2025届广西省重点中学高一下数学期末统考试题含解析.doc

2025届广西省重点中学高一下数学期末统考试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知向量，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
2．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是（）
A． B． C． D．
3．已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．若数列{an}前8项的值各异，且an+8=an对任意n∈N*都成立，则下列数列中可取遍{an}前8项值的数列为 （ ）
A．{a2k+1} B．{a3k+1} C．{a4k+1} D．{a6k+1}
5．已知函数，且的图象向左平移个单位后所得的图象关于坐标原点对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．若，且为第四象限角，则的值等于
A． B． C． D．
7．已知函数的最大值为，最小值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．将函数的图像向右平衡个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最大值为 B．函数的最小正周期为
C．函数的图象关于直线对称 D．函数在区间上单调递增
9．若曲线表示椭圆，则的取值范围是(　　)
A． B． C． D．或
10．已知直线l和平面，若直线l在空间中任意放置，则在平面内总有直线和
A．垂直 B．平行 C．异面 D．相交
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．如图，曲线上的点与轴的正半轴上的点及原点构成一系列正三角形，，，设正三角形的边长为（记为），.数列的通项公式=______.

12．实数x、y满足，则的最大值为________.
13．在平面直角坐标系xOy中，已知直角中，直角顶点A在直线上，顶点B，C在圆上，则点A横坐标的取值范围是__________.
14．若等差数列和等比数列满足，，则_______.
15．已知的一个内角为，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_______________.
16．设实数满足，则的最小值为_____
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ，.
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式.
18．已知圆，过点作直线交圆于、两点．
（1）当经过圆心时，求直线的方程；
（2）当直线的倾斜角为时，求弦的长；
（3）求直线被圆截得的弦长时，求以线段为直径的圆的方程．
19．在锐角中，角，，的对边分别为，，，若.
（1)求角；
（2）若，则周长的取值范围.
20．已知.
（1）化简;
（2）若,且为第一象限角,求的值.
21．如图，在长方体中，，点为的中点．

（1）求证：直线平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求直线与平面的夹角．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
利用夹角公式计算出两个向量夹角的余弦值，进而求得两个向量的夹角.
【详解】
设两个向量的夹角为，则，故.
故选：D.
本小题主要考查两个向量夹角的计算，考查向量数量积和模的坐标表示，属于基础题.
2、A
【解析】
由题意知两直线互相垂直，根据直线分别求出定点与定点，再利用基本不等式，即可得出答案。
【详解】
直线过定点，
直线过定点,
又因直线与直线互相垂直，
即
即，当且仅当时取等号
故选A
本题考查直线位置关系，考查基本不等式，属于中档题。
3、C
【解析】
由题意得，因为，所以，
所以，故，故选C.
4、B
【解析】
数列是周期为8的数列；，
；
故选B
5、C
【解析】
由函数图像的平移变换得的图象向左平移个单位，得到，再结合三角函数的性质运算即可得解.
【详解】
解：，
将的图象向左平移个单位，得到，
因为平移后图象关于对称，所以，
可得，，，，
因为，
所以的最小值为，
故选C.
本题考查了函数图像的平移变换及三角函数的性质，属基础题.
6、D
【解析】
试题分析：∵为第四象限角，，∴，
．故选D．
考点：同角间的三角函数关系．
【点评】同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角三角函数间的相互关系，其主要应用于同角三角函数的求值和同角三角函数之间的化简和证明．在应用这些关系式子的时候就要注意公式成立的前提是角对应的三角函数要有意义．
7、B
【解析】
由解得为函数的定义域.令，消去得，图像为椭圆的一部分，如下图所示.，即直线，由图可知，截距在点处取得最小值，在与椭圆相切的点处取得最大值.而，故最小值为.联立，消去得，其判别式为零，即，解得（负根舍去），即，故.

