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2025届宁夏吴忠市数学高一下期末综合测试试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．己知向量，.若，则m的值为( )
A． B．4 C．- D．-4
2．下列三角方程的解集错误的是（ ）
A．方程的解集是
B．方程的解集是
C．方程的解集是
D．方程（是锐角）的解集是
3．将函数图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像向左平移个单位得到数学函数的图像，在图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为（ ）
A． B． C． D．
4．已知为的三个内角的对边，，的面积为2，则的最小值为( ).
A． B． C． D．
5．若关于x的一元二次不等式的解集为R，则实数a的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
6．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．恰有1个黑球与恰有2个黑球 B．至少有一个红球与都是黑球
C．至少有一个黑球与至少有1个红球 D．至少有一个黑球与都是黑球
7．若，，，，则等于（　　）
A． B． C． D．
8．若向量与向量不相等，则与一定（ ）
A．不共线 B．长度不相等 C．不都是单位向量 D．不都是零向量
9．设是内任意一点，表示的面积，记，定义，已知，是的重心，则（ ）
A．点在内 B．点在内
C．点在内 D．点与点重合
10．已知一几何体的三视图，则它的体积为 （ ）

A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．三棱锥P﹣ABC的底面ABC是等腰三角形，AC＝BC＝2，AB＝2，侧面PAB是等边三角形且与底面ABC垂直，则该三棱锥的外接球表面积为_____．
12．向量满足，，则向量的夹角的余弦值为_____．
13．在四面体ABCD中，平面ABC，，，若四面体ABCD的外接球的表面积为，则四面体ABCD的体积为_______．
14．在我国古代数学著作《孙子算经》中，卷下第二十六题是：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？满足题意的答案可以用数列表示，该数列的通项公式可以表示为________
15．在中，，则______．
16．已知正方体的棱长为，点、分别为、的中点，则点到平面的距离为______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．为了了解居民的用电情况,某地供电局抽查了该市若干户居民月均用电量(单位:),并将样本数据分组为,,,,,, ,其频率分布直方图如图所示.

(1)若样本中月均用电量在的居民有户,求样本容量;
(2)求月均用电量的中位数;
(3)在月均用电量为,,,的四组居民中,用分层随机抽样法抽取户居民,则月均用电量在的居民应抽取多少户?
18．在中，角，，的对边分别是，，，， ．

（1）若，求．
（2）若在线段上，且，，求的长．
19．在中，内角，，的对边分别为，，，已知.
（Ⅰ）求角的值；
（Ⅱ）若，且的面积为，求的值．
20．已知平面向量，=(2x+3，-x)，(x∈R).
(1)若向量与向量垂直，求；
(2)若与夹角为锐角，求的取值范围.
21．已知，其中，，．
（1）求的单调递增区间；
（2）在中，角，，所对的边分别为，，，，，且向量与共线，求边长和的值．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
根据两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值.
【详解】
依题意，由于，所以，解得.
故选B.
本小题主要考查两个向量垂直的坐标表示，考查向量减法的坐标运算，属于基础题.
2、B
【解析】
根据余弦函数的性质可判断B是错误的.
【详解】
因为，故无解，故B错.
对于A，的解集为
，故A正确.
对于C，的解集是
，故C正确.
对于D，，.
因为为锐角，，
所以或或，
所以或或，故D正确.
故选：B.
本题考查三角方程的解，注意对于三角方程，我们需掌握有解的条件和其通解公式，而给定范围上的解，需结合整体的范围来讨论，本题属于基础题.
3、A
【解析】
分析：根据平移变换可得，根据放缩变换可得函数的解析式，结合对称轴方程求解即可.
详解：将函数的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，
纵坐标不变，得到，
再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，
即，
由，
得，
当时，离原点最近的对称轴方程为，故选A.
点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由 函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.
4、D
【解析】
运用三角形面积公式和余弦定理，结合三角函数的辅助角公式和正弦型函数的值域最后可求出的最小值.
【详解】
因为， 所以，即，
令，可得，
于是有，因此，即，所以的最小值为，故本题选D.
本题考查了余弦定理、三角形面积公式，考查了辅助角公式，考查了数学运算能力.
5、B
【解析】
由题意，得出，再分析不等式开口和判别式，可得结果.
【详解】
由题，因为为一元二次不等式，所以
又因为的解集为R
所以
故选B
本题考查了一元二次不等式解法，利用二次函数图形解题是关键，属于基础题.
6、A
【解析】
从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，包括3种情况：①恰有一个黑球，②恰有两个黑球，③没有黑球．
故恰有一个黑球与恰有两个黑球不可能同时发生，它们是互斥事件，再由这两件事的和不是必然事件，故他们是互斥但不对立的事件，
故选：A．
7、C
【解析】
利用同角三角函数的基本关系求出与，然后利用两角差的余弦公式求出值．
【详解】
，，则，
，则，所以，，
因此，
，
故选C．
本题考查利用两角和的余弦公式求值，解决这类求值问题需要注意以下两点：
①利用同角三角平方关系求值时，要求对象角的范围，确定所求值的正负；
②利用已知角来配凑未知角，然后利用合适的公式求解．
8、D
【解析】
由方向相同且模相等的向量为相等向量，再逐一判断即可得解.
【详解】
解：向量与向量不相等，它们有可能共线、有可能长度相等、有可能都是单位向量但方向不相同，但不能都是零向量，
即选项A、B、C错误，D正确.
故选：D.
本题考查了相等向量的定义，属基础题.
9、A
【解析】
解：由已知得，f（P）=（λ1，λ2，λ3）中的三个坐标分别为P分△ABC所得三个三角形的高与△ABC的高的比值，
∵f（Q）=（1/ 2 ，1/ 3 ，1/ 6 ）
∴P离线段AB的距离最近，故点Q在△GAB内
由分析知，应选A．
10、C
【解析】
所求体积 ，故选C.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
求出的外接圆半径，的外接圆半径，求出外接球的半径，即可求出该三棱锥的外接球的表面积．
【详解】
由题意，设的外心为，的外心为，
则的外接圆半径，
在中，因为，
由余弦定理可得，所以，
所以的外接圆半径，
在等边中，由，所以，所以，
设球心为，球的半径为，则，
又由面，面，
则，所以该三棱锥的外接球的表面积为．
故答案为：．

