2025届广东省湛江市大成中学数学高一下期末教学质量检测模拟试题含解析.doc

2025届广东省湛江市大成中学数学高一下期末教学质量检测模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．( )
A． B． C． D．
2．《张丘建算经》中如下问题：“今有马行转迟，次日减半，疾五日，行四百六十五里，问日行几何?”根据此问题写出如下程序框图，若输出，则输入m的值为（ ）

A．240 B．220 C．280 D．260
3．如图所示：在正方体中，设直线与平面所成角为，二面角的大小为，则为（ ）

A． B． C． D．
4．已知 ，，则( )
A． B． C． D．
5．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为
A． B． C． D．
6．函数的值域为
A．[1, ] B．[1,2] C．[ ,2] D．[
7．函数的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
8．要从已编号(1～50)的50枚最新研制的某型导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5枚导弹的编号可能是(　　)
A．5，10，15，20，25 B．3，13，23，33，43
C．1，2，3，4，5 D．2，4，8，16，32
9．截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．圆台
10．在平面直角坐标系xoy中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，若函数的图象恰好经过个格点，则称函数为阶格点函数.下列函数中为一阶格点函数的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知数列的通项公式,则_______.
12．若，则函数的值域为________.
13．已知三棱锥的底面是腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长都等于，则其外接球的体积为______.
14．设，，，若，则实数的值为______
15．已知，若数列满足，，则等于________
16．如图，已知扇形和，为的中点.若扇形的面积为1，则扇形的面积为______.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在中，的对边分别为，已知．
（1）求的值；
（2）若的面积为，，求的值．
18．在中，角的对边分别为，
且．
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积
19．已知数列的前项和为，满足，数列满足.
（1）求数列、的通项公式；
（2），求数列的前项和；
（3）对任意的正整数，是否存在正整数，使得？若存在，请求出的所有值；若不存在，请说明理由.
20．已知函数.
（1）用五点法作图，填表井作出的图像.
x

0

y

（2）求在，的最大值和最小值；
（3）若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围.
21．已知函数，，
（1）求的最小正周期；
（2）若，求的最大值和最小值，并写出相应的x的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
将根据诱导公式化为后，利用两角和的正弦公式可得.
【详解】

.
故选：A
本题考查了诱导公式，考查了两角和的正弦公式，属于基础题.
2、A
【解析】
根据程序框图,依次循环计算,可得输出的表达式.结合,由等比数列求和公式,即可求得的值.
【详解】
由程序框图可知,

此时输出.所以
即
由等比数列前n项和公式可得
解得
故选:A
本题考查了循环结构程序框图的应用,等比数列求和的应用,属于中档题.
3、A
【解析】
连结BC1，交B1C于O，连结A1O，则∠BA1O是直线A1B与平面A1DCB1所成角θ1，由BC⊥DC，B1C⊥DC，知∠BCB1是二面角A1﹣DC﹣A的大小θ2，由此能求出结果．
【详解】
连结BC1，交B1C于O，连结A1O，∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC1⊥B1C，BC1⊥DC，
∴BO⊥平面A1DCB1，∴∠BA1O是直线A1B与平面A1DCB1所成角θ1，
∵BO＝A1B，∴θ1＝30°；∵BC⊥DC，B1C⊥DC，∴∠BCB1是二面角A1﹣DC﹣A的大小θ2，
∵BB1＝BC，且BB1⊥BC，∴θ2＝45°．
故选A．

本题考查线面角、二面角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题．
4、C
【解析】
利用二倍角公式变形为，然后利用弦化切的思想求出的值，可得出角的值．
【详解】

，化简得，
，则，，因此，，故选C．
本题考查二倍角公式的应用，考查弦切互化思想的应用，考查给值求角的问题，着重考查学生对三角恒等变换思想的应用能力，属于中等题．
5、D
【解析】
分析：分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率.
详解：设2名男同学为，3名女同学为，
从以上5名同学中任选2人总共有共10种可能，
选中的2人都是女同学的情况共有共三种可能
则选中的2人都是女同学的概率为，
故选D.
点睛：应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件；第二步，分别求出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本事件个数；第三步，利用公式求出事件的概率.
6、D
【解析】
因为函数，平方求出的取值范围，再根据函数的性质求出的值域.
【详解】
函数定义域为： ，
因为，
又，
所以的值域为.
故选D.
本题考查函数的值域，此题也可用三角换元求解.求函数值域常用方法：单调性法，换元法，判别式法，反函数法，几何法，平方法等.
7、D
【解析】
由可求得所处的范围，进而得到函数最大值.
【详解】

