安徽省皖北名校联盟2025届高二数学第二学期期末达标测试试题含解析.doc

安徽省皖北名校联盟2025届高二数学第二学期期末达标测试试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知四个命题：
①如果向量与共线，则或；
②是的充分不必要条件；
③命题：，的否定是：，；
④“指数函数是增函数，而是指数函数，所以是增函数”此三段论大前提错误，但推理形式是正确的.
以上命题正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．集合，，则=( )
A． B．
C． D．
3．将两颗骰子各掷一次，设事件A为“两颗骰子向上点数不同”，事件B为“至少有一颗骰上点数为3点”则（　　）
A． B． C． D．
4．已知二项式的展开式中各项的二项式系数和为，其展开式中的常数项为，则（ ）
A． B． C． D．
5．函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（ ）

A． B．
C． D．
6．设随机变量服从正态分布,若,则 =
A． B． C． D．
7．已知复数满足，则的虚部为（ ）
A．-4 B．
C．4 D．
8．某巨型摩天轮．其旋转半径50米，最高点距地面110米，运行一周大约21分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第35分钟时他距地面大约为（ ）米．

A．75 B．85 C．100 D．110
9．已知，，则等于（ ）
A． B． C． D．1
10．若圆关于直线：对称，则直线在轴上的截距为（ ）
A．-l B．l C．3 D．-3
11．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第个图案中正六边形的个数是.

由，，，…，可推出（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（　　）

A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知（是虚数单位），则的共轭复数为________
14．若，则x的值为______．
15．已知函数，，若方程有个不等实根，则实数的取值范围是______.
16．已知等腰直角的斜边，沿斜边的高线将折起，使二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，，若直线与函数，的图象均相切.
（1）求实数的值；
（2）当时，求在上的最值.
18．（12分）已知函数.
（1）若函数的图象在处的切线方程为，求，的值；
（2）若，，使成立，求的取值范围.
19．（12分）已知函数．
(1)若，当时，求证：．
(2)若函数在为增函数，求的取值范围.
20．（12分）如图，是平面的斜线，为斜足平面，为垂足，是平面上的一条直线，于点，，.

（1）求证：平面；
（2）求和平面所成的角的大小.
21．（12分）设
1，其中pR，n，（r＝0，1，2，…，n）与x无关．
（1）若＝10，求p的值；
（2）试用关于n的代数式表示：；
（3）设，，试比较与的大小．
22．（10分）已知函数，其中.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若函数在区间上的最小值为，求的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
由向量共线定理可判断①；由充分必要条件的定义可判断②；由特称命题的否定为全称命题，可判断③；由指数函数的单调性可判断④．
【详解】
①，如果向量与共线，可得xy，不一定或，故①错误；
②，|x|≤3⇔﹣3≤x≤3，x≤3不能推得|x|≤3，但|x|≤3能推得x≤3，
x≤3是|x|≤3的必要不充分条件，故②错误；
③，命题p：∃x0∈（0，2），的否定
是￢p：∀x∈（0，2），x2﹣2x﹣3≥0，故③错误；
④，“指数函数y＝ax是增函数，而是指数函数，所以是增函数”
由于a＞1时，y＝ax为增函数，0＜a＜1时，y＝ax为减函数，此三段论大前提错误，但推理形式是正确的，故④正确．其中正确个数为1．
故选B．
本题考查命题的真假判断，主要是向量共线定理和充分必要条件的判断、命题的否定和三段论，考查推理能力，属于基础题．
2、C
【解析】
先化简集合A,B，结合并集计算方法，求解，即可．
【详解】
解得集合，
所以，故选C．
本道题考查了集合的运算，考查了一元二次不等式解法，关键化简集合A,B，难度较小．
3、D
【解析】
用组合数公式计算事件A和事件AB包含的基本事件个数，代入条件概率公式计算．
【详解】
解：两颗骰子各掷一次包含的基本事件的个数是1．
事件A包含的基本事件个数有，则．
事件AB包含的基本事件个数为10，则．
所以在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为：，
故选：D．
本题考查条件概率，属于基础题．
4、C
【解析】
二项展开式的二项式系数和为，可得，使其通项公式为常数项时，求得，从而得到关于的方程.
【详解】
展开式中各项的二项式系数和为，，得，
，
当时，，解得：.
求二项式定理展开式中各项系数和是用赋值法，令字母都为1；而展开式各项的二项式系数和固定为.
5、D
【解析】
由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D.
考点：三角函数图像与性质
6、B
【解析】
分析：根据正态分布图像可知，故它们中点即为对称轴.
详解：由题可得：，故对称轴为
故选B.
点睛：考查正态分布的基本量和图像性质，属于基础题.
7、D
【解析】
试题解析：设