【点睛】本题主要考查含有两个根号的函数怎样求最大值和最小值.先用换元法，将原函数改写成为一次函数的形式.然后利用和的关系，得到的可行域，本题中可行域为椭圆在第一象限的部分.然后利用，用截距的最大值和最小值来求函数的最大值和最小值.
8、C
【解析】
根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得到g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象性质，得出结论．
【详解】
将函数的图象向右平移个单位长度，可得y＝2sin（2x）的图象，
再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
得到函数g（x）＝2sin（x）的图象，
故g（x）的最大值为2，故A错误；
显然，g（x）的最小正周期为2π，故B错误；
当时，g（x）＝，是最小值，故函数g（x）的图象关于直线对称，故C正确；
在区间上，x∈[，]，函数g（x）＝2sin（x）单调递减，故D错误，
故选：C．
本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象性质应用，属于基础题．
9、D
【解析】
根据椭圆标准方程可得，解不等式组可得结果.
【详解】
曲线表示椭圆，
，
解得，且，
的取值范围是或，故选D．
本题主要考查椭圆的标准方程以及不等式的解法，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.
10、A
【解析】
本题可以从直线与平面的位置关系入手：直线与平面的位置关系可以分为三种：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行，在这三种情况下再讨论平面中的直线与已知直线的关系，通过比较可知：每种情况都有可能垂直．
【详解】
当直线l与平面相交时，
平面内的任意一条直线与直线l的关系只有两种：异面、相交，此时就不可能平行了，故B错．
当直线l与平面平行时，
平面内的任意一条直线与直线l的关系只有两种：异面、平行，此时就不可能相交了，故D错．
当直线a在平面内时，
平面内的任意一条直线与直线l的关系只有两种：平行、相交，此时就不可能异面了，故C错．
不管直线l与平面的位置关系相交、平行，还是在平面内，
都可以在平面内找到一条直线与直线垂直，
因为直线在异面与相交时都包括垂直的情况，故A正确．
故选:A．
本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力和思维能力．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
先得出直线的方程为，与曲线的方程联立得出的坐标，可得出，
并设，根据题中条件找出数列的递推关系式，结合递推关系式选择作差法求出数列的通项公式，即利用求出数列的通项公式。
【详解】
设数列的前项和为，则点的坐标为，
易知直线的方程为，
与曲线的方程联立，解得，；
当时，点、，所以，点，
直线的斜率为，则，即，
等式两边平方并整理得，可得，
以上两式相减得，即，
易知，所以，即，
所以，数列是等差数列，且首项为，公差也为，因此，.
故答案为：。
本题考查数列通项的求解，根据已知条件找出数列的递推关系是解题的关键，在求通项公式时需结合递推公式的结构选择合适的方法求解数列的通项公式，考查分析问题的能力，属于难题。
12、
【解析】
根据约束条件，画出可行域，将目标函数化为斜截式，找到其在轴截距的最大值，得到答案.
【详解】
由约束条件，
画出可行域，如图所示，
化目标函数为，
由图可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最大，
联立，解得，即，
所以.
故答案为：.

本题考查线性规划求最大值，属于简单题.
13、
【解析】
由题意画出图形，写出以原点为圆心，以为半径的圆的方程，与直线方程联立求得值，则答案可求．
【详解】
如图所示，当点往直线两边运动时，不断变小，
当点为直线上的定点时，直线与圆相切时，最大，
∴当为正方形，则，
则以为圆心，以为半径的圆的方程为．
联立，得．
解得或．
点横坐标的取值范围是．
故答案为：．

本题考查直线与圆位置关系的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意坐标法的应用.
14、
【解析】
设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题中条件求出、的值，进而求出和的值，由此可得出的值.
【详解】
设等差数列的公差和等比数列的公比分别为和，则，
求得，，那么，故答案为.
【考点】
等差数列和等比数列
等差、等比数列各有五个基本量，两组基本公式，而这两组公式可看作多元方程，利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）问题，因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题，所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.
15、
【解析】
试题分析：设三角形的三边长为a-4,b=a,c=a+4,(a<b<c),根据题意可知三边长构成公差为4的等差数列，可知a+c=2b ,C=120,，则由余弦定理，c= a+ b-2abcosC，,
三边长为6,10,14，,b= a+ c-2accosB,即（a+c）=a+c-2accosB, cosB=，sinB=可知S==.
考点：本试题主要考查了等差数列与解三角形的面积的求解的综合运用．
点评：解决该试题的关键是利用余弦定理来求解，以及边角关系的运用，正弦面积公式来求解．巧设变量a-4,a,a+4会简化运算．
16、1．
【解析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【详解】
解：由实数满足作出可行域如图，

