广东省兴宁市水口中学2024-2025学年高一数学第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

广东省兴宁市水口中学2024-2025学年高一数学第二学期期末学业质量监测模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知点均在球上，，若三棱锥体积的最大值为，则球的体积为
A． B． C．32 D．
2．下列表达式正确的是（ ）
①， ②若，则
③若，则 ④若，则
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
3．计算( )
A． B． C． D．
4．在中，，，成等差数列，，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
5．函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于两点，且在轴上，则下列说法中正确的是

A．函数的最小正周期是
B．函数的图象关于点成中心对称
C．函数在单调递增
D．函数的图象向右平移后关于原点成中心对称
6．直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知，所在平面内一点P满足，则（ ）
A． B． C． D．
8．直线在轴上的截距为（ ）
A．2 B．﹣3 C．﹣2 D．3
9．直线与圆交于不同的两点，则（ ）
A． B． C． D．
10．若变量满足约束条件则的最大值为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的单调增区间是_________
12．若为锐角，，则__________．
13．在平面直角坐标系xOy中，已知直角中，直角顶点A在直线上，顶点B，C在圆上，则点A横坐标的取值范围是__________.
14．已知等差数列的前项和为，若，则=_______
15．函数的值域是______．
16．在中，，，则的值为________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图所示，已知的斜边长，现以斜边横在直线为轴旋转一周，得到旋转体．
（1）当时，求此旋转体的体积；
（2）比较当，时，两个旋转体表面积的大小．

18．正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，为中点.

(1)求证：平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
19．在△ABC中，AC=6，cosB=，C=.
(1)求AB的长；
(2)求△ABC的面积.
20．某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在，，，，，（单位：克）中，经统计的频率分布直方图如图所示．

（1）估计这组数据的平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）；
（2）现按分层抽样从质量为[200，250)，[250，300)的芒果中随机抽取5个，再从这5个中随机抽取2个，求这2个芒果都来自同一个质量区间的概率；
（3）某经销商来收购芒果，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出以下两种收购方案：
方案①：所有芒果以9元/千克收购；
方案②：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，对质量高于或等于250克的芒果以3元/个收购．
通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多．
参考数据：．
21．已知.
（1）若对任意的，不等式上恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
设是的外心，则三棱锥体积最大时，平面，球心在上．由此可计算球半径．
【详解】
如图，设是的外心，则三棱锥体积最大时，平面，球心
在上．
∵，∴，即，
∴．
又，∴，．
∵平面，∴，设球半径为，
则由得，解得，
∴球体积为．
故选A．

本题考查球的体积，关键是确定球心位置求出球的半径．
2、D
【解析】
根据基本不等式、不等式的性质即可
【详解】
对于①，.当，即时取，而，.即①不成立。
对于②若，则，若，显然不成立。
对于③若，则，则正确。
对于④若，则，则，正确。
所以选择D
本题主要考查了基本不等式以及不等式的性质，基本不等式一定要满足一正二定三相等。属于中等题。
3、A
【解析】
根据对数运算,即可求得答案.
【详解】

故选:A.
本题主要考查了对数运算,解题关键是掌握对数运算基础知识,考查了计算能力,属于基础题.
4、B
【解析】
根据等差中项以及余弦定理即可．
【详解】
因为，，成等差数列，得
为直角三角形为等腰直角三角形，所以选择B
本题主要考查了等差中项和余弦定理，若为等差数列，则，属于基础题．
5、B
【解析】
根据函数的图象，求得函数，再根据正弦型函数的性质，即可求解，得到答案．
【详解】
根据给定函数的图象，可得点的横坐标为，所以，解得，
所以的最小正周期， 不妨令，，由周期，所以，
又，所以，所以，
令，解得，当时，，即函数的一个对称中心为，即函数的图象关于点成中心对称．故选B．
本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得三角函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题．
6、B
【解析】
令求，利用求．
【详解】
令，由得：，所以
令，由得：，所以，故选B．
本题考查了直线的截距问题，直线方程，令解出，得到直线的纵截距．令解出，得到直线的横截距．
7、D
【解析】
由平面向量基本定理及单位向量可得点在的外角平分线上，且点在的外角平分线上，，，在中，由正弦定理得得解．
【详解】
因为
所以，
因为方向为外角平分线方向，
所以点在的外角平分线上，
同理，点在的外角平分线上，
，，
在中，由正弦定理得，
故选：．
本题考查了平面向量基本定理及单位向量，考查向量的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
8、B
【解析】
令,求出值则是截距。
【详解】
直线方程化为斜截式为：
，时，，
所以，在轴上的截距为－3。
轴上的截距：即令,求出值；同理轴上的截距：即令,求出值
9、C
【解析】
先求出圆心到直线的距离，然后根据圆的弦长公式求解可得所求．
【详解】
由题意得，圆的圆心为，半径为．
圆心到直线的距离为，
∴．
故选C．
求圆的弦长有两种方法：一是求出直线和圆的交点坐标，然后利用两点间的距离公式求解；二是利用几何法求解，即求出圆心到直线的距离，在由半径、弦心距和半弦长构成的直角三角形中运用勾股定理求解，此时不要忘了求出的是半弦长．在具体的求解中一般利用几何法，以减少运算、增强解题的直观性．
10、B
【解析】
先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值.
【详解】