∴，解得
考点：本题考查复数运算及复数的概念
点评：解决本题的关键是正确计算复数，要掌握复数的相关概念
8、B
【解析】
分析：设出P与地面高度与时间t的关系，f（t）=Asin（ωt+φ）+B，由题意求出三角函数中的参数A，B，及周期T，利用三角函数的周期公式求出ω，通过初始位置求出φ，求出f（35）的值即可．
详解：设P与地面高度与时间t的关系，f（t）=Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π）），
由题意可知：A=50，B=110﹣50=60，T==21，∴ω=，
即 f（t）=50sin（t+φ）+60，
又因为f（0）=110﹣100=10，即sinφ=﹣1，故φ=，
∴f（t）=50sin（t+）+60，
∴f（35）=50sin（×35+）+60=1．
故选B．
点睛：已知函数的图象求解析式
(1).
(2)由函数的周期求
(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求，一般用最高点或最低点求．
9、A
【解析】
根据和角的范围可求出=—，再根据两角和与差的正弦求出的值，进而求出，代入求出结果即可.
【详解】
因为，，=—，
所以==，
所以，所以=.
故选A.
本题考查三角函数给值求角，两角和与差的正弦，诱导公式的应用，特殊角的三角函数值，属于基础题.
10、A
【解析】
圆关于直线：对称,等价于圆心在直线：上,由此可解出.然后令 ,得,即为所求.
【详解】
因为圆关于直线：对称,
所以圆心在直线：上,即 ,解得.
所以直线,令 ,得.
故直线在轴上的截距为.
故选A.
本题考查了圆关于直线对称,属基础题.
11、A
【解析】
观察图形，发现，第一个图案中有一个正六边形，第二个图案中有7个正六边形；…
根据这个规律，即可确定第10个图案中正六边形的个数．
【详解】
由图可知，，

…

故选A.
此类题要能够结合图形，发现规律：当时，
12、B
【解析】
由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)的图象为增函数，
且在区间(－1,0)上增长速度越来越快，
而在区间(0,1)上增长速度越来越慢．
故选B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
根据复数的四则运算以及共轭复数的概念即可求解．
【详解】
，
，
共轭复数为
故答案为
本题主要考查复数的四则运算以及共轭复数，属于基础题．
14、3或4
【解析】
结合组合数公式结合性质进行求解即可．
【详解】
由组合数的公式和性质得x＝2x﹣3，或x+2x﹣3＝9，
得x＝3或x＝4，经检验x＝3或x＝4都成立，
故答案为：3或4.
本题主要考查组合数公式的计算，结合组合数的性质建立方程关系是解决本题的关键．
15、.
【解析】
根据和的图象，可得当且仅当有四解时，符合题意．令，此时，，，，根据判别式可列出关于的不等式，进而可求的取值范围.
【详解】
解：，，可得在递增，在递减，
则的图象如下：

