上海市八中2025届高一下数学期末质量跟踪监视试题含解析.doc

上海市八中2025届高一下数学期末质量跟踪监视试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在等差数列中，若.，则（ ）
A．100 B．90 C．95 D．20
2．在中，，为边上的一点，且，若为的角平分线，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是
A． B． C． D．
4．在中，已知，，，则的形状为（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
5．在中，角所对的边分别为，若，则此三角形（ ）
A．无解 B．有一解 C．有两解 D．解的个数不确定
6．设为两条不同的直线，为三个不重合平面，则下列结论正确的是( )
A．若，，则 B．若， 则
C．若，，则 D．若，，则
7．不等式x2+ax+4＞0对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣4，4） B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）
C．（﹣∞，+∞） D．
8．．设、是关于x的方程的两个不相等的实数根，那么过两点，的直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离. B．相切. C．相交. D．随m的变化而变化.
9．已知数列满足若，则数列的第2018项为 （ ）
A． B． C． D．
10．已知，，则在方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若函数的图象与直线恰有两个不同交点，则m的取值范围是________.
12．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________

13．已知，则____________.
14．若不等式对于任意都成立，则实数的取值范围是____________．
15．设函数满足，当时，，则=________.
16．已知样本数据的方差是1，如果有，那么数据，的方差为______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知⊙C经过点、两点，且圆心C在直线上.
（1）求⊙C的方程；
（2）若直线与⊙C总有公共点，求实数的取值范围.
18．已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在区间上的值域.
19．如图，墙上有一壁画，最高点离地面4米，最低点离地面2米，观察者从距离墙米，离地面高米的处观赏该壁画，设观赏视角

（1）若问：观察者离墙多远时，视角最大？
（2）若当变化时，求的取值范围.
20．如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，､､分别是､､的中点.

（1）证明:直线平面；
（2）求直线与面所成角的大小；
（3）求二面角的平面角的余弦值.
21．在中，已知内角所对的边分别为，已知，，的面积.
（1）求边的长；
（2）求的外接圆的半径.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
利用等差数列的性质，即下标和相等对应项的和相等，得到.
【详解】
数列为等差数列，，
.
考查等差数列的性质、等差中项，考查基本量法求数列问题.
2、A
【解析】
先根据正弦定理用角A,C表示，再根据三角形内角关系化基本三角函数形状，最后根据正弦函数性质得结果.
【详解】
因为，为的角平分线，所以，
在中，，因为，所以，
在中，，因为，所以，所以，
则
,
因为，所以,
所以，则 ，
即的取值范围为.选A.
本题考查函数正弦定理、辅助角公式以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.
3、C
【解析】
试题分析：开机密码的可能有，，共15种可能，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是，故选C．
【考点】古典概型
【解题反思】对古典概型必须明确两点：①对于每个随机试验来说，试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等．只有在同时满足①、②的条件下，运用的古典概型计算公式（其中n是基本事件的总数，m是事件A包含的基本事件的个数）得出的结果才是正确的．
4、A
【解析】
由正弦定理得出，从而得出可能为钝角或锐角，分类讨论这两种情况，结合正弦函数的单调性即可判断.
【详解】
由正弦定理得
可能为钝角或锐角
当为钝角时，,符合题意，所以为钝角三角形；
当为锐角时，由于在区间上单调递增，
则，所以，即为钝角三角形
综上，为钝角三角形
故选：A
本题主要考查了利用正弦定理判断三角形的形状，属于中档题.
5、C
【解析】
利用正弦定理求，与比较的大小，判断B能否取相应的锐角或钝角.
【详解】
由及正弦定理，得，，B可取锐角；当B为钝角时，，由正弦函数在递减，，可取.故选C.
本题考查正弦定理，解三角形中何时无解、一解、两解的条件判断，属于中档题.
6、D
【解析】
根据空间中线线、线面、面面位置关系，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
A选项，若，，则可能平行、相交或异面；故A错；
B选项，若， ，则或，故B错；
C选项，若，，因为为三个不重合平面，所以或，故C错；
D选项，若，，则，故D正确；
故选D
本主要考查命题真假的判定，熟记空间中线线、线面、面面位置关系，即可得出结果.
7、A
【解析】
根据二次函数的性质求解．
【详解】
不等式x2+ax+4＞0对任意实数x恒成立，则，∴．
故选A．
本题考查一元二次不等式恒成立问题，解题时可借助二次函数的图象求解．
8、D
【解析】
直线AB的方程为.
即，所以直线AB的方程为,
因为,所以,
所以,所以直线AB与圆可能相交，也可能相切，也可能相离.
9、A
【解析】
利用数列递推式求出前几项，可得数列是以4为周期的周期数列，即可得出答案.
【详解】

，，，
数列是以4为周期的周期数列，则.
故选A .
本题考查数列的递推公式和周期数列的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.
10、A
【解析】
在方向上的投影为，选A.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
化简函数解析式为，做出函数的图象，数形结合可得的取值范围．
【详解】
解：因为
所以，，
由，可得，
则函数，的图象与直线恰有两个不同交点，即方程在上有两个不同的解，
画出的图象如下所示：

依题意可得时，函数的图象与直线恰有两个不同交点，
故答案为：
本题主要考查正弦函数的最大值和单调性，函数的图象变换规律，正弦函数的图象特征，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．
12、2
【解析】
根据三视图还原几何体，为一个底面是直角梯形的四棱锥，根据三视图的数据，分别求出其底面积和高，求出体积，得到答案.
【详解】
由三视图还原几何体如图所示，
几何体是一个底面是直角梯形的四棱锥，
由三视图可知，其底面积为，
高
所以几何体的体积为.
故答案为.

