天津市南开大学附属中学2024-2025学年数学高一下期末复习检测试题含解析.doc

天津市南开大学附属中学2024-2025学年数学高一下期末复习检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．某校高二理（1）班学习兴趣小组为了调查学生喜欢数学课的人数比例，设计了如下调查方法：
（1）在本校中随机抽取100名学生，并编号1，2，3，…，100；
（2）在箱内放置了两个黄球和三个红球，让抽取到的100名学生分别从箱中随机摸出一球，记住其颜色并放回；
（3）请下列两类学生站出来，一是摸到黄球且编号数为奇数的学生，二是摸到红球且不喜欢数学课的学生。
若共有32名学生站出来，那么请用统计的知识估计该校学生中喜欢数学课的人数比例大约是（ ）
A．80% B．85% C．90% D．92%
2．若直线y＝﹣x+1的倾斜角为，则
A． B．1 C． D．
3．函数（其中，，）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有的点（）

A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
4．直线与圆相交于M，N两点，若．则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．下列结论中错误的是（ ）
A．若，则 B．函数的最小值为2
C．函数的最小值为2 D．若，则函数
6．设，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若2Sn＝an+1﹣1（n∈N*），则首项a1为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．在，，，是边上的两个动点，且，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
9．已知各项均为正数的等比数列，若，则的值为（ ）
A．-4 B．4 C． D．0
10．在中，，，其面积为，则等于( )
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的最小值是 ．
12．若函数的图象与直线恰有两个不同交点，则的取值范围是________.
13．中，若，，，则的面积______.
14．已知直线l过定点,且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线l的方程为______.
15．已知数列满足，，，则__________．
16．三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则____________

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在某单位的职工食堂中，食堂每天以3元/个的价格从面包店购进面包，然后以5元/个的价格出售.如果当天卖不完，剩下的面包以1元/个的价格全部卖给饲料加工厂.根据以往统计资料，得到食堂每天面包需求量的频率分布直方图如下图所示.食堂某天购进了80个面包，以x（单位：个，）表示面包的需求量，T（单位：元）表示利润.

（1）求食堂面包需求量的平均数；
（2）求T关于x的函数解析式；
（3）根据直方图估计利润T不少于100元的概率.
18．设全集为实数集，，，.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，且，求实数的取值范围.
19．已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）求不等式的解集.
20．的内角的对边分别为，.
（1）求；
（2）若，的面积为，求.
21．已知cosα＝，sin(α－β)＝，且α，β∈(0，).求：
(1)cos(α－β)的值；
(2)β的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
先分别计算号数为奇数的概率、摸到黄球的概率、摸到红球的概率，从而可得摸到黄球且号数为奇数的学生，进而可得摸到红球且不喜欢数学课的学生人数，由此可得估计该校学生中喜欢数学课的人数比例．
【详解】
解：由题意，号数为奇数的概率为0.5，摸到黄球的概率为，摸到红球的概率为
那么按概率计算摸到黄球且号数为奇数的学生有个
共有32名学生站出来，则有12个摸到红球且不喜欢数学课的学生，
不喜欢数学课的学生有：，
喜欢数学课的有80个，
估计该校学生中喜欢数学课的人数比例大约是：．
故选：．
本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2、D
【解析】
由题意利用直线的方程先求出它的斜率，可得它的倾斜角α，再利用特殊角的余弦值求得cosα．
【详解】
∵直线y＝﹣x+1的斜率为﹣1，故它的倾斜角为α＝135°，
则cosα＝cos135°＝﹣cos45°，
故选：D．
本题主要考查直线的斜率和倾斜角，特殊角的余弦值，属于基础题．
3、C
【解析】
通过图象可以知道：最低点的纵坐标为，函数的图象与横轴的交点的坐标为，与之相邻的最低点的坐标为，这样可以求出和最小正周期，利用余弦型函数最小正周期公式，可以求出，把零点代入解析式中，可以求出，这样可以求出函数的解析式，利用诱导公式化为正弦型三角函数解析式形式，最后利用平移变换解析式的变化得出正确答案.
【详解】
由图象可知：函数的最低点的纵坐标为，函数的图象与横轴的交点的坐标为，与之相邻的最低点的坐标为，所以，设函数的最小正周期为，则有，而，把代入函数
解析式中，得
，
所以，而，显然由
向右平移个单位长度得到
的图象，故本题选C.
本题考查了由函数图象求余弦型函数解析式，考查了正弦型函数图象之间的平移变换规律.
4、A
【解析】
可通过将弦长转化为弦心距问题，结合点到直线距离公式和勾股定理进行求解
【详解】

如图所示，设弦中点为D，圆心C(3,2),
弦心距，又，
由勾股定理可得，
答案选A
圆与直线的位置关系解题思路常从两点入手：弦心距、勾股定理。处理过程中，直线需化成一般式
5、B
【解析】
根据均值不等式成立的条件逐项分析即可.
【详解】
对于A，由知，，所以，故选项A本身正确；对于B，，但由于在时不可能成立，所以不等式中的“”实际上取不到，故选项B本身错误；对于C，因为，当且仅当，即时，等号成立，故选项C本身正确；对于D，由知，，所以lnx+=-2，故选项D本身正确. 故选B.
本题主要考查了均值不等式及不等式取等号的条件，属于中档题.
6、B
【解析】
由同向不等式的可加性求解即可.
【详解】
解：因为，
所以，
又，，
所以，
故选：B.
本题考查了不等式的性质，属基础题.
7、A
【解析】
等比数列的公比设为，分别令，结合等比数列的定义和通项公式，解方程可得所求首项.
【详解】
等比数列的公比设为，由，
令，可得，，
两式相减可得，即，又
所以.
故选：A.
本题考查数列的递推式的运用，等比数列的定义和通项公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
8、A
【解析】
由题意，可以点为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点的坐标分别为，直线的方程为，不妨设点的坐标分别为，，不妨设，由，所以，整理得，则，即，所以当时，有最小值，当时，有最大值.故选A.