当时，图象如图，此时无解，不符合题意

当时，图象如图，此时无解，不符合题意

当时，函数的图象如下：

令，当时，方程只有一解，当且仅当有四解时，符合题意．
此时四解，，，．则，解得.
综上，实数的取值范围是.
故答案为: .
本题考查了复合函数的零点问题，考查了数形结合的思想.
16、
【解析】
等腰直角翻折后 是二面角的平面角，即，因此外接圆半径为 ，四面体的外接球半径等于 ，外接球的表面积为
点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），或；（2），.
【解析】
（1）由直线与二次函数相切，可由直线方程与二次函数关系式组成的方程组只有一个解，然后由判别式等于零可求出的值，再设出直线与函数图像的切点坐标，由切点处的导函数值等于切线的斜率可求出切点坐标，从而可求出的值；
（2）对函数求导，使导函数为零，求出极值点，然后比较极值和端点处的函数值大小，可求出函数的最值.
【详解】
（1）联立可得，，
设直线与的图象相切于点，则，或
当时，，
当时，，
或
（2）由（1），，
令则或；令则
在和上单调递增，在上单调递减
又，，
，
此题考查导数的几何意义，利用导数求最值，属于基础题.
18、 (1) .
(2).
【解析】
分析：的图象在处的切线方程为，得出（1，）坐标带入中，及=，即可解出，的值
（2）构造函数，在上的最大值为，问题等价于：，不等式恒成立，构造 >进行解决问题
详解：，
（1），，
由，
得.
令，，
所以函数在上单调递增，又，所以.
（2）令，因为当时，函数在上单调递增，所以，
于是函数在上一定单调递增.
所以在上的最大值为.
于是问题等价于：，不等式恒成立.
记 ，
则.
当时，因为，，所以，
则在区间上单调递减，此时，，不合题意.
故必有.
若，由可知在区间上单调递减，
在此区间上，有，与恒成立矛盾.
故，这时，在上单调递增，
恒有，满足题设要求.
所以，即.
所以的取值范围为.
点晴：本题主要考察导数综合题：能成立恒成立问题，这类型题目主要就是最值问题，学会对问题的转化是关键，本题主要在做题的过程中构造函数后发现是解决本题的关键。
19、（1）见证明；（2）
【解析】
(1)时，设,对函数求导得到函数的单调性，得到函数的最值进而得证；（2）原函数单调递增，即恒成立，变量分离，转化为函数最值问题.
【详解】
（1）时，设．
则，
在单调递增
．
即.
(2)恒成立，
即对恒成立．
∵时，（当且仅当取等号）
∴
这个题目考查了不等式证明问题以及恒成立求参的问题，不等式的证明，常见的方法是，构造函数，转化为函数最值问题；恒成立求参，常采用的方法是变量分离，转化为函数最值问题.
20、（1）证明见解析 （2）
【解析】
（1）推导出，，由此能证明平面．
（2）设，推导出，，，从而，由平面，得是和平面所成的角，由此能求出和平面所成的角．
【详解】
（1）是平面的斜线，为斜足，平面，为垂足，
是平面上的一条直线，
，
又，且，
平面．
（2）设，
于点，，．平面，
，，，
，
平面，
是和平面所成的角，
，，
，
和平面所成的角为．
本题考查线面垂直的证明、线面角的求法、空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力，是中档题．
21、 (1) .
(2) .
(3) .
【解析】
分析：（1）先根据二项式展开式通项公式得，解得p的值；（2）先由得,再得, 等式两边对求导，得；最后令得结果，（3）先求，化简不等式为比较与的大小关系，先计算归纳得大小关系，利用数学归纳法给予证明.
详解：（1）由题意知，所以.
（2）当时，，
两边同乘以得：

，
等式两边对求导，得：

令得：
，
即
（3），
猜测：
当时，，，，此时不等式成立；
②假设时，不等式成立，即：，则时，

所以当时，不等式也成立；
根据①②可知，，均有.
点睛： 有关组合式的求值证明，常采用构造法逆用二项式定理.对二项展开式两边分别求导也是一个常用的方法，另外也可应用组合数性质进行转化：，.
22、 (1)；(1) [3，+∞）.
【解析】
（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；
（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出a的范围即可．
【详解】
（1）当a＝1时，f（x）＝x1﹣7x+3lnx（x＞2），
∴，∴f（1）＝﹣6，f'（1）＝﹣1．
∴切线方程为y+6＝﹣1（x﹣1），即1x+y+4＝2．
（1）函数f（x）＝ax1﹣（a+6）x+3lnx的定义域为（2，+∞），
当a＞2时，，
令f'（x）＝2得或，
①当，即a≥3时，f（x）在[1，3e]上递增，
∴f（x）在[1，3e]上的最小值为f（1）＝﹣6，符合题意；
②当，即时，f（x）在上递减，在上递增，
∴f（x）在[1，3e]上的最小值为，不合题意；
③当，即时，f（x）在[1，3e]上递减，
∴f（x）在[1，3e]上的最小值为f（3e）＜f（1）＝﹣6，不合题意．
综上，a的取值范围是[3，+∞）．
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．