的最大值为
故选：
本题考查函数最值的求解，关键是明确余弦型函数的值域，属于基础题.
8、B
【解析】
对导弹进行平均分组，根据系统抽样的基本原则可得结果.
【详解】
将枚导弹平均分为组，可知每组枚导弹
即分组为：，，，，
按照系统抽样原则可知每组抽取枚，且编号成公差为的等差数列
由此可确定正确
本题正确选项：
本题考查抽样方法中的系统抽样，属于基础题.
9、C
【解析】
试题分析：圆柱截面可能是矩形；圆锥截面可能是三角形；圆台截面可能是梯形，该几何体显然是球，故选C．
10、A
【解析】
根据题意得，我们逐个分析四个选项中函数的格点个数，即可得到答案．
【详解】
根据题意得：函数y＝sinx图象上只有（0，0）点横、纵坐标均为整数，故A为一阶格点函数；
函数没有横、纵坐标均为整数，故B为零阶格点函数；
函数y＝lgx的图象有（1，0），（10，1），（100，2），…无数个点横、纵坐标均为整数，故C为无穷阶格点函数；
函数y＝x2的图象有…（﹣1，0），（0，0），（1，1），…无数个点横、纵坐标均为整数，故D为无穷阶格点函数.
故选A．
本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，其中分析出函数的格点个数是解答本题的关键，属于中档题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
本题考查的是数列求和，关键是构造新数列，求和时先考虑比较特殊的前两项，剩余7项按照等差数列求和即可．
【详解】
令，
则所求式子为的前9项和．
其中，，
从第三项起，是一个以1为首项，4为公差的等差数列，
，
故答案为1．
本题考查的是数列求和，关键在于把所求式子转换成为等差数列的前项和，另外，带有绝对值的数列在求和时要注意里面的特殊项．
12、
【解析】
令，结合可得，本题转化为求二次函数在的值域，求解即可.
【详解】
，.
令，，则，
由二次函数的性质可知，当时，；
当时，.
故所求值域为.
本题考查了函数的值域，利用换元法是解决本题的一个方法.
13、
【解析】
先判断球心在上，再利用勾股定理得到半径，最后计算体积.
【详解】
三棱锥的底面是腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长都等于
为中点，为外心，连接，

平面
球心在上
设半径为
故答案为

本题考查了三棱锥外接球的体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
14、
【解析】
根据题意，可以求出，根据可得出，进行数量积的坐标运算即可求出的值.
【详解】

故答案为：
本题考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.
15、
【解析】
根据首项、递推公式，结合函数的解析式，求出的值，可以发现数列是周期数列，求出周期，利用数列的周期性可以求出的值.
【详解】

，所以数列是以5为周期的数列，
因为20能被5整除，所以.
本题考查了数列的周期性，考查了数学运算能力.
16、1
【解析】
设，在扇形中，利用扇形的面积公式可求，根据已知，在扇形中，利用扇形的面积公式即可计算得解．
【详解】
解：设，
扇形的面积为1，即：，
解得：，
为的中点，，
在扇形中，．
故答案为：1．
本题主要考查了扇形的面积公式的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（1）根据二倍角和诱导公式可得的值；（2）根据面积公式求，然后利用余弦定理求，最后根据正弦定理求的值.
【详解】
（1）,
，
所以原式整理为,
解得：（舍）或
,
;
（2），
解得，
根据余弦定理,
,
，
代入解得：,
.
本题考查了根据正余弦定理解三角形，属于简单题.
18、（1）；（2）.
【解析】
(1)根据正弦定理把题设等式中的边换成相应角的正弦,化简整理可求得,进而求得;(2)根据余弦定理得,结合求得的值,进而由三角形的面积公式求得面积.
【详解】
（1）根据正弦定理
,
又,．
（2）由余弦定理得:
,
代入得,故面积为
本题主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
19、（1），；（2）见解析；（3）存在，.
【解析】
（1）利用可得，从而可得为等比数列，故可得其通项公式.用累加法可求的通项.
（2）利用分组求和法可求，注意就的奇偶性分类讨论.
（3）根据的通项可得，故考虑的解可得满足条件的的值.
【详解】
（1）在数列中，当时，.
当时，由得，
因为，故，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列即.
在数列中，当时，有，
由累加法得，，
.
当时，也符合上式，所以.
(2) .
当为偶数时，
=；
当为奇数时，
=.
(3)对任意的正整数,有，
假设存在正整数，使得，则，
令，解得，又为正整数，
所以满足题意.
给定数列的递推关系，求数列的通项时，我们常需要对递推关系做变形构建新数列（新数列的通项容易求得），常见的递推关系、变形方法及求法如下：
（1），用累加法；
（2），可变形为，利用等比数列的通项公式可求的通项公式，两种方法都可以得到的通项公式.
（3）递推关系式中有与前项和，可利用实现与之间的相互转化.
另外，数列不等式恒成立与有解问题，可转化为数列的最值（或项的范围）来处理.
20、（1）见解析；（2）时，，时，；（3）.
【解析】
（1）当时，求出相应的x，然后填入表中；标出5个点，然后用一条光滑的曲线把它们连接起来；
（2）先根据x的范围求出的范围，再由正弦函数的性质可求出函数的最大值和最小值；
（3）不等式在上恒成立，转化为在上恒成立，进一步转化为m-2，m+2与函数在上的最值关系，列不等式后求得实数m的取值范围.
【详解】
（1）
x

0

y
1
3
1
-1
0

（2），，即，所以的最大值为3，最小值为2.
（3），，由（2）知，，，且，即m的取值范围为.
本题考查正弦函数的最值和恒成立问题，把不等式恒成立问题转化为含m的代数式与的最值关系的问题是解决本题的关键，属于中档题.
21、（1）（2）时最大值为2，时最小值
【解析】
（1）由二倍角公式和辅助角公式可得，再由周期公式，可得所求值（2）由的范围，可得的范围，由于余弦函数的图象和性质，可得所求最值．
【详解】
（1）函数
，
可得的最小正周期为；
（2），，可得，，
可得当即时，可得取得最大值2；
当，即时，可得取得最小值．
本题考查二倍角公式和两角差的余弦函数，考查余弦函数的图象和性质，考查运算能力，属于基础题．