重庆市江津区高2025届高二下数学期末达标测试试题含解析.doc

重庆市江津区高2025届高二下数学期末达标测试试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．从一个装有3个白球，3个红球和3个蓝球的袋中随机抓取3个球，记事件为“抓取的球中存在两个球同色”，事件为“抓取的球中有红色但不全是红色”，则在事件发生的条件下，事件发生的概率（ ）
A． B． C． D．
2．运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，与半球（如图一）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥（如图二），用任何一个平行与底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此证明该几何体与半球体积相等.现将椭圆绕轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图三），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（ ）

A． B． C． D．
3．已知函数（其中）在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．甲射击时命中目标的概率为，乙射击时命中目标的概率为，则甲乙两人各自射击同一目标一次，则该目标被击中的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．某面粉供应商所供应的某种袋装面粉质量服从正态分布（单位：）现抽取500袋样本，X表示抽取的面粉质量在的袋数，则X的数学期望约为（ ）
附：若，则，
A．171 B．239 C．341 D．477
6．若圆锥的高等于底面直径，侧面积为,则该圆锥的体积为
A． B． C． D．
7．数列满足是数列为等比数列的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上单调性也相同的是（ ）
A． B． C． D．
9．某机构需掌握55岁人群的睡眠情况，通过随机抽查110名性别不同的55岁的人的睡眠质量情况，得到如下列联表

男
女
总计
好
40
20
60
不好
20
30
50
总计
60
50
110
由得，.
根据表

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828
得到下列结论，正确的是（）
A．有以下的把握认为“睡眠质量与性别有关”
B．有以上的把握认为“睡眠质量与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“睡眠质量与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“睡眠质量与性别无关”
10．针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则男生至少有（ ）人．
（K2≥k1）
1．151
1．111
k1
3.841
6.635
A．12 B．6 C．11 D．18
11．方程表示双曲线的一个充分不必要条件是（ ）
A．－3＜m＜0 B．－3＜m＜2
C．－3＜m＜4 D．－1＜m＜3
12．设集合，，则集合（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在正四棱锥P-ABCD中，PA=2，直线PA与平面ABCD所成角为60°，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角的大小为___________．
14．已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与椭圆的两个焦点、组成的三角形的周长为，且，则椭圆的方程为________.
15．已知直线，，若与平行，则实数的值为______．
16．复数（是虚数单位）的虚部为______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上．并记组成该“钉”的四条等长的线段公共点为，钉尖为．

（1）判断四面体的形状，并说明理由；
（2）设，当在同一水平面内时，求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（3）若该“钉”着地后的四个线段根据需要可以调节与底面成角的大小，且保持三个线段与底面成角相同，若，，问为何值时，的体积最大，并求出最大值．
18．（12分）设函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求的取值范围.
19．（12分）若正数满足，求的最小值.
20．（12分）已知a>0，a≠1，设p：函数y＝loga(x＋3)在(0，＋∞)上单调递减，q：函数y＝x2＋(2a－3)x＋1的图像与x轴交于不同的两点．如果p∨q真，p∧q假，求实数a的取值范围．
21．（12分）本小题满分13分）
工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人．现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别，假设互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.
（1）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？
（2）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为，其中是的一个排列，求所需派出人员数目的分布列和均值（数字期望）；
（3）假定，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小．
22．（10分）为了研究黏虫孵化的平均温度（单位：）与孵化天数之间的关系，某课外兴趣小组通过试验得到以下6组数据：

