北京市第二十二中学2025年数学高一第二学期期末达标检测试题含解析.doc

北京市第二十二中学2025年数学高一第二学期期末达标检测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c依次成等差数列，，，依次成等比数列，则的形状为（　　）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．钝角三角形 D．直角边不相等的直角三角形
2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，己知A=60°，，则B=（ ）
A．45° B．135° C．45°或135° D．以上都不对
3．式子的值为( )
A． B．0 C．1 D．
4．已知幂函数过点，令，，记数列的前项和为，则时，的值是（ ）
A．10 B．120 C．130 D．140
5．对于数列，定义为数列的“好数”，已知某数列的“好数”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
7．不等式所表示的平面区域是( )
A． B．
C． D．
8．执行如图所示的程序框图，若输入的a，b的值分别为1，1，则输出的是（）

A．29 B．17 C．12 D．5
9．已知数列为等差数列，若，则（ ）
A． B． C． D．
10．若不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在平面直角坐标系中，圆的方程为．若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取值范围是______．
12．若，则______.
13．已知等差数列{an}的公差为d，且d≠0，其前n项和为Sn，若满足a1，a2，a5成等比数列，且S3＝9，则d＝_____，Sn＝_____.
14．已知腰长为的等腰直角△中，为斜边的中点，点为该平面内一动点，若，则的最小值 ________．
15．（理）已知函数，若对恒成立，则的取值范围为 ．
16．若函数图象各点的横坐标缩短为原来的一半，再向左平移个单位，得到的函数图象离原点最近的的对称中心是______．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．的内角的对边分别为，已知.
（1）求;
（2）若，求边上的高的长.
18．已知向量, 的夹角为, 且, .
(1) 求 ；
(2) 求 .
19．已知的三个顶点为.
（1）求过点且平行于的直线方程；
（2）求过点且与、距离相等的直线方程.
20．设两个非零向量，不共线，如果，，.
（1）求证：、、共线；
（2）试确定实数，使和共线.
21．已知函数.
(1)求的值；
(2)若，求的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
根据a，b，c依次成等差数列，，，依次成等比数列，利用等差、等比中项的性质可知，根据基本不等式求得a=c，判断出a=b=c，推出结果．
【详解】
由a，b，c依次成等差数列，有2b=a+c(1)
由，，成等比数列,有(2)，
由(1) (2)得，
又根据，当a=c时等号成立，
∴可得a=c，
∴，
综上可得a=b=c，
所以△ABC为等边三角形.
故选：A.
本题考查三角形的形状判断，结合等差、等比数列性质及基本不等式关系可得三边关系，从而求解，考查综合分析能力，属于中等题.
2、A
【解析】
利用正弦定理求出的值，再结合，得出，从而可得出的值。
【详解】
由正弦定理得，，
，则，所以，，故选：A。
本题考查利用正弦定理解三角形，要注意正弦定理所适用的基本情形，同时在求得角时，利用大边对大角定理或两角之和不超过得出合适的答案，考查计算能力，属于中等题。
3、D
【解析】
利用两角和的正弦公式可得原式为cos（），再由特殊角的三角函数值可得结果.
【详解】
cos（）＝coscos，故选D．
本题考查两角和的余弦公式，熟练掌握两角和与差的余弦公式以及特殊角的三角函数值是解题的关键，属于基础题.
4、B
【解析】
根据幂函数所过点求得幂函数解析式，由此求得的表达式，利用裂项求和法求得的表达式，解方程求得的值.
【详解】
设幂函数为，将代入得，所以.所以，所以，故，由解得，故选B.
本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查裂项求和法，考查方程的思想，属于基础题.
5、B
【解析】
分析：由题意首先求得的通项公式，然后结合等差数列的性质得到关于k的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.
详解：由题意,，
则，很明显
n⩾2时,，
两式作差可得：，
则an=2(n+1),对a1也成立，故an=2(n+1)，
则an−kn=(2−k)n+2，
则数列{an−kn}为等差数列，
故Sn⩽S6对任意的恒成立可化为：
a6−6k⩾0,a7−7k⩽0；
即，解得：.
实数的取值范围为.
本题选择B选项.
点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
6、D
【解析】
首先根据三角函数的定义，求得，之后应用三角函数的诱导公式，化简求得结果.
【详解】
由已知得，则.
故选D
该题考查的是有关三角函数的化简求值问题，涉及到的知识点有三角函数的定义，诱导公式，属于简单题目.
7、D
【解析】
根据二元一次不等式组表示平面区域进行判断即可．
【详解】
不等式组等价为或
则对应的平面区域为D，
故选：D．
本题主要考查二元一次不等式组表示平区域，比较基础．
8、B
【解析】
根据程序框图依次计算得到答案.
【详解】

