四川省会理一中2025年数学高二第二学期期末复习检测试题含解析.doc

四川省会理一中2025年数学高二第二学期期末复习检测试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设，是抛物线上两点，抛物线的准线与轴交于点，已知弦的中点的横坐标为3，记直线和的斜率分别为和，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．1
2．4名同学分别从6所大学中选择一所参观，则不同选法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
3．i是虚数单位，若集合S=，则
A． B． C． D．
4．设函数f（x），g（x）在[A，B]上均可导，且f′（x）＜g′（x），则当A＜x＜B时，有（）
A．f（x）＞g（x）
B．f（x）+g（A）＜g（x）+f（A）
C．f（x）＜g（x）
D．f（x）+g（B）＜g（x）+f（B）
5．在复平面内，向量对应的复数是，向量对应的复数是，则向量对应的复数对应的复平面上的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．设随机变量X～B（n，p），且E（X）＝1.6，D（X）＝1.28，则
A．n＝8，p＝0.2 B．n＝4，p＝0.4 C．n＝5，p＝0.32 D．n＝7，p＝0.45
7．中，边的高为，若，，，，，则（ )
A． B． C． D．
8．若，则（ ）
A． B．1 C．0 D．
9．在的展开式中，含的项的系数是（ ）
A．-832 B．-672 C．-512 D．-192
10．已知命题：，命题：，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．函数在区间上的最大值为（　　）.
A．17 B．12 C．32 D．24
12．函数的导函数为，对任意的，都有成立，则（ ）
A． B．
C． D．与大小关系不确定
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．随机变量X服从于正态分布N（2，σ2）若P（X≤0）＝a，则P（2＜X＜4）＝_____
14．已知函数，若在处取得极小值，则实数的值为______.
15．函数在上的最大值是____．
16．若存在一个实数，使得成立，则称为函数的一个不动点，设函数（为自然对数的底数），定义在上的连续函数满足，且当时，，若存在，且为函数一个不动点，则实数的最小值为________。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知实数为整数，函数，
（1）求函数的单调区间；
（2）如果存在，使得成立，试判断整数是否有最小值，若有，求出值；若无，请说明理由（注：为自然对数的底数）.
18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（为参数），把曲线C的横坐标缩短为原来的，纵坐标缩短为原来的一半，得到曲线直线l的普通方程是，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求直线l的极坐标方程和曲线的普通方程；
（2）记射线（）与交于点A，与l交于点B，求的值.
19．（12分）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，1，1．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．
（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用X表示抽取的3人中睡眠充足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望.
20．（12分）已知数列满足，
（1）求，并猜想的通项公式；（2）用数学归纳法证明(1)中所得的猜想．
21．（12分）每年暑期都会有大量中学生参加名校游学，夏令营等活动，某中学学生社团将其今年的社会实践主题定为“中学生暑期游学支出分析”，并在该市各个中学随机抽取了共名中学生进行问卷调查，根据问卷调查发现共名中学生参与了各类游学、夏令营等活动，从中统计得到中学生暑期游学支出（单位：百元）频率分布方图如图.

（I）求实数的值；
（Ⅱ）在，，三组中利用分层抽样抽取人，并从抽取的人中随机选出人，对其消费情况进行进一步分析.
（i）求每组恰好各被选出人的概率；
（ii）设为选出的人中这一组的人数，求随机变量的分布列和数学期望.
22．（10分）某市政府为了节约生活用电，计划在本市试行居民生活用电定额管理，即确定一户居民月用电量标准a，用电量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费为此，政府调查了100户居民的月平均用电量单位：度，以，，，，，分组的频率分布直方图如图所示．
根据频率分布直方图的数据，求直方图中x的值并估计该市每户居民月平均用电量的值；
用频率估计概率，利用的结果，假设该市每户居民月平均用电量X服从正态分布
估计该市居民月平均用电量介于度之间的概率；
利用的结论，从该市所有居民中随机抽取3户，记月平均用电量介于度之间的户数为，求的分布列及数学期望．