点睛：此题主要考查了向量数量积的坐标运算，以及直线方程和两点间距离的计算等方面的知识与技能，还有坐标法的运用等，属于中高档题，也是常考考点.根据题意，把运动（即的位置在变）中不变的因素（）找出来，通过坐标法建立合理的直角坐标系，把点的坐标表示出来，再通过向量的坐标运算，列出式子，讨论其最值，从而问题可得解.
9、B
【解析】
根据等比中项可得，再根据，即可求出结果.
【详解】
由等比中项可知，，又，所以.
故选:B.
本题主要考查了等比中项的性质，属于基础题.
10、A
【解析】
先由三角形面积公式求出，再由余弦定理得到，再由正弦定理，即可得出结果.
【详解】
因为在中，，，其面积为，
所以，因此，
所以，
所以，
由正弦定理可得：，
所以.
故选A
本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于基础题型.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、3
【解析】
试题分析：
考点：基本不等式.
12、
【解析】
作出函数的图像，根据图像可得答案.
【详解】
因为，所以，
所以，所以，
作出函数的图像，由图可知

故答案为：
本题考查了正弦型函数的图像，考查了数形结合思想，属于基础题.
13、
【解析】
利用三角形的面积公式可求出的面积的值.
【详解】
由三角形的面积公式可得.
故答案为：.
本题考查三角形面积的计算，熟练利用三角形的面积公式是计算的关键，考查计算能力，属于基础题.
14、或.
【解析】
设直线的方程为，利用已知列出方程，①和②，解方程即可求出直线方程
【详解】
设直线的方程为.
因为点在直线上，
所以①.
因为直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4,
所以②.
由①②可知或
解得或
故直线的方程为或，
即或.
本题考查截距式方程和直线与坐标轴形成的三角形面积问题，属于基础题
15、-2
【解析】
根据题干中所给的表达式得到数列的周期性，进而得到结果.
【详解】
根据题干表达式得到

可以得数列具有周期性，周期为3，故得到
故得到
故答案为：-2.
这个题目考查了求数列中的某些项，一般方法是求出数列通项，对于数列通项不容易求的题目，可以列出数列的一些项，得到数列的周期或者一些其它规律，进而得到数列中的项.
16、
【解析】
由已知设点到平面距离为，则点到平面距离为，
所以，
考点：几何体的体积.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）84；（2）；（3）
【解析】
（1）每个小矩形的面积乘以该组中间值，所得数据求和就是平均数；
（2）根据需求量分段表示函数关系；
（3）根据（1）利润T不少于100元时，即，即，求出其频率，即可估计概率.
【详解】
（1）估计食堂面包需求量的平均数为：
（2）解：由题意，当时，利润，
当时，利润，
即T关于x的函数解析式
（3）解：由题意，设利润T不少于100元为事件A，
由（1）知，利润T不少于100元时，即
，即，
由直方图可知，当时，
所求概率为
此题考查频率分布直方图，根据频率分布直方图求平均数，计算频率，以及建立函数模型解决实际问题，综合性比较强.
18、（1）；（2）
【解析】
（1）根据空集的概念与不等式的解集的概念求解；
（2）求出，再由子集概念列式求解．
【详解】
解：（1）由得，
（2）由已知得，由（1）可知则
解得，由（1）可得时，，从而得
本题考查空集的概念，集合的交集运算，以及集合的包含关系，属于基础题．
19、（1），；（2），
【解析】
（1）由余弦函数单调区间的求法，解不等式即可得解；
（2）解三角不等式即可得解.
【详解】
解：解：（1）令，，
解得，，
故的单调递增区间为，.
（2）因为，所以，即，
所以，，
解得，.
故不等式的解集为，.
本题考查了余弦函数单调区间的求法，重点考查了三角不等式的解法，属基础题.
20、（1）；（2）8.
【解析】
(1)首先利用正弦定理边化角，再利用余弦定理可得结果；
（2）利用面积公式和余弦定理可得结果.
【详解】
（1）因为，所以，
则，
因为，所以.
（2）因为的面积为，所以，即，
因为，所以，
所以.
本题主要考查解三角形的综合应用，意在考查学生的基础知识，转化能力及计算能力，难度不大.
21、（1）
【解析】
（1）利用同角的平方关系求cos(α－β)的值；（2）利用求出，再求的值.
【详解】
（1）因为，
所以cos(α－β).
（2）因为cosα＝，所以，
所以
，
因为β∈(0，)，所以.
本题主要考查同角的三角函数的关系求值，考查差角的余弦，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.