结束，输出
故答案选B
本题考查了程序框图的计算，属于常考题型.
9、D
【解析】
由等差数列的性质可得a7=，而tan（a2+a12）=tan（2a7），代值由三角函数公式化简可得．
【详解】
∵数列{an}为等差数列且a1+a7+a13=4π，
∴a1+a7+a13=3a7=4π，解得a7=，
∴tan（a2+a12）=tan（2a7）
=tan=tan（3π﹣）=﹣tan=﹣
故选D．
本题考查等差数列的性质，涉及三角函数中特殊角的正切函数值的运算，属基础题．
10、D
【解析】
对分两种情况讨论分析得解.
【详解】
当时，不等式为，所以满足题意；
当时，，
综合得.
故选：D
本题主要考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
试题分析：记两个切点为，则由于，因此四边形是正方形，，圆标准方程为，，，于是圆心直线的距离不大于，
，解得.
考点：直线和圆的位置关系.
12、
【解析】
由诱导公式求解即可.
【详解】
因为
所以
故答案为：
本题主要考查了利用诱导公式化简求值，属于基础题.
13、2 n2.
【解析】
由已知列关于首项与公差的方程组，求解可得首项与公差，再由等差数列的前项和求解.
【详解】
由题意，有，即，解得，
所以.
故答案为：，.
本题考查等差数列的通项公式与前项和，考查等比数列的性质，属于基础题.
14、
【解析】

如图建立平面直角坐标系，
∴
，
当sin时，得到最小值为，故选．
15、
【解析】
试题分析：函数要使对恒成立，只要小于或等于的最小值即可，的最小值是0，即只需满足，解得.
考点：恒成立问题.
16、
【解析】
由二倍角公式化简函数式，然后由三角函数图象变换得新解析式，结合正弦函数性质得对称中心．
【详解】
由题意，经过图象变换后新函数解析式为，由，，，绝对值最小的是，因此所求对称中心为．
故答案为：．
本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数的性质，考查二倍角公式，掌握正弦函数性质是解题关键．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】
（1） 首先由正弦定理，我们可以将条件化成角度问题，再通过两角和差的正弦公式，即可以得出的正切值，又因为在三角形中，从而求出的值.
（2） 由第一问得出，我们能求出，而,从而求出.
【详解】
（1）根据题意
因为，所以
得，即
所以，又因为
所以.
（2）因为
所以
又的面积为:
可得:
解三角形题中，我们常根据边的齐次，会利用正弦定理进行边化角，然后通过恒等变形，变成角相关等量关系，作为面积问题，我们初中更多是用底与高的处理，高中能用正弦形式表示，两者统一一起，又能得出相应的等量关系.
18、（1）1；（2）
【解析】
（1）利用向量数量积的定义求解；
（2）先求模长的平方，再进行开方可得.
【详解】
（1）•=||||cos60°=2×1×=1；
（2）|+|2=（+）2
=+2•+
=4+2×1+1
=7.
所以|+|=.
本题主要考查平面向量数量积的定义及向量模长的求解，一般地，求解向量模长时，先把模长平方，化为数量积运算进行求解.
19、 (1)；(2).
【解析】
（1）先由两点写出直线BC的方程，再根据点斜式写出目标直线的方程；
（2）过点B且与直线AC平行的直线即为所求，注意垂直平分线不过点B，故舍去.
【详解】
（1）由、两点的坐标可得，
因为待求直线与直线BC平行，故其斜率为
由点斜式方程可得目标直线方程为
整理得.
（2）由、点的坐标可知，其中点坐标为
又直线AC没有斜率，故其垂直平分线为，此直线不经过点B，故垂直平分线舍去；
则满足题意的直线为与直线AC平行的直线，即.
综上所述，满足题意的直线方程为.
本题考查直线方程的求解，属基础题.
20、（1） 证明见解析 （2）
【解析】
(1) 要证、、共线，只要证明存在实数，使得成立即可.
(2) 利用向量共线的充要条件和两个非零向量与不共线即可求出.
【详解】
(1) 证明：由.
又，则.
所以.
所以、、共线.
（2）和共线，则存在实数，使得成立.
向量，不共线,所以，解得：
所以当时，使和共线.
本题考查利用向量共线的充要条件证明点共线和求参数的值.
21、（1）；（2）
【解析】
(1)将)化简为，代入从而求得结果.
(2) 由, 得,从而确定的范围.
【详解】
(1)

(2)由，得

解得，，即的取值范围是
本题主要考查三角函数的化简求值，不等式的求解，意在考查学生的运算能力和分析能力，难度不大.