作出约束条件，所对应的可行域（如图阴影部分）变形目标函数可得，平移直线可知，当直线经过点时，直线的截距最小，代值计算可得取最大值
故选B.
【点晴】
本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、，
【解析】
令，即可求得结果.
【详解】
令 ，
解得： ，
所以单调递增区间是，
故填：，
本题考查了型如：单调区间的求法，属于基础题型.
12、
【解析】
因为为锐角，，所以，
.
13、
【解析】
由题意画出图形，写出以原点为圆心，以为半径的圆的方程，与直线方程联立求得值，则答案可求．
【详解】
如图所示，当点往直线两边运动时，不断变小，
当点为直线上的定点时，直线与圆相切时，最大，
∴当为正方形，则，
则以为圆心，以为半径的圆的方程为．
联立，得．
解得或．
点横坐标的取值范围是．
故答案为：．

本题考查直线与圆位置关系的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意坐标法的应用.
14、
【解析】
利用等差数列前项和，可得；利用等差数列的性质可得，然后求解三角函数值即可．
【详解】
等差数列的前项和为，因为，所以；
又，所以．
故答案为：．
本题考查等差数列的前项和公式和等差数列的性质的应用，熟练掌握和若，则是解题的关键．
15、
【解析】
将函数化为 的形式，再计算值域。
【详解】
因为
所以
本题考查三角函数的值域，属于基础题。
16、
【解析】
由，得到，由三角形的内角和，求出，再由正弦定理求出的值.
【详解】
因为，，
所以，
所以，
在中，由正弦定理得
，
所以
.
本题考查正弦定理解三角形，属于简单题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）； （2）见解析.
【解析】
（1）根据旋转体的形状，可利用两个圆锥的体积和得到所求（2）分别计算两个圆锥的侧面积求和即可.
【详解】
沿斜边所在直线旋转一周即得到如图所示的旋转体．

∵，，∴，，，
∴．
（2）当，其表面积；
当，其表面积．通过计算知，，∴．
本题主要考查了旋转体的形成，圆锥的体积、面积求法，属于中档题.
18、 (1)证明见解析；(2)
【解析】
(1)连接交于,连接,再证明即可.
(2)根据(1)中的可知异面直线与所成角的为,再计算的各边长分析出为直角三角形,继而求得即可.
【详解】
(1) 连接交于,连接.则为中点
因为分别为中点,故为中位线,故.
又面,面.
故平面.

(2)由(1)有异面直线与所成角即为与所成角即,
设正四棱锥的各边长均为2,则,,
.因为,故.
则.即异面直线与所成角的余弦值为
本题主要考查了线面平行的证明以及异面角的余弦求解,需要根据题意找到中位线证明线面平行,同时要将异面角利用平行转换为平面角,利用三角形中的关系求解.属于基础题.
19、（1）（2）21
【解析】
（1）由，求得，再由正弦定理，即可求解.
(2)由（1）和，求得，再由三角形的面积公式，即可求解.
【详解】
（1）由题意，因为，且为三角形的内角，所以，
由正弦定理，可得，即，解得.
(2)由（1）和，
则，
由三角形的面积公式，可得.
本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
20、（1）255；（2）；（3）选择方案②获利多
【解析】
1）由频率分布直方图能求出这组数据的平均数．（2）利用分层抽样从这两个范围内抽取5个芒果，则质量在[200，250）内的芒果有2个，记为a1，a2，质量在[250，300）内的芒果有3个，记为b1，b2，b3，从抽取的5个芒果中抽取2个，利用列举法能求出这2个芒果都来自同一个质量区间的概率．（3）方案①收入22950元，方案②：低于250克的芒果的收入为8400元，不低于250克的芒果的收入为17400元，由此能求出选择方案②获利多．
【详解】
（1）由频率分布直方图知，各区间频率为0.07，0.15，0.20，0.30，0.25，0.03
这组数据的平均数
．
（2）利用分层抽样从这两个范围内抽取5个芒果，则质量在[200，250)内的芒果有2个，记为，，质量在[250，300)内的芒果有3个，记为，， ；
从抽取的5个芒果中抽取2个共有10种不同情况：，，，，，，，，，．
记事件为“这2个芒果都来自同一个质量区间”，则有4种不同组合：
，，，
从而，故这2个芒果都来自同一个质量区间的概率为.
（3）方案①收入：（元）；
方案②：低于250克的芒果收入为（元）；
不低于250克的芒果收入为（元）；
故方案②的收入为（元）．
由于，所以选择方案②获利多．
本题考查平均数、概率的求法，考查频率分布直方图、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
21、（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）参变分离后可得在上恒成立，利用基本不等式可求的最小值，从而得到参数的取值范围.
（2）原不等式可化为，就对应方程的两根的大小关系分类讨论可得不等式的解集.
【详解】
（1）对任意的，恒成立即恒成立.
因为当时，（当且仅当时等号成立），
所以即.
（2）不等式，
即，
①当即时，；
②当即时，；
③当即时，.
综上：当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为.
含参数的一元二次不等式，其一般的解法是：先考虑对应的二次函数的开口方向，再考虑其判别式的符号，其次在判别式大于零的条件下比较两根的大小，最后根据不等号的方向和开口方向得到不等式的解．一元二次不等式的恒成立问题，参变分离后可以转化为函数的最值进行讨论，后者可利用基本不等式来求.