由图形可知：．
令，化为，
由图可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最小，有最小值为1．
故答案为：1．
本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析；（2），．
【解析】
(1)可通过题意中的以及对两式进行相加和相减即可推导出数列是等比数列以及数列是等差数列；
(2)可通过(1)中的结果推导出数列以及数列的通项公式，然后利用数列以及数列的通项公式即可得出结果．
【详解】
(1)由题意可知，，，，
所以，即，
所以数列是首项为、公比为的等比数列，，
因为，
所以，数列是首项、公差为的等差数列，．
(2)由(1)可知，，，
所以，．
本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题．
18、（1）；（2） ；（3）.
【解析】
（1）求出圆的圆心，代入直线方程，求出直线的斜率，即可求直线l的方程；（2）当直线l的倾斜角为45°时，求出直线的斜率，然后求出直线的方程，利用点到直线的距离，半径，半弦长的关系求弦AB的长；（3）利用垂径公式，明确是的中点，进而得到以线段为直径的圆的方程．
【详解】
（）圆的方程可化为，圆心为，半径为．
当直线过圆心，时，，
∴直线的方程为，即．
（）因为直线的倾斜角为且过，所以直线的方程为，即．
圆心到直线的距离，
∴弦．
（）由于，而弦心距，
∴，∴是的中点．
故以线段为直径的圆圆心是，半径为．
故以线段为直径的圆的方程为．
19、（1）（2）
【解析】
（1）利用切化成弦和余弦定理对等式进行化简，得角的正弦值；
（2）利用成正弦定理把边化成角，从而实现的周长用角B的三角函数进行表示，即周长，再根据锐角三角形中角，求得函数值域.
【详解】
（1）由，得到，
又，所以.
（2），，设周长为，由正弦定理知，
由合分比定理知，
即，，
即

.
又因为为锐角三角形，所以.
，周长.
对运动变化问题，首先要明确变化的量是什么？或者选定什么量为变量？然后，利用函数与方程思想，把所求的目标表示成关于变量的函数，再研究函数性质进行问题求解.
20、（1）（2）
【解析】
（1）由条件利用诱导公式进行化简所给的式子,即可求得答案;
（2）由题意应用诱导公式,同角三角函数的基本关系求得的值,可得的值,即可求得答案.
【详解】
（1）

（2）
①
又②
解得:
为第一象限角

本题主要考查了三角函数化简求值问题,解题关键是熟练使用诱导公式和同名三角函数求值的解法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
21、 (1)见证明；(2)见证明；(3)
【解析】
（1）连接，交于，则为中点，连接OP，可证明，从而可证明直线平面；（2）先证明AC⊥BD，，可得到平面，然后结合平面，可知平面平面；（3）连接，由（2）知，平面平面，可知即为与平面的夹角，求解即可.
【详解】
（1）证明：连接 ，交于，则为中点，连接OP，
∵P为的中点，∴，
∵OP⊂平面，⊄平面，
∴平面；
（2）证明：长方体中，，底面是正方形，则AC⊥BD，
又⊥面，则．
∵⊂平面，⊂平面，，
∴平面．∵平面，
∴平面平面；
（3）解：连接，由（2）知，平面平面，

∴即为与平面的夹角，
在长方体中，
∵，
∴．
在中，．
∴直线与平面的夹角为．
本题考查了线面平行、面面垂直的证明，考查了线面角的求法，考查了学生的空间想象能力和计算求解能力，属于中档题.