2025年陕西省西安市长安第一中学数学高一第二学期期末质量跟踪监视试题含解析.doc

2025年陕西省西安市长安第一中学数学高一第二学期期末质量跟踪监视试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知向量，且为正实数，若满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，给出以下四个结论：
①D1C∥平面A1ABB1　 　②A1D1与平面BCD1相交
③AD⊥平面D1DB　　　④平面BCD1⊥平面A1ABB1
正确的结论个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
3．设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ）
A．0 B．1 C． D．3
4．已知，其中，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，在中，内角的对边分别是，内角满足，若，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知数列的前项为和，且，则（ ）
A．5 B． C． D．9
7．某学生用随机模拟的方法推算圆周率的近似值，在边长为的正方形内有一内切圆，向正方形内随机投入粒芝麻，（假定这些芝麻全部落入该正方形中）发现有粒芝麻落入圆内，则该学生得到圆周率的近似值为（ ）
A． B． C． D．
8．的周期为（ ）
A． B． C． D．
9．在中，，，分别是角，，的对边，且满足，那么的形状一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
10．设为等比数列的前n项和，若，则（ ）
A．-11 B．-8 C．5 D．11
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．如图，正方体的棱长为，动点在对角线上，过点作垂直于的平面 ，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为，设， 则当时，函数的值域__________．

12．等差数列前9项的和等于前4项的和.若，则 .
13．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为__________．
14．若数列满足，，，则______.
15．已知3a＝2，则32a＝____，log318﹣a＝_____
16．读程序，完成下列题目：程序如图：

（1）若执行程序时，没有执行语句，则输入的的范围是_______；
（2）若执行结果，输入的的值可能是___．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知直线l1：ax﹣y﹣2＝0与直线l2：（3﹣2a）x+y﹣1＝0（a∈R）.
（1）若l1与l2互相垂直，求a的值：
（2）若l1与l2相交且交点在第三象限，求a的取值范围.
18．已知 是同一平面内的三个向量，其中.
（1）若，求 ；
（2）若与共线，求的值.
19．关于的不等式，其中为大于0的常数。
（1）若不等式的解集为，求实数的取值范围；
（2）若不等式的解集为，且中恰好含有三个整数，求实数的取值范围.
20．在中，角所对的边分别为，已知，.
（1）求的值；
（2）若，求周长的取值范围.
21．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
（1）求角C；
（2）若，，求的面积.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
根据向量的数量积结合基本不等式即可．
【详解】
由题意得，因为，为正实数，则

当且仅当时取等．所以选择A
本题主要考查了向量的数量积以及基本不等式，在用基本不等式时要满足一正二定三相等．属于中等题
2、B
【解析】
在①中，由，得到平面；在②中，由，得到平面；在③中，由，得到与平面相交但不垂直；在④中，由平面，得到平面平面，即可求解．
【详解】
由正方体中，可得：
在①中，因为，平面，平面，
∴平面，故①正确；
在②中，∵，平面，平面，∴平面，故②错误；
在③中，∵，∴与平面相交但不垂直，故③错误；
在④中，∵平面，平面，∴平面平面，
故④正确．
故选：B．
本题主要考查了命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
3、B
【解析】
x，y，z为正实数，且，
根据基本不等式得，
当且仅当x=2y取等号，所以x=2y时，取得最大值1,
此时，
,
当时,取最大值1，
的最大值为1,
故选B.
4、D
【解析】
先根据同角三角函数关系求得,再根据二倍角正切公式得结果.
【详解】
因为，且，
所以，因为，所以，
因此，从而，，选D.
本题考查同角三角函数关系以及二倍角正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
5、B
【解析】
通过将利用合一公式变为，代入A求得A角，从而利用余弦定理得到b,c,的关系，从而利用均值不等式即可得到面积最大值.
【详解】

，为三角形内角，则
，，当且仅当时取等号

本题主要考查三角函数恒等变换，余弦定理，面积公式及均值不等式，综合性较强，意在考查学生的转化能力，对学生的基础知识掌握要求较高.
6、D
【解析】
先根据已知求出数列的通项，再求解.
【详解】
当时，，可得；
当且时，，得，故数列为等比数列，首项为4，公比为2.
所以
所以.
故选D
本题主要考查项和公式求数列通项，考查等比数列的通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
7、B
【解析】
由落入圆内的芝麻数占落入正方形区域内的芝麻数的比例等于圆的面积与正方形的面积比相等，列等式求出的近似值.
【详解】
边长为的正方形内有一内切圆的半径为，圆的面积为，正方形的面积为，
由几何概型的概率公式可得，得，
因此，该学生得到圆周率的近似值为，故选：B.
本题考查利用随机模拟思想求圆周率的近似值，解题的关键就是利用概率相等结合几何概型的概率公式列等式求解，考查计算能力，属于基础题.
8、D
【解析】
根据正弦型函数最小正周期的结论即可得到结果.
【详解】
函数的最小正周期
故选：
本题考查正弦型函数周期的求解问题，关键是明确正弦型函数的最小正周期.
9、C
【解析】
由正弦定理，可得,.
，或，
或，即或，即三角形为等腰三角形或直角三角形，故选C.
考点：1正弦定理;2正弦的二倍角公式.
10、A
【解析】
设数列{an}的公比为q.由8a2+a5=0,
得a1q(8+q3)=0.
又∵a1q≠0,∴q=-2.
∴===-11.故选A.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据已知条件，所得截面可能是三角形，也可能是六边形，分别求出三角形与六边形周长的取值情况，即可得到函数的值域.
【详解】
如图：