他们分别用两种模型①，②分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图：

经过计算，，，.
（1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）残差绝对值大于1的数据被认为是异常数据，需要剔除，剔除后应用最小二乘法建立关于的线性回归方程.（精确到）.
参考公式：线性回归方程中，，.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
根据题意，求出和，由公式即可求出解答.
【详解】
解：因为事件为“抓取的球中存在两个球同色”包括两个同色和三个同色，
所以
事件发生且事件发生概率为：
故.
故选：C.
本题考查条件概率求法，属于中档题.
2、C
【解析】
根据椭圆方程,构造一个底面半径为2,高为3的圆柱,通过计算可知高相等时截面面积相等,因而由祖暅原理可得橄榄球几何体的体积的一半等于圆柱的体积减去圆锥的体积.
【详解】
由椭圆方程,构造一个底面半径为2,高为3的圆柱
在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点、上底面为底面的圆锥
当截面与底面距离为时，截圆锥得到的截面小圆半径为
则，即
所以截面面积为
把代入椭圆方程，可求得
所以橄榄球形状几何体的截面面积为
由祖暅原理可得橄榄球几何体的体积为
故选:C
本题考查了类比推理的综合应用,空间几何体体积的求法,属于中档题.
3、D
【解析】
根据复合函数增减性与对数函数的增减性来进行判断求解
【详解】
，为减函数，
若底数，根据复合函数同增异减的性质，可得函数在定义域内单调递增，与题不符，舍去
若底数，根据复合函数同增异减的性质，可得函数在定义域内单调递减，的定义域满足，，因在区间上单调递减，故有，所以
答案选D
复合函数的增减性满足同增异减，对于对数函数中底数不能确定的情况，需对底数进行分类讨论，再进行求解
4、D
【解析】
记事件甲乙两人各自射击同一目标一次，该目标被击中，利用独立事件的概率乘法公式计算出事件的对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式可得出事件的概率.
【详解】
记事件甲乙两人各自射击同一目标一次，该目标被击中，
则事件甲乙两人各自射击同一目标一次，两人都未击中目标，
由独立事件的概率乘法公式得，
，故选D.
本题考查独立事件的概率乘法公式，解题时要弄清楚各事件之间的关系，可以采用分类讨论，本题采用对立事件求解，可简化分类讨论，属于中等题.
5、B
【解析】
先根据正态分布求得质量在的袋数的概率，再根据代数服从二项分布可得.
【详解】
，且，，
，
，
而面粉质量在的袋数服从二项分布，即，
则.
故选：B
本题考查了二项分布，解题的关键是求出质量在的袋数的概率，属于基础题.
6、B
【解析】
先设底面半径，然后根据侧面积计算出半径，即可求解圆锥体积.
【详解】
设圆锥的底面半径为，则高为，母线长；又侧面积 ，所以，所以，
故选：B.
本题考查圆锥的侧面积公式应用以及体积的求解，难度一般.圆锥的侧面积公式：，其中是底面圆的半径，是圆锥的母线长.
7、B
【解析】
分析：由反例得充分性不成立，再根据等比数列性质证必要性成立.
详解：因为满足，所以充分性不成立
若数列为等比数列，则，即必要性成立.
选B.
点睛：充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．
2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．
8、A
【解析】
先分析的奇偶性以及在的单调性，然后再对每个选项进行分析.
【详解】
函数为偶函数,且在上为增函数，
对于选项,函数为偶函数，在上为増函数，符合要求；
对于选项,函数是偶函数，在上为减函数，不符合题意；
对于选项,函数为奇函数，不符合题意；
对于选项,函数为非奇非偶函数，不符合要求；
只有选项符合要求，故选.
奇偶函数的判断：（满足定义域关于原点对称的情况下）
若，则是奇函数；
若，则是偶函数.
9、C
【解析】
根据独立性检验的基本思想判断得解.
【详解】
因为 ，根据表可知；选C.
本题考查独立性检验的基本思想，属于基础题.
10、A
【解析】
由题，设男生人数x，然后列联表，求得观测值，可得x的范围，再利用人数比为整数，可得结果.
【详解】
设男生人数为，则女生人数为，
则列联表如下：

喜欢抖音
不喜欢抖音
总计
男生

女生

总计

若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则
即 解得
又因为为整数，所以男生至少有12人
故选A
本题是一道关于独立性检验的题目，总体方法是运用列联表进行分析求解，属于中档题.
11、A
【解析】
由题意知，，则C，D均不正确，而B为充要条件，不合题意，故选A.
12、A
【解析】
利用交集的运算律可得出集合。
【详解】
由题意可得，故选：A。
本题考查集合的交集运算，考查计算能力，属于基础题。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、45°
【解析】
先确定直线PA与平面ABCD所成的角，然后作两异面直线PA和BE所成的角，最后求解．
【详解】
∵四棱锥P－ABCD是正四棱锥，∴就是直线PA与平面ABCD所成的角，即＝60°，∴是等边三角形，AC＝PA＝2，
设BD与AC交于点O，连接OE，则OE是的中位线，即，且，
∴是异面直线PA与BE所成的角，
正四棱锥P－ABCD中易证平面PAC，∴，
中，，∴是等腰直角三角形，∴＝45°．
∴异面直线PA与BE所成的角是45°．
故答案为45°．
本题考查异面直线所成的角，考查直线与平面所成的角，考查正四棱锥的性质．要注意在求空间角时，必须作出其“平面角”并证明，然后再计算．
14、或
【解析】
先假设椭圆的焦点在轴上，通过直角三角形△推出，的关系，利用周长得到第二个关系，求出，然后求出，求出椭圆的方程，最后考虑焦点在轴上的椭圆也成立，从而得到问题的答案.
【详解】
设椭圆的焦点在轴上，长轴长为，焦距为，如图所示，
则在△中，由得：，
所以△的周长为，
，，
；
故所求椭圆的标准方程为．

当椭圆的焦点落在轴上，同理可得方程为：.
故答案为：或
本题考查椭圆标准方程的求法，要求先定位、再定量，考查运算求解能力，求解的关键是求出，的值，易错点是没有判断焦点位置．
15、
【解析】
根据两直线平行，列出有关的等式和不等式，即可求出实数的值.
【详解】
由于与平行，则，即，解得.
故答案为：.
本题考查利用两直线平行求参数，解题时要熟悉两直线平行的等价条件，并根据条件列式求解，考查运算求解能力，属于基础题.
16、1
【解析】
先将复数化简，再求虚部即可
【详解】
，所以复数的虚部为：1
故答案为1
本题考查复数的基本概念，在复数中，实部为，虚部为，属于基础题