本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积的求解，其中解答中熟练应用空间几何体的结构特征，确定球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题．
12、
【解析】
通过向量的垂直关系，结合向量的数量积求解向量的夹角的余弦值．
【详解】
向量，满足，，
可得：，，
向量的夹角为，
所以．
故答案为．
本题考查向量的数量积的应用，向量的夹角的余弦函数值的求法．考查计算能力．属于基础题.
13、
【解析】
易得四面体为长方体的一角,再根据长方体体对角线等于外接球直径,再利用对角线公式求解即可.
【详解】
因为四面体中,平面,且,.故四面体是以为一个顶点的长方体一角.设则因为四面体的外接球的表面积为,设其半径为,故.解得.
故四面体的体积.
故答案为：
本题主要考查了长方体一角的四面体的外接球有关问题,需要注意长方体体对角线等于外接球直径.属于中档题.
14、
【解析】
根据题意结合整除中的余数问题、最小公倍数问题，进行分析求解即可．
【详解】
由题意得：一个数用3除余2，用7除也余2，
所以用3与7的最小公倍数21除也余2，
而用21除余2的数我们首先就会想到23；23恰好被5除余3，即最小的一个数为23，
同时这个数相差又是3，5，7的最小公倍数，即，
即数列的通项公式可以表示为，
故答案为：.
本题以数学文化为背景，利用数列中的整除、最小公倍数进行求解，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
15、
【解析】
由已知求得，进一步求得，即可求出．
【详解】
由，
得，
即，，
则，
，，则．
本题主要考查应用两角和的正切公式作三角函数的恒等变换与化简求值．
16、
【解析】
作出图形，取的中点，连接，证明平面，可知点平面的距离等于点到平面的距离，然后利用等体积法计算出点到平面的距离，即为所求.
【详解】
如下图所示，取的中点，连接，

在正方体中，且，
、分别为、的中点，且，
所以，四边形为平行四边形，且，
又，，平面，平面，
平面，则点平面的距离等于点到平面的距离，
的面积为，
在正方体中，平面，且平面，
，易知三棱锥的体积为.
的面积为.
设点到平面的距离为，则，
.
故答案为：.
本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等体积法的合理运用．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)200 (2)224 (3)4户
【解析】
(1)因为,所以月均用电量在的频率为,即可求得答案;
(2)因为,设中位数为,,即可求得答案;
(3)月均用电量为,,,的频率分别为, 即可求得答案.
【详解】
(1),
得.
月均用电量在的频率为.
设样本容量为N,则,
.
(2),
月均用电量的中位数在内.
设中位数为,
,
解得,即中位数为.
(3)月均用电量为,,,的频率分别为
应从月均用电量在的用户中抽取(户)
本题考查了用样本估计总体的相关计算,解题关键是掌握分层抽样的计算方法和样本容量, 中位数定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
18、（1）；（2）
【解析】
（1）根据正弦定理化简边角关系式，可整理出余弦定理形式，得到；再根据正弦定理求得，根据同角三角函数得到；根据两角和差公式求得；（2）设，在中利用余弦定理构造方程求得，从而可证得，利用勾股定理求得结果.
【详解】
（1）
由正弦定理得：
整理得：

由正弦定理得：

（2）设，则：，
在中，利用余弦定理得：
，解得：（舍）或
，，又，即

本题考查正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到正弦定理化简边角关系式、同角三角函数求解、两角和差公式的运算，考查对于定理和公式的应用，属于常规题型.
19、（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）利用，化简得
，然后利用正弦定理和余弦定理求解即可.
（Ⅱ）利用面积公式得，得到，再利用，即可求解.
【详解】
（Ⅰ）由题意知，
即，
由正弦定理，得，①，
由余弦定理，得，又因为，
所以．
（Ⅱ）因为，，由面积公式得，即．
由①得，故，即．
本题考查正弦和余弦定理的应用，属于基础题.
20、（1）10或2； （2）.
【解析】
(1)由向量与向量垂直，求得或，进而求得的坐标，利用模的计算公式，即可求解；
(2)因为与夹角为锐角，所以，且与不共线，列出不等关系式，即可求解.
【详解】
(1)由题意，平面向量，，
由向量与向量垂直，则，解得或，
当时，，则，所；
当时，，则，所，
(2)因为与夹角为锐角，所以，且与不共线，
即且，
解得，且，
即的取值范围为.
本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的垂直条件，以及向量的数量积的应用，着重考查了推理运算能力，属于基础题.
21、（1）;（2）．
【解析】
试题分析：（1）化简得，代入，求得增区间为；（2）由求得，余弦定理得.因为向量与共线,所以,由正弦定理得，解得.
试题解析：
（1）由题意知,,
在上单调递增,令,得,的单调递增区间.
（2）,又,
即.,由余弦定理得.因为向量与共线,所以,由正弦定理得.
考点：三角函数恒等变形、解三角形．