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
设，运用点差法和直线的斜率公式和中点坐标公式，可得，再由基本不等式可得所求最小值．
【详解】
设，可得，
相减可得，
可得，
又由，所以，
则，当且仅当时取等号，
即的最小值为.
故选：D．
本题主要考查了抛物线的方程和性质，考查直线的斜率公式和点差法的运用，以及中点坐标公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
2、B
【解析】
每名同学从6个大学点中选择一个参观，每个同学都有6种选择，根据乘法原理，计算即可得答案．
【详解】
因为每名同学都有6种选择，相互不影响，
所以有种选法．
故选：B.
本题考查分步计数原理的运用，注意学生选择的景区可以重复．属于基础题.
3、B
【解析】
试题分析：由可得，，，，.
考点：复数的计算，元素与集合的关系.
4、B
【解析】
试题分析：设F（x）=f（x）-g（x），
∵在[A，B]上f'（x）＜g'（x），
F′（x）=f′（x）-g′（x）＜0，
∴F（x）在给定的区间[A，B]上是减函数．
∴当x＞A时，F（x）＜F（A），
即f（x）-g（x）＜f（A）-g（A）
即f（x）+g（A）＜g（x）+f（A）
考点：利用导数研究函数的单调性
5、C
【解析】
先求，再确定对应点所在象限
【详解】
，对应点为，在第三象限，选C.
本题考查向量线性运算以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.
6、A
【解析】
列方程组，解得.
7、D
【解析】
试题分析：由，，可知
8、D
【解析】
分析：根据题意求各项系数和，直接赋值法令x=-1代入即可得到.
详解：已知，根据二项式展开式的通项得到第r+1项是，故当r为奇数时，该项系数为负，故原式令x=-1代入即可得到.
故答案为D.
点睛：这个题目考查了二项式中系数和的问题，二项式主要考查两种题型，一是考查系数和问题；二是考查特定项系数问题；在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等.
9、A
【解析】
求出展开式中 的系数减2倍的系数加的系数即可.
【详解】
含的项的系数即求展开式中 的系数减2倍的系数加的系数
即含的项的系数是．
故选A.
本题考查二项式定理，属于中档题．
10、A
【解析】
首先对两个命题进行化简，解出其解集，由是的必要不充分条件，可以得到关于的不等式，解不等式即可求出的取值范围
【详解】
由命题：解得或，
则，命题：，，
由是的必要不充分条件，所以
故选
结合“非”引导的命题考查了必要不充分条件，由小范围推出大范围，列出不等式即可得到结果，较为基础。
11、D
【解析】
对函数求导，求出函数的极值点，分析函数的单调性，再将极值与端点函数值比较大小，找出其中最大的作为函数的最大值。
【详解】
，则，令，列表如下：

极大值

极小值

所以，函数的极大值为，极小值为，
又，，因此，函数在区间上的最大值为，
故选：D。
本题考查利用导数求函数在定区间上的最值，解题时严格按照导数求最值的基本步骤进行，考查计算能力，属于中等题。
12、B
【解析】
通过构造函数,由导函数,结合,可知函数是上的增函数，得到,即可得到答案.
【详解】
构造函数，则，故函数是上的增函数，所以，即，则.
故选B.
本题的难点在于构造函数,由,构造是本题的关键,学生在学习中要多积累这样的方法.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
利用正态分布的对称性，求得的值.
【详解】
由条件知,故.
本小题主要考查正态分布在指定区间的概率，属于基础题.
14、.
【解析】
先求出导数，建立方程求出的值，并验证能否取得极小值
【详解】
解：由题意知， ，则，解得.
经检验，时，函数在处取得极小值.
故答案为:.
本题考查函数极小值的概念.要注意对求出值的验证．令导数为0，求出的方程的根不一定是极值点，还应满足在解的两边函数的单调性相反.
15、
【解析】
求出导函数，求解极值点，然后判断函数的单调性求解函数的最大值即可．
【详解】
函数，，令，解得．
因为，函数在上单调递增，在单调递减；
时，取得最大值，．
故答案为．
本题考查函数的导数的应用，熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值是解题的关键．
16、
【解析】
先构造函数，研究其单调性与奇偶性，再化简不等式，解得取值范围，最后根据不动点定义，利用导数求出的范围，即得最小值.
【详解】
由，令，
则为奇函数，当时，，
所以在上单调递减，
所以在上单调递减，
因为存在，
所以，
所以，即.
因为为函数一个不动点，
所以在时有解，
令，
因为当时，，
所以函数在时单调递减，且时，，
所以只需，得.
本题考查函数奇偶性、单调性以及利用导数研究方程有解问题，考查综合分析求解能力，属难题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）函数的单调递减区间是，单调递增区间是（2）的最小值为1
【解析】
（1）求导函数后，注意对分式分子实行有理化，注意利用平方差公式，然后分析单调性；（2）由可得不等式，通过构造函数证明函数的最值满足相应条件即可；分析函数时，注意极值点唯一的情况，其中导函数等于零的式子要注意代入化简.
【详解】
解：（1）已知，函数的定义域为，

