2025年湖南省岳阳市一中高一下数学期末经典试题含解析.doc

2025年湖南省岳阳市一中高一下数学期末经典试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边（ ）
A．增加了一项
B．增加了两项，
C．增加了A中的一项，但又减少了另一项
D．增加了B中的两项，但又减少了另一项
2．若双曲线的渐近线与直线所围成的三角形面积为2，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，如果不等式的解集为，那么不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知圆心为C（6，5），且过点B（3，6）的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．函数的图象在内有且仅有一条对称轴，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
6．等差数列中，，且，且，是其前项和，则下列判断正确的是（ ）
A．、、均小于，、、、均大于
B．、、、均小于，、、均大于
C．、、、均小于，、、均大于
D．、、、均小于，、、均大于
7．已知函数，在下列函数图像中，不是函数的图像的是（ ）
A． B． C． D．
8．若正项数列的前项和为，满足，则（ ）
A． B． C． D．
9．在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
10．已知两点，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设，，，，则数列的通项公式= ．
12．点与点关于直线对称，则直线的方程为______．
13．函数的反函数为____________．
14．若角的终边经过点，则的值为________
15．设满足不等式组，则的最小值为_____.
16．在中,, 且,则 ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．△ABC中，a＝7，c＝3，且＝．
（1）求b；
（2）求∠A．
18．已知向量，，，设函数．
（1）求的最小正周期；
（2）求在上的最大值和最小值．
19．已知函数（其中，）的最小正周期为，且图象经过点
（1）求函数的解析式：
（2）求函数的单调递增区间．
20．年北京市进行人口抽样调查，随机抽取了某区居民人，记录他们的年龄，将数据分成组：，，，…，并整理得到如下频率分布直方图：

（Ⅰ）从该区中随机抽取一人，估计其年龄不小于的概率；
（Ⅱ）估计该区居民年龄的中位数（精确到）；
（Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该区居民的平均年龄.
21．在中，，且的边a，b，c所对的角分别为A，B，C.
（1）求的值；
（2）若，试求周长的最大值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
根据题意，分别写出和时，左边对应的式子，进而可得出结果.
【详解】
当时，左边，
当时，左边
，
所以，由递推到时，不等式左边增加了，；减少了；
故选：D
本题主要考查数学归纳法的应用，熟记数学归纳法，会求增量即可，属于基础题型.
2、A
【解析】
渐近线为，时，，所以，即，，，故选A．
3、A
【解析】
一元二次不等式大于零解集是，先判断二次项系数为负，再根据根与系数关系，可求出a,b的值，代入解析式，求解不等式.
【详解】
由的解集是，则
故有，即.

由
解得或
故不等式的解集是，
故选：A.
对于含参数的一元二次不等式需要先判断二次项系数的正负，再进一步求解参数.
4、A
【解析】
在知道圆心的情况下可设圆的标准方程为,然后根据圆过点B（3，6），代入方程可求出r的值，得到圆的方程.
【详解】
因为,
又因为圆心为C（6，5）,所以所求圆的方程为,
因为此圆过点B（3，6），
所以,所以，因而所求圆的方程为.
考点：圆的标准方程.
5、C
【解析】
结合正弦函数的基本性质,抓住只有一条对称轴,建立不等式,计算范围,即可.
【详解】
当时,,当,因为在只有一条对称轴,可知,解得,故选C.
考查了正弦函数的基本性质,关键抓住只有一条对称轴,建立不等式,计算范围,即可.
6、C
【解析】
由，且可得，，，，结合等差数列的求和公式即等差数列的性质即可判断.
【详解】
，且，，数列的前项都是负数，
，，，由等差数列的求和公式可得，
，
由公差可知，、、、均小于，、、均大于.
故选：C.
本题考查等差数列前项和符号的判断，解题时要充分结合等差数列下标和的性质以及等差数列求和公式进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
7、C
【解析】
根据幂函数图像不过第四象限选出选项.
【详解】
函数为幂函数，图像不过第四象限，所以C中函数图像不是函数的图像.
故选：C.
本小题主要考查幂函数图像不过第四象限，属于基础题.
8、A
【解析】
利用，化简，即可得到，
令，所以，,令，所以原式为数列的前1000项和，求和即可得到答案。
【详解】
当时，解得，由于为正项数列，故，由，所以，
由 ，可得①，所以②
②—①可得，化简可得
由于，所以，即，故为首项为1，公差为2的等差数列，则，
令，所以，
令
所以原式