本题考查三视图还原几何体，求四棱锥的体积，属于简单题.
13、
【解析】
由已知结合同角三角函数基本关系式可得，然后分子分母同时除以求解．
【详解】
，

．
故答案为：．
本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础的计算题．
14、
【解析】
利用换元法令（），将不等式左边构造成一次函数，根据一次函数的性质列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
【详解】
令，，则 ．
由已知得，不等式对于任意都成立．
又令 ，则 ，即 ，
解得 ．所以所求实数的取值范围是．
故答案为：
本小题主要考查不等式恒成立问题的求解策略，考查三角函数的取值范围，考查一次函数的性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
15、
【解析】
由已知得f（）=f（）+sin=f（）+sin+sin=f（）+sin+sin+sin，由此能求出结果．
【详解】
∵函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx，
当0≤x＜π时，f（x）=0，
∴f（）=f（）+sin
=f（）+sin+sin
=f（）+sin+sin+sin
=0+
=．
故答案为：．
本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
16、1
【解析】
利用方差的性质直接求解．
【详解】
根据题意，样本数据的平均数为，方差是1，
则有，
对于数据，其平均数为
，
其方差为
，故答案为1.
本题考查方差的求法，考查方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】
试题分析：
(1)解法1：由题意利用待定系数法可得⊙C方程为.
解法2：由题意结合几何关系确定圆心坐标和半径的长度可得⊙C的方程为.
(2)解法1：利用圆心到直线的距离与圆的半径的关系得到关系k的不等式，求解不等式可得.
解法2：联立直线与圆的方程，结合可得.
试题解析：
（1）解法1：设圆的方程为，
则，
所以⊙C方程为.
解法2：由于AB的中点为，，
则线段AB的垂直平分线方程为
而圆心C必为直线与直线的交点，
由解得，即圆心，又半径为，
故⊙C的方程为.
（2）解法1：因为直线与⊙C总有公共点，
则圆心到直线的距离不超过圆的半径，即，
将其变形得，
解得.
解法2：由，
因为直线与⊙C总有公共点，则，
解得.
点睛：判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．
18、（1）；（2）
【解析】
（1）由二倍角公式，并结合辅助角公式可得，再利用周期可求出答案；
（2）由的范围，可求得的范围，进而可求出的范围，从而可求得的值域.
【详解】
（1），
∴函数的最小正周期为.
（2）∵，
∴，∴，
∴，∴函数在区间的值域为.
本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的周期及值域，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
19、（1）
（2）3≤x≤1．
【解析】
试题分析：（1）利用两角差的正切公式建立函数关系式，根据基本不等式求最值，最后根据正切函数单调性确定最大时取法，（2）利用两角差的正切公式建立等量关系式，进行参变分离得，再根据a的范围确定范围，最后解不等式得的取值范围.
试题解析：（1）当时，过作的垂线，垂足为，
则，且，
由已知观察者离墙米，且，
则，
所以， ，
当且仅当时，取“”．
又因为在上单调增，所以，当观察者离墙米时，视角最大．
（2）由题意得，，又，
所以，
所以，
当时，，所以，
即，解得或，
又因为，所以，
所以的取值范围为．

20、（1）证明见解析（2）（3）
【解析】
（1）取的中点，证明为平行四边形，且，再由三角形中位线证明，最后由线面平行的判定定理证明即可；
（2）作交于点，由线面垂直关系得到直线与面所成角为，再根据是正三角形求解即可；
（3）由（2）知，平面，再证明和分别垂直于，求出直线与面所成角为，再求出和的长度即可求解.
【详解】
（1）在直四棱柱中，取的中点，连接，，，
因为，，且，所以为平行四边形，所以，
又因为､分别是棱､的中点，
所以，所以，
因为.所以､､､四点共面，
所以平面，又因为平面，
所以直线平面.

（2）因为，，是棱的中点，
所以，为正三角形，
取的中点，则，
又因为直四棱柱中，平面，所以，
所以平面，即直线与面所成角为，
所以，即，
所以直线与面所成角为.
（3）过在平面内作，垂足为，连接.
因为面，即，
且与相交于点，故且，
则为二面角的平面角，
在正三角形中，，
在中，，
∵，∴，
在中，，
，
所以二面角的余弦值为.
本题主要考查线面平行的判定、线面角和二面角的求法，考查学生的空间想象能力和对线面关系的掌握，属于中档题.
21、（1）；（2）
【解析】
（1）由三角形面积公式可构造方程求得结果；
（2）利用余弦定理可求得；利用正弦定理即可求得结果.
【详解】
（1）由得：，解得：
（2）由余弦定理得：
由正弦定理得：
本题考查利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式解三角形的问题，考查学生对于解三角形部分的公式掌握的熟练程度，属于基础应用问题.