2025届广东省佛山市普通高中高一下数学期末综合测试模拟试题含解析.doc

2025届广东省佛山市普通高中高一下数学期末综合测试模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，,则的值为( )
A． B． C． D．
3．四边形，，，，则的外接圆与的内切圆的公共弦长（ ）
A． B． C． D．
4．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n(λ－n)－6，若数列{an}单调递减，则λ的取值范围是
A．(－∞，2) B．(－∞，3) C．(－∞，4) D．(－∞，5)
5．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列叙述正确的是（ ）
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则.
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
6．过点且与原点距离最大的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知直线，平面，且，下列条件中能推出的是（ ）
A． B． C． D．与相交
8．当前，我省正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张问题．已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户，若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，先采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为（ ）
A．30 B．40 C．20 D．36
9．已知点，，若直线过原点，且、两点到直线的距离相等，则直线的方程为( )
A．或 B．或
C．或 D．或
10．已知下列各命题：
①两两相交且不共点的三条直线确定一个平面：
②若真线不平行于平面，则直线与平面有公共点：
③若两个平面垂直，则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线：
④若两个二面角的两个面分别对应垂直，则这两个二面角相等或互补.
则其中正确的命题共有（ ）个
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若满足约束条件 则的最大值为__________．
12．已知点是所在平面内的一点，若，则__________．
13．若是等比数列，，，且公比为整数，则______.
14．某校选修“营养与卫生”课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法从这70名学生中抽取一个样本，已知在高二年级的学生中抽取了8名，则在该校高一年级的学生中应抽取的人数为________．
15．已知数列中，且当时，则数列的前项和=__________．
16．已知在数列中，且，若，则数列的前项和为__________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知数列的首项.
（1）证明: 数列是等比数列；
（2）数列的前项和.
18．已知离心率为的椭圆过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作斜率为直线与椭圆相交于两点，求的长．
19．已知函数.
（1）若函数的周期，且满足，求及的递增区间；
（2）若，在上的最小值为，求的最小值.
20．已知等比数列的公比是的等差中项，数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
21．如图，在正中，，.

（1）试用，表示；
（2）若，，求.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
∵，∴，， ，∴，∴点在第二象限，故选B.
点睛：本题主要考查了由三角函数值的符号判断角的终边位置，属于基础题；三角函数值符号记忆口诀记忆技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦（为正）．即第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正.
2、B
【解析】
先利用面积公式得到，再利用余弦定理得到
【详解】

余弦定理：

故选B
本题考查了面积公式和余弦定理，意在考查学生的计算能力.
3、C
【解析】
以为坐标原点，以为轴，轴建立平面直角坐标系，求出的外接圆与的内切圆的方程，两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，求出弦心距，进而可得公共弦长.
【详解】
解：以为坐标原点，以为轴，轴建立平面直角坐标系，

过作交于点，则，故，
则为等边三角形，
故，
的外接圆方程为，①
的内切圆方程为，②
①-②得两圆的公共弦所在直线方程为:,
的外接圆圆心到公共弦的距离为，
公共弦长为，
故答案为：C.
本题考查两圆公共弦长的求解，关键是要求出两圆的公共弦所在直线方程，将两圆方程作差即可得到，是中档题.
4、A
【解析】
，，
因为单调递减，所以，
所以，且，
所以只需，，且，
所以，故选A．
5、D
【解析】
可以线在平面内，③可以是两相交平面内与交线平行的直线，②对④对，
故选D.
6、A
【解析】
当直线与垂直时距离最大，进而可得直线的斜率，从而得到直线方程。
【详解】
原点坐标为，根据题意可知当直线与垂直时距离最大，
由两点斜率公式可得：
所以所求直线的斜率为：
故所求直线的方程为：，化简可得：
故答案选A
本题考查点到直线的距离公式，涉及直线的点斜式方程和一般方程，属于基础题。
7、C
【解析】
根据线面垂直的性质，逐项判断即可得出结果.
【详解】
A中，若，由，可得；故A不满足题意；
B中，若，由，可得；故B不满足题意；
C中，若，由，可得；故C正确；
D中，若与相交，由，可得异面或平，故D不满足题意.
故选C
本题主要考查线面垂直的性质，熟记线面垂直的性质定理即可，属于常考题型.
8、A
【解析】
先求出每个个体被抽到的概率,再由乙社区的低收入家庭数量乘以每个个体被抽到的概率,即可求解
【详解】
每个个体被抽到的概率为,
乙社区由270户低收入家庭,故应从乙中抽取低收入家庭的户数为,
故选:A
本题考查分层抽样的应用,属于基础题
9、A
【解析】
分为斜率存在和不存在两种情况，根据点到直线的距离公式得到答案.
【详解】
当斜率不存在时：直线过原点，验证满足条件.
当斜率存在时：直线过原点，设直线为：
即
故答案选A
本题考查了点到直线的距离公式，忽略斜率不存在的情况是容易犯的错误.
10、B
【解析】
①利用平面的基本性质判断.②利用直线与平面的位置关系判断.③由面面垂直的性质定理判断.④通过举反例来判断.
【详解】
①两两相交且不共点，形成三个不共线的点，确定一个平面，故正确.
②若真线不平行于平面，则直线与平面相交或在平面内，所以有公共点，故正确.
③若两个平面垂直，则一个平面内，若垂直交线的直线则垂直另一个平面，垂直另一平面内所有直线，若不垂直与交线，也与另一平面内垂直交线的直线及其平行线垂直，也有无数条，故正确.
④若两个二面角的两个面分别对应垂直，则这两个二面角关系不确定，如图：

