：本题考查相互独立事件，解题的关键是理解题设中的各个事件，且熟练掌握相互独立事件的概率简洁公式，条件概率的求法，本题较复杂，正确理解事件的内蕴是解题的关键.
12、D
【解析】
分析：先根据诱导公式得，再利用二倍角公式以及弦化切得结果.
详解：因为，所以,
因此，
选D.
点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度
(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由幂函数的定义，把代入可求解.
【详解】
点在幂函数的图象上，
，，

故答案为：
本题考查幂函数的定义.
幂函数的性质: (1)幂函数在上都有定义；(2)幂函数的图象过定点；
(3)当时，幂函数的图象都过点和，且在上单调递增；
(4)当时，幂函数的图象都过点，且在上单调递减；
(5)当为奇数时，幂函数为奇函数；当为偶数时，幂函数为偶函数．
14、
【解析】
分析：求出切线方程，可得三角形面积，利用基本不等式求出最小值时切点坐标，设，利用余弦定理结合椭圆的定义，由三角形面积公式可得，，根据与椭圆的定义即可的结果.
详解：由题意，切线方程为，
直线与轴分别相交于点，
，
，
，
，
，当且仅当时，
为坐标原点）的面积最小，
设，
由余弦定理可得，
，
‘
，，
的内角平分线长度为，

，
，
，故答案为.
点睛：本题考查椭圆的切线方程、椭圆的定义、椭圆几何性质以及利用基本不等式求最值、三角形面积公式定义域、余弦定理的应用，意在考查学生综合利用所学知识解决问题的能力，属于难题.在解答与椭圆两个焦点有关的三角形问题时，往往综合利用椭圆的定义与余弦定理解答.
15、
【解析】
先由题意，得显然不是方程的根；当时，原方程可化为，令，，用导数的方法研究函数的单调性，极值，确定函数的大致形状，原方程有四个根，即等价于的图象与直线有四个不同的交点，结合图象，即可求出结果.
【详解】
当，显然不成立；
当时，由得，
令，，即，
则，方程有四个不相等的实根等价于的图象与有四个不同的交点，
当时，，则，
由得，由得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，函数的极小值为；
当时，，则，
由得；由得；
所以在上单调递减，在上单调递增，
因此函数的极大值为.
画出函数的大致图象如下：

由图象可得，只需.
故答案为：.
本题主要考查由函数零点个数求参数的问题，熟记分段函数的性质，导数的方法判断函数的单调性，求函数的极值等，灵活运用数形结合的方法求解即可，属于常考题型.
16、
【解析】
先从三个集合中各取一个元素，计算出所构成的点的总数，再减去两个坐标为时点的个数，即可得出结果.
【详解】
集合，，，从这三个集合中各选一个元素构成空间直角坐标系中的点的个数为，
其中点的坐标中有两个的点为、、，共个，在选的时候重复一次，
因此，确定不同点的坐标个数为.
故答案为：.
本题考查排列组合思想的应用，解题时要注意元素的重复，结合间接法求解，考查计算能力，属于中等题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）；（3）见解析.
【解析】
（1）将代入双曲线的方程，得出，由是等腰直角三角形，可得出，再将代入可得出的值，由此可得出双曲线的标准方程；
（2）先求出双曲线的标准方程，并设直线的方程为，将该直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，并求出线段的中点的坐标，由得出，转化为，利用这两条直线斜率之积为，求出实数的值，可得出直线的斜率；
（3）设点，双曲线的两条渐近线方程为，利用点到直线的距离公式、双曲线的方程以及必要不充分条件的定义，即可得证.
【详解】
（1）直线的倾斜角为，，可得直线，代入双曲线方程可得，
是等腰直角三角形可得，即有，
解得，，则双曲线的方程为；
（2）由，，可得，
直线的斜率存在，设为，设直线方程为，
，可得，
由，联立双曲线方程，
可得，
可得，线段的中点为，
由，可得，
解得，满足，故直线的斜率为；
（3）证明：设，双曲线的两条渐近线为，
可得到渐近线的距离的乘积为，
即为，可得，
可得在双曲线或上，
即有点到已知双曲线的两条渐近线的距离的乘积为定值是该点在已知双曲线上的必要非充分条件．
本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与双曲线的位置关系，同时也考查为韦达定理和中点坐标公式、两直线垂直的条件、点到直线的距离公式以及必要不充分条件的判断，解题时要结合相应条件进行转化，考查化归与转化、以及方程思想的应用，属于难题.
18、（1）且；（2）.
【解析】
（1）根据虚数概念列条件，解得结果；（2）根据纯虚数概念列条件，解得结果．
【详解】
(1)要使复数是虚数，必须使且
当且时，复数是虚数.
（2）要使复数是纯虚数，必须使解得：
当时，复数是纯虚数.
本题考查复数虚数与纯虚数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
19、（1）（2）
【解析】
（1）通过正弦定理和余弦定理即可得到答案；
（2）在中使用余弦定理即可得到的长.
【详解】
（1）因为
所以由正弦定理得：
由余弦定理得：
又，所以
（2）由，，，得：
所以

