2025年四川省成都第七中学数学高一第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

2025年四川省成都第七中学数学高一第二学期期末学业质量监测模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
2． “（）”是“函数是奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．在三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的体积为( )
A． B． C． D．
4．已知向量、满足，且，则为（ ）
A． B．6 C．3 D．
5．设公差不为零的等差数列的前项和为.若，，则
A．10 B．11 C．12 D．13
6．将函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则函数f（x）的最小正周期不可能是（　　）
A． B． C． D．
7．设等比数列的公比，前n项和为，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
8．已知函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知角终边上一点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．数列{an}的通项公式an＝，若{an}前n项和为24，则n为( )．
A．25 B．576 C．624 D．625
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知圆是圆上的一条动直径，点是直线上的动点，则的最小值是____.
12．中，，，，则______.
13．已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球的表面积_____．
14．已知数列是等差数列，若，，则公差________.
15．设数列（）是等差数列，若和是方程的两根，则数列的前2019项的和________
16．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．
在上面结论中，正确结论的编号是________．(写出所有正确结论的编号)
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在△ABC中，AC=4，，．
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若D为BC边上一点，，求DC的长度．
18．如图已知平面，，，，，，点，分别为，的中点.

(1)求证：//平面;
(2)求直线与平面所成角的大小.
19．在平面直角坐标系中，已知射线与射线，过点作直线l分别交两射线于点A、B（不同于原点O）.

（1）当取得最小值时，直线l的方程；
（2）求的最小值；
20．设，已知函数，．
（1）若是的零点，求不等式的解集：
（2）当时，，求的取值范围．
21．如图，正方体．

（1）求证：平面；
（2）求异面直线AC与所成角的大小．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角.
【详解】
由题得直线的斜率.
故选：D
本题主要考查直线的斜率和倾斜角的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
2、C
【解析】
若，则，
函数为奇函数，所以充分性成立；
反之，若函数是奇函数，则，
即，因此必要性也是成立，
所以“”是“函数是奇函数”充要条件，故选C.
3、B
【解析】
在三棱锥中，求得,又由底面，所以,在直角中，求得,进而得到三棱锥外接球的直径，得到，利用体积公式，即可求解.
【详解】
由题意知，在三棱锥中，，，，所以,
又由底面，所以,
在直角中，，所以,
根据球的性质，可得三棱锥外接球的直径为，即，
所以球的体积为，故选B.
本题主要考查了与球有关的组合体中球的体积的计算，其中解答中根据组合体的结构特征和球的性质，准确求解球的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
4、A
【解析】
先由可得,即可求得,再对平方处理,进而求解
【详解】
因为,所以,则,
所以,
则,
故选:A
本题考查向量的模,考查向量垂直的数量积表示,考查运算能力
5、C
【解析】
由等差数列的前n项和公式可得，恰好等于，再根据当时有可得m的值。
【详解】
，，.，，数列的公差不为零，，即.
本题考查等差数列的性质求和前n项和公式及等差数列下标和的性质，属于基础题。
6、D
【解析】
利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，对称性和周期性，求得函数的最小正周期为，由此得出结论．
【详解】
解： 将函数的图象向左平移个单位， 可得的图象，
根据所得到的函数图象关于轴对称， 可得，即，．
函数的最小正周期为，
则函数的最小正周期不可能是，
故选．
本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，对称性和周期性，属于基础题．
7、D
【解析】
设首项为，利用等比数列的求和公式与通项公式求解即可.
【详解】
设首项为，
因为等比数列的公比，
所以，
故选：D.
本题主要考查等比数列的求和公式与通项公式，熟练掌握基本公式是解题的关键，属于基础题.
8、D
【解析】
令，根据奇偶性定义可判断出为奇函数，从而可求得，进而求得结果.
【详解】
令

为奇函数
又
即
本题正确选项：
本题考查利用函数的奇偶性求解函数值的问题，关键是能够通过构造函数的方式得到奇函数，利用奇函数的定义可求得对应位置的函数值.
9、A
【解析】
角终边上一点，所以.
.故选A.
10、C
【解析】
an＝＝－()，前n项和Sn＝－[(1－)＋(－)]＋…＋()]＝－1＝24，故n＝624.故选C.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
由题意得，＝＝﹣＝，即可求的最小值．
【详解】
圆，得，则圆心C（1，2），半径R＝，
如图可得：＝＝﹣＝，
点是直线上，所以＝（）2＝，
∴的最小值是＝.
故答案为： ．

本题考查了向量的数量积、转化和数形结合的思想，点到直线的距离，属于中档题．
12、
【解析】
根据，得到的值，再由余弦定理，得到的值.
【详解】
因为，
所以，
在中，，，
由余弦定理得

.
所以.
故答案为：
本题考查二倍角的余弦公式，余弦定理解三角形，属于简单题.
13、.
【解析】
由题意推出球心O到四个顶点的距离相等，利用直角三角形BOE，求出球的半径，即可求出外接球的表面积．
【详解】
如图，