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角D-AA1-F与二面角D1-DC-A的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补．故错误..
故选：B
本题主要考查了点、线、面的位置关系，还考查了推理论证和理解辨析的能力，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
作出可行域，根据目标函数的几何意义可知当时，.
【详解】
不等式组表示的可行域是以为顶点的三角形区域，如下图所示，目标函数的最大值必在顶点处取得，易知当时，.

线性规划问题是高考中常考考点，主要以选择及填空的形式出现，基本题型为给出约束条件求目标函数的最值，主要结合方式有：截距型、斜率型、距离型等.
12、
【解析】
设为的中点，为的中点，为的中点，由得到，再进一步分析即得解.
【详解】
如图，设为的中点，为的中点，为的中点，
因为，
所以可得，
整理得.又，
所以，所以，
又，所以．
故答案为

本题主要考查向量的运算法则和共线向量，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，解答本题的关键是作辅助线，属于中档题.
13、512
【解析】
由题设条件知和是方程的两个实数根，解方程并由公比q为整数，知，，由此能够求出公比，从而得到.
【详解】
是等比数列，
，，
，，
和是方程的两个实数根，
解方程，
得，，
公比q为整数，
，，
，解得，
.故答案为：512
本题考查等比数列的通项公式的求法，利用了等比数列下标和的性质，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化.
14、6
【解析】
利用分层抽样的定义求解.
【详解】
设从高一年级的学生中抽取x名，由分层抽样的知识可知，解得x＝6.
故答案为6.
本题主要考查分层抽样，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.
15、
【解析】
先利用累乘法计算，再通过裂项求和计算.
【详解】
，

数列的前项和
故答案为：
本题考查了累乘法，裂项求和，属于数列的常考题型.
16、
【解析】
根据递推关系式可证得数列为等差数列，利用等差数列通项公式求得，得到，进而求得；利用裂项相消法求得结果.
【详解】
由得：
数列是首项为，公差为的等差数列
，即：
设前项和为
本题正确结果：
本题考查根据递推关系式证明数列为等差数列、等差数列通项的求解、裂项相消法求数列的前项和；关键是能够通过通项公式的形式确定采用的求和方法，属于常考题型.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
试题分析：（1）对两边取倒数得，化简得，所以数列是等比数列；（2）由（1）是等比数列.，求得，利用错位相减法和分组求和法求得前项和.
试题解析：
（1），又
，数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）知，，即，设， ①
则， ② 由①-②得
，.
又.数列的前项和.
考点：配凑法求通项，错位相减法.
18、（1）（2）
【解析】
（1）根据离心率可得的关系，将点代入椭圆方程，可得椭圆方程；（2）直线方程与椭圆方程联立，可得弦长.
【详解】
（1），又，
，即椭圆方程是，
代入点,
可得，
椭圆方程是.
（2）设
直线方程是，联立椭圆方程

代入可得.
本题考查了椭圆方程和直线与椭圆的位置关系，涉及弦长公式，属于简单题.
19、（1），；（2）2.
【解析】
（1）由函数的性质知，关于直线对称，又函数的周期，两个条件两个未知数，列两个方程，所以可以求出，进而得到的解析式，求出的递增区间；
（2）求出的所有解，再解不等式，即可求出的最小值．
【详解】
（1），由知，∴对称轴
∴，又，
,
由，得，
函数递增区间为；
（2）由于，在上的最小值为，
所以，即，
所以，所以.
本题主要考查三角函数解析式、单调区间以及最值的求法，特别注意用代入法求单调区间时，要考虑复合函数的单调性，以免求错．
20、（1），；（2）.
【解析】
（1）先由题意，列出方程组，求出首项与公比，即可得出通项公式；
（2）根据题意，求出，再由（1）的结果，得到，利用错位相减法，即可求出结果.
【详解】
（1）因为等比数列的公比，，是的等差中项，
所以，即，解得，
因此，；
（2）因为数列的前项和为，
所以，（）
又当也满足上式，所以，；
由（1），；
所以其前项和①
因此②
①式减去②式可得： ，
因此.
本题主要考查等差数列与等比数列的综合应用，以及错位相减法求数列的和，熟记等差数列与等比数列的通项公式以及求和公式即可，属于常考题型.
21、（1）；（2）-2
【解析】
（1）由，可得，整理可求出答案；
（2）用、分别表示和，进而求出即可.
【详解】
（1）因为，则，所以.
（2）当时，，因为，所以为边的三等分点，则，
故.
本题考查平面向量的线性运算，考查向量的数量积，考查学生的计算能力与推理能力，属于基础题.