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）正四面体；理由见解析（2）；（3）当时，最大体积为：；
【解析】
（1）根据线段等长首先确定为四面体外接球球心；又底面，可知为正三棱锥；依次以为顶点均有正三棱锥结论出现，可知四面体棱长均相等，可知其为正四面体；（2）由为四面体外接球球心及底面可得到即为所求角；设正四面体棱长为，利用表示出各边，利用勾股定理构造方程可求得，从而可求得，进而得到结果；（3）取中点，利用三线合一性质可知，从而可用表示出底面边长和三棱锥的高，根据三棱锥体积公式可将体积表示为关于的函数，利用导数求得函数的最大值，并确定此时的取值，从而得到结果.
【详解】
（1）四面体为正四面体，理由如下：
四条线段等长，即到四面体四个顶点距离相等 为四面体外接球的球心
又底面 在底面的射影为的外心
四面体为正三棱锥，即，
又任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上，若竖直向上
可得：
可知四面体各条棱长均相等 为正四面体
（2）由（1）知，四面体为正四面体，且为其外接球球心
设中心为，则平面，如下图所示：

即为与平面所成角
设正四面体棱长为
则，
在中，，解得：

即与平面所成角为：
（3）取中点，连接，

，为中点 且
，

令，，则
设，，则
令，解得：，
当时，；当时，
当时，取极大值，即为最大值：
即当时，取得最大值，最大值为：
此时，即
综上所述，当时，体积最大，最大值为：
本题考查立体几何中的几何体特征判断、直线与平面所成角的求解、三棱锥体积的最值的求解问题；求解三棱锥体积的最值问题，关键是要把底面面积和三棱锥的高均利用某一变量来进行表示，从而将所求体积最值问题转化为关于此变量的函数最值问题的求解，进而通过导数或其他求解函数最值的方法求得结果.
18、（1）；（2）
【解析】
(1)去绝对值,将化为分段函数,解不等式即可;
(2)根据绝对值三角不等式可知,则有,解不等式即可.
【详解】
(1)当时,,
故不等式的解集为;
(2),
,
则或,
解得或,
故的取值范围为.
本题考查解绝对值不等式,考查绝对值三角不等式的应用,属于中档题.
19、
【解析】
试题分析：由柯西不等式得，所以
试题解析：因为均为正数，且，
所以．
于是由均值不等式可知
，
当且仅当时，上式等号成立．
从而．
故的最小值为．此时．
考点：柯西不等式
20、 [，1)∪(，＋∞)．
【解析】
先求出当命题p，q为真命题时的取值范围，由p∨q真，p∧q假可得p与q一真一假，由此可得关于的不等式组，解不等式组可得结论．
【详解】
当命题p为真，即函数y＝loga(x＋3)在(0，＋∞)上单调递减时，
可得．
当命题q为真，即函数y＝x2＋(2a－3)x＋1的图像与x轴交于不同的两点，
可得，
解得，
又，
所以当q为真命题时，有．
∵p∨q为真，p∧q为假，
∴p与q一真一假．
①若p真q假，则 ，解得；
②若p假q真，则 ，解得．
综上可得或．
∴实数a的取值范围是[，1)∪(，＋∞)．
根据命题的真假求参数的取值范围的步骤：
(1)求出当命题p，q为真命题时所含参数的取值范围；
(2)判断命题p，q的真假性；
(3)根据命题的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围．
21、（1） 不变化；（2）；（3）先派甲,再派乙,最后派丙时, 均值（数字期望）达到最小
【解析】
（1）按甲在先,乙次之,丙最后的顺序派人,任务能被完成的概率为．
若甲在先,丙次之,乙最后的顺序派人,任务能被完成的概率为，
发现任务能完成的概率是一样.
同理可以验证，不论如何改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率不发生变化.
（2）由题意得可能取值为
∴，
∴其分布列为:

．
（3）,
∴要使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小,
则只能先派甲、乙中的一人.
∴若先派甲,再派乙,最后派丙,则；
若先派乙,再派甲,最后派丙, 则，
，
∴先派甲,再派乙,最后派丙时, 均值（数字期望）达到最小．
22、（1）应该选择模型①；（2）
【解析】
分析：（1）根据残差图分析，得出模型①残差波动小，故模型①拟合效果好；（2）剔除异常数据，利用平均数公式计算剩下数据的平均数，可得样本中心点的坐标，从而求可得公式中所需数据，求出，再结合样本中心点的性质可得，进而可得回归方程.
详解：（1）应该选择模型①
（2）剔除异常数据，即组号为4的数据，剩下数据的平均数；
，，
，.
所以关于的线性回归方程为.
点睛：本题主要考残差图的应用和线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.