故答案选A
本题主要考查数列通项公式与前项和的关系，以及利用裂项求数列的和，解题的关键是利用，求出数列的通项公式，有一定的综合性。
9、B
【解析】
由函数的解析式，再根据函数零点的存在定理可得函数的零点所在的区间．
【详解】
函数的零点所在的区间即函数与的交点所在区间.
由函数与在定义域上 只有一个交点，如图.
函数在定义域上只有一个零点.
又，
所以.
所以的零点在上
故选：B

本题主要考查求函数的零点所在区间，函数零点的存在定理，属于基础题．
10、C
【解析】
直接利用两点间距离公式求解即可．
【详解】
因为两点，，则，
故选．
本题主要考查向量的模，两点间距离公式的应用．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、2n+1
【解析】
由条件得，且，所以数列是首项为4，公比为2的等比数列，则．
12、
【解析】
根据和关于直线对称可得直线和直线垂直且中点在直线上，从而可求得直线的斜率，利用点斜式可得直线方程.
【详解】
由，得：且中点坐标为
和关于直线对称 且在上
的方程为：，即：
本题正确结果：
本题考查根据两点关于直线对称求解直线方程的问题，关键是明确两点关于直线对称则连线与对称轴垂直，且中点必在对称轴上，属于常考题型.
13、
【解析】
由原函数的解析式解出自变量x的解析式，再把x 和y交换位置，即可得到结果.
【详解】
解：记
∴
故反函数为：
本题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数的定义域是原函数的值域．
14、.
【解析】
根据三角函数的定义求出的值，然后利用反三角函数的定义得出的值.
【详解】
由三角函数的定义可得，，
故答案为.
本题考查三角函数的定义以及反三角函数的定义，解本题的关键就是利用三角函数的定义求出的值，考查计算能力，属于基础题.
15、-6
【解析】作出可行域，如图内部（含边界），作直线，当向下平移时， 减小，因此当过点时， 为最小值．

16、
【解析】
∵在△ABC中，∠ABC＝60°，且AB＝5，AC＝7，
∴由余弦定理，
可得：，
∴整理可得：，解得：BC＝8或−3（舍去）．考点：1、正弦定理及余弦定理；2、三角形内角和定理及两角和的余弦公式．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）∠A＝120°.
【解析】
由正弦定理求得b，由余弦定理求得cos∠A，进而求出∠A的值．
【详解】
（1）由正弦定理得＝可得，
＝＝，所以b＝＝1．
（2）由余弦定理得
cosA＝＝＝，又因为，
所以∠A＝120°．
本题考查正弦定理、余弦定理的应用，属基础题，根据正弦定理求出b的值，是解题的关键．
18、（1）（2）时，取最小值；时，取最大值1．
【解析】
试题分析：（1）根据向量数量积、二倍角公式及配角公式得，再根据正弦函数性质得．（2）先根据得，，再根据正弦函数性质得最大值和最小值．
试题解析：（1） ，
最小正周期为．
（2）当时，，
由图象可知时单调递增，时单调递减，
所以当，即时，取最小值；
当，即时，取最大值1．
19、 (1) ；(2) ，.
【解析】
（1）根据最小正周期可求得；代入点，结合的范围可求得，从而得到函数解析式；（2）令，解出的范围即为所求的单调递增区间.
【详解】
（1）最小正周期
过点
，，解得：，

的解析式为：
（2）由，得：，
的单调递增区间为：，
本题考查根据三角函数性质求解函数解析式、正弦型函数单调区间的求解；关键是能够采用整体对应的方式来利用正弦函数的最值和单调区间求解正弦型函数的解析式和单调区间.
20、（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）
【解析】
（I）计算之间的频率和，由此估计出年龄不小于的概率.（II）从左往右，计算出频率之和为的位置，由此估计中中位数.（III）用各组中点值乘以频率人后相加，求得居民平均年龄的估计值.
【详解】
解：（Ⅰ）设从该区中随机抽取一人，估计其年龄不小于60为事件,

所以该区中随机抽取一人，估计其年龄不小于60的概率为.
（Ⅱ）年龄在的累计频率为,
,
所以估计中位数为.
（Ⅲ）平均年龄为

本小题主要考查频率分布直方图的识别与应用，考查频率分布直方图估计中位数和平均数，考查运算求解能力，属于中档题.
21、（1）（2）
【解析】
（1）利用三角公式化简得到答案.
（2）利用余弦定理得到，再利用均值不等式得到，得到答案.
【详解】
（1）

原式
（2），

时等号成立.
周长的最大值为
本题考查了三角恒等变换，余弦定理，均值不等式，周长的最大值，意在考查学生解决问题的能力.