∵正三棱锥A﹣BCD中，底面边长为，底面外接圆半径为
侧棱长为2，BE=1,在三角形ABE中，根据勾股定理得到：高AE
得到球心O到四个顶点的距离相等，O点在AE上，
在直角三角形BOE中
BO＝R，EOR，BE＝1，
由BO2＝BE2+EO2，得R
∴外接球的半径为，表面积为：
故答案为．
涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.
14、1
【解析】
利用等差数列的通项公式即可得出．
【详解】
设等差数列公差为，∵，，∴，解得＝1．
故答案为：1．
本题考查了等差数列的通项公式，考查了计算能力，属于基础题．
15、2019
【解析】
根据二次方程根与系数的关系得出，再利用等差数列下标和的性质得到，然后利用等差数列求和公式可得出答案.
【详解】
由二次方程根与系数的关系可得，
由等差数列的性质得出，
因此，等差数列的前项的和为，
故答案为.
本题考查等差数列的性质与等差数列求和公式的应用，涉及二次方程根与系数的关系，解题的关键在于等差数列性质的应用，属于中等题.
16、①②④
【解析】
用正方体ABCD-A1B1C1D1实例说明A1D1与BC1在平面ABCD上的投影互相平行，AB1与BC1在平面ABCD上的投影互相垂直，BC1与DD1在平面ABCD上的投影是一条直线及其外一点．故①②④正确．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）；（Ⅱ）或
【解析】
（Ⅰ）由正弦定理得到，在结合三角形内角的性质即可的大小；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得的大小，在中，利用余弦定理即可求出边的长．
【详解】
（Ⅰ）在中，由正弦定理得，
所以．
因为，所以，所以．
（Ⅱ）在中，．
在中，由余弦定理，
得，即，
解得或．经检验，都符合题意．
本题主要考查正弦定理与余弦定理，属于基础题．
18、 (1)见证明；(2)
【解析】
（1）要证线面平行即证线线平行，本题连接A1B,
（2）取中点,连接证明平面，再求出，得到
．
【详解】
（1）如图，连接，在中，因为和分别是和的中点，
所以．又因为平面，所以平面；

取中点和中点，连接，，．
因为和分别为和，所以，，
故且，所以，且．
又因为平面，所以平面，
从而为直线与平面所成的角．
在中，可得，所以．
因为，，所以，，，
所以，，又由，有．
在中，可得
；
在中，，因此．
所以直线与平面所成角为．
求线面角一般有两个方法：
几何法做出线上一点到平面的高，求出高；或利用等体积法求高
向量法．
19、（1）；（2）6.
【解析】
（1）设，，利用三点共线可得的关系，计算出后由基本不等式求得最小值．从而得直线方程；
（2）由（1）中所设坐标计算出，利用基本不等式由（1）中所得关系可得的最小值，从而得的最小值．
【详解】
（1）设，，
因为A，B，M三点共线，所以与共线，
因为，，
所以，
得，即，
，
等号当且仅当时取得，
此时直线l的方程为.
（2）

因为由，
所以，当且仅当时取得等号，
所以当时，取最小值6.
本题考查直线方程的应用，考查三点共线的向量表示，考查用基本不等式求最值．用基本不等式求最值时要根据目标函数的特征采取不同的方法，如（1）中用“1”的代换配凑出基本不等式的条件求得最值，（2）直接由已知应用基本不等式求最值．
20、 (1) ； (2)
【解析】
（1）利用可求得，将不等式化为；分别在和两种情况下解不等式可求得结果；（2）当时，，可将变为在上恒成立；分类讨论得到解析式，从而可得单调性；分别在、、三种情况下，利用构造不等式，解不等式求得结果.
【详解】
（1）是的零点

由得：
当时，，即，解得：
当时，，即，解得：
的解集为：
（2）当时，，即：
时， 在上恒成立
①当时，恒成立 符合题意
②当时，
在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增
当时，，解得：
当时，，解集为
当时，
，解得：
综上所述，的取值范围为：
本题考查含绝对值不等式的求解、恒成立问题的求解；求解恒成立问题的关键是能够通过分类讨论的方式去掉绝对值符号，结合函数单调性，将问题转化为所求参数与函数最值之间的大小关系的比较问题，从而构造不等式求得结果.
21、（1）见解析（2）
【解析】
（1）证明，，即得证；（2）求出即得异面直线AC与所成角的大小．
【详解】
（1）证明：因为为正方体，所以ABCD为正方形．
所以，
又因为平面ABCD，平面ABCD，故，
又，平面,
所以平面．
（2）因为，
所以直线AC与所成的角或补角即为AC与的角，
又三角形为等边三角形，
所以，
即直线AC与所成的角为．
本题主要考查线面位置关系的证明，考查异面直线所成角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.