∵正方体的棱长为，
∴正方体的对角线长为6，
∵
（i）当或时，三角形的周长最小.
设截面正三角形的边长为，由等体积法得：

∴
∴，
（ii）或时，三角形的周长最大，截面正三角形的边长为，
∴
（iii）当时，截面六边形的周长都为
∴
∴当时，函数的值域为.
本题考查多面体表面的截面问题和线面垂直，关键在于结合图形分析截面的三种情况，进而得出与截面边长的关系.
12、10
【解析】
根据等差数列的前n项和公式可得，结合等差数列的性质即可求得k的值．
【详解】
因为
，且
所以
由等差数列性质可知
因为
所以
则根据等差数列性质可知
可得
本题考查了等差数列的前n项和公式，等差数列性质的应用，属于基础题．
13、.
【解析】
分析：由题意结合古典概型计算公式即可求得题中的概率值.
详解：由题意可知了，比赛可能的方法有种，
其中田忌可获胜的比赛方法有三种：田忌的中等马对齐王的下等马，
田忌的上等马对齐王的下等马，田忌的上等马对齐王的中等马，
结合古典概型公式可得，田忌的马获胜的概率为.
点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.
14、
【解析】
由，化简得，则为等差数列，结合已知条件得.
【详解】
由，化简得，且，，
得，所以是以为首项，以为公差的等差数列，
所以，即
故答案为：
本题考查了数列的递推式，考查了判断数列是等差数列的方法，属于中档题.
15、4 2.
【解析】
由已知结合指数式的运算性质求解，把化为对数式得到，代入，再由对数的运算性质求解.
【详解】
∵，∴，
由，得，
∴.
故答案为：，.
本题考查指数式与对数式的互化，考查对数的运算性质，属于基础题.
16、 2
【解析】
（1）不执行语句，说明不满足条件，，从而得；
（2）执行程序，有当时，，只有，．
【详解】
（1）不执行语句，
说明不满足条件，，故有.
（2）当时，，
只有，．
故答案为：（1）　（2）；
本题主要考察程序语言，考查对简单程序语言的阅读理解，属于基础题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）a，或a＝1（2）a＞3
【解析】
（1）由题意利用两条直线互相垂直的性质，求得的值；
（2）联立方程组求出两条直线的交点坐标，再根据交点在第三象限，求出的取值范围.
【详解】
（1）∵直线l1：ax﹣y﹣2＝0与直线l2：（3﹣2a）x+y﹣1＝0，l1与l2互相垂直，
∴a•（3﹣2a）+（﹣1）•1＝0，求得a，或a＝1.
（2）若l1与l2相交且交点在第三象限，联立方程组，
∵l1与l2相交，故a≠3，
求得方程组的解为，∴，求得a＞3.
本题主要考查两条直线互相垂直的性质，求两条直线的交点坐标，属于基础题.
18、（1）；（2）
【解析】
（1）根据向量的坐标的运算法则和向量垂直的条件，以及模的定义即可求出．
（2）根据向量共线的条件即可求出．
【详解】
（1）因为

（2）由已知：

本题考查了向量的坐标运算以及向量的垂直和平行的坐标表示，属于基础题．
19、（1）；（2）
【解析】
（1）关于的不等式的解集为，得出判别式△，且，由此求出的取值范围；
（2）由题意知判别式△，设，利用对称轴以及（1），，
得出不等式的解集中恰好有三个整数，等价于，由此求出的取值范围．
【详解】
（1）由题意得一元二次不等式对应方程的判别式，
结合，解得.
（2）由题意得一元二次不等式对应方程的判别式，解得.
又，所以.
设，其对称轴为.
注意到，，对称轴，
所以不等式解集中恰好有三个整数只能是1、2、3，
此时中恰好含有三个整数等价于：，解得.
本题考查了不等式的解法与应用问题．
20、（1）3；（2）.
【解析】
（1）先用二倍角公式化简，再根据正弦定理即可解出；
（2）用正弦定理分别表示，再用三角形内角和及和差公式化简，转化为三角函数求最值.
【详解】
（1）由及二倍角公式得，
又即，所以；
（2）由正弦定理得，
周长：
，
又因为，所以.
因此周长的取值范围是.
本题考查了正余弦定理解三角形，三角形求边长取值范围常用的方法：1、转化为三角函数求最值；2、基本不等式.
21、（1）；（2）
【解析】
（1）利用正弦定理进行边化角，然后得到的值，从而得到；
（2）根据余弦定理，得到关于的方程，从而得到，再根据面积公式，得到答案.
【详解】
（1）在中，根据正弦定理，
由，
可得，
所以，
因为为内角，所以，
所以
因为为内角，所以，
（2）在中，，，
由余弦定理得

解得，
所以.
本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于简单题.