因此在区间上，在区间上，
所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是.
（2）存在，，使得成立
设，只要满足即可
，易知在上单调递增，
又，，，
所以存在唯一的，使得，
且当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增，
，
又，即，
所以.
所以，
因为，所以，
则，又.
所以的最小值为1.
本题考查导数的综合运用，难度较难，也是高考必考的考点.对于极值点唯一的情况，一定要注意极值点处导函数等于零对应的表达式，这对于后面去计算函数的最值时去化简有直接用途.
18、（1）；（2）
【解析】
（1）由为参数），消去参数，得曲线的普通方程，然后利用伸缩与平移变换可得的普通方程；
（2）分别把代入与的极坐标方程，求得，的值，则的值可求．
【详解】
（1）将代入直线l的方程，
得：
化简得直线l的极坐标方程为.
由曲线C的参数方程消去参数得曲线C的普通方程为：，
伸缩变换，即，
代入，得，即
故曲线的普通方程为：.
（2）由（1）将曲线的普通方程化为极坐标方程为，
将（）代入，得，
将（）代入得，
故.
本题考查参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程中参数的几何意义及其应用，着重考查了运算与求解能力，是中档题．
19、（1）3人，2人，2人；（2）分布列见解析，.
【解析】
(1)由甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为，利用分层抽样的方法，即可求得从甲、乙、丙三个部门的员工人数；
(2)由题意，随机变量的所有可能取值为，求得相应的概率，得出其分布列，利用期望的公式，即可求解.
【详解】
(1) 由题意知，某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，1，1，
可得甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为，
由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，
所以应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
(2)随机变量的所有可能取值为，
则，

所以，随机变量的分布列为

0
1
2
3

所以随机变量的数学期望．
本题主要考查了分层抽样的应用，以及离散型随机变量的分布列与数学期望的求解，其中解答中认真审题，准确得到随机变量的可能取值，求得相应的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
20、 (1) ，猜想.
(2)见解析.
【解析】
分析：（1）直接由原式计算即可得出，然后根据数值规律得，（2）直接根据数学归纳法的三个步骤证明即可.
详解：
（1），猜想.
（2）当时，命题成立；
假设当时命题成立，即，
故当时，，
故时猜想也成立.
综上所述，猜想成立，即.
点睛：考查数学归纳法，对数学归纳法的证明过程的熟悉是解题关键，属于基础题.
21、（Ⅰ）（Ⅱ）（ⅰ）（ⅱ）见解析
【解析】
（1）利用频率分布直方图中，各个小矩形面积和等于1，求出；
（2）由频率分布直方图得三组中人数的比例为，所以抽取的10人，在每组中各占4人、3人、3人；随机变量的所有可能取值为.
【详解】
解（Ⅰ）由题意，得，解得.
（Ⅱ）按照分层抽样，，，三组抽取人数分别为，，.
（ⅰ）每组恰好各被选出人的概率为.
（ⅱ）的所有可能取值为0，1，2，3.
，，
，，
则的分布列为

统计与概率试题，往往是先考统计，后考概率，要求从图表中提取有用信息，并对数据进行处理，为解决概率问题铺垫.
22、 (1)225.6.
(2) （i） ；（ii） 分布列见解析；.
【解析】
分析：（1）由矩形面积和为列方程可得，利用每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和，即可得到该市每户居民平均用电量的值；(2) （i）由正态分布的对称性可得结果；（ii）因为，则，，从而可得分布列，利用二项分布的期望公式可得结果.
详解：（1）由得

（2）（i）
（ii）因为，∴，.
所以的分布列为

0
1
2
3

所以
点睛：“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．