在中，，所以
本题主要考查正余弦定理在解三角形中的实际应用，意在考查学生的转化能力，
分析能力及计算能力，难度不大.
20、（1）；（2）不需要调整.
【解析】
（1）计算出每年的年度库存积压率，可知13，15，17，18年畅销，14，16年不畅销；列举出所有年份中任取2年的取法共15种，其中2年均为不畅销的取法仅有1种，故根据古典型及对立事件的概率可求得结果；
2）数据重组后依据公式计算出新的回归直线方程，并求出2019年的年销售利润预估值；再计算出原回归直线方程的2019年的年销售利润预估值，可知两值相差3.66千万元，由此可得结论
【详解】
（1）公司年年度存积压率分别为：
，，，，，
则该饮品在13，15，17，18年畅销记为，，，，14，16年不畅销记为，
任取2年的取法有：，，，，，，，，，，，，，，共15种.
其中2年均不畅销的取法是，共1种
∴该款饮料这年中至少有1年畅销的概率为：
（2）由题意得，2019年数据与2013，2015，2017，2018年数据重组如下表：
年份
2013
2015
2017
2018
2019
年生产件数（千万件）
3
6
9
11
11
年销售利润（千万元）
22
48
82
100
108
经计算得，
∵，
∴

∴
当时，，此时预估年销售利润为103.26千万元
将代入中得，，
此时预估年销售利润为99.6千万元
∵，故认为2019年的生产和销售计划不需要调整.
本题考查了概率的计算，回归方程，意在考查学生的计算能力和解决问题的能力.
21、（Ⅰ）详见解析 （Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）要证明平面BCD，需要证明，，证明时主要是利用已知条件中的线段长度满足勾股定理和等腰三角形三线合一的性质（Ⅱ）中由已知条件空间直角坐标系容易建立，因此可采用空间向量求解，以为坐标原点，以方向为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，
求出平面的法向量和斜线的方向向量，代入公式计算
试题解析：（Ⅰ）证明：为的中点，，
,，，，
又，，
，均在平面内，平面
（Ⅱ）方法一：以为坐标原点，以方向为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，则，

设为平面的法向量，则，
取，
，则点到平面的距离为

方法二：设点在上，且，连，
为的中点，
平面，平面，
平面，平面
平面，平面平面，且交线为
过点作于点，则平面
分别为的中点，则平面，平面，
平面，点到平面的距离即，

故点到平面的距离为

考点：1.线面垂直的判定；2.点到面的距离
22、（1）；（2）
【解析】
（1）零点分段解不等式即可（2）等价于，由，得不等式即可求解
【详解】
（1）当时，，
当时，由，解得；
当时，由，解得；
当时，由，解得.
综上可知，原不等式的解集为.
（2）.
存在使得成立，等价于.
又因为，所以，即.
解得，结合，所以实数的取值范围为.
本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立及最值，考查转化思想，是中档题