2025年上海市格致中学高一数学第二学期期末经典模拟试题含解析.doc

2025年上海市格致中学高一数学第二学期期末经典模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．下列结论正确的是（ ）
A． B．若，则
C．当且时， D．
2．下列函数中，最小值为2的函数是（ ）
A． B．
C． D．
3．在中，是的中点，是上的一点，且，若，则实数（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．已知函数在区间上恒成立，则实数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．若直线：与直线：平行 ，则的值为（ ）
A．1 B．1或2 C．-2 D．1或-2
6．已知等差数列：1，a1，a2,9；等比数列：－9，b1，b2，b3，－1.则b2(a2－a1)的值为(　　)
A．8 B．－8
C．±8 D．
7．在正方体中，、分别是棱和的中点，为上底面的中心，则直线与所成的角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
8．计算的值为（ ）
A． B． C． D．
9．给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率是(　　)
A． B． C． D．
10．若，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知一圆台的底面圆的半径分别为2和5，母线长为5，则圆台的高为_______.
12．已知直线过点，，则直线的倾斜角为______.
13．已知，，，则的最小值为________．
14．已知等边三角形的边长为2,点P在边上,点Q在边的延长线上,若,则的最小值为______.
15．平面⊥平面,,，，直线，则直线与的位置关系是___．
16．设奇函数的定义域为R，且对任意实数满足，若当∈[0,1]时，,则____.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）从某厂生产的一批零件1000个中抽取20个进行研究，应采用什么抽样方法？
（2）对（1）中的20个零件的直径进行测量，得到下列不完整的频率分布表：（单位：mm）
分组
频数
频率

2

6

8

合计
20
1
①完成频率分布表；
②画出其频率分布直方图.

18．已知数列的前项和，且，数列满足：对于任意，有.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的通项公式，若在数列的两项之间都按照如下规则插入一些数后，构成新数列：和两项之间插入个数，使这个数构成等差数列，求；
（3）若不等式成立的自然数恰有个，求正整数的值．
19．已知函数.
(1)求函数的最小正周期和单调递减区间;
(2)求函数在上的最大值和最小值.
20．已知圆以原点为圆心且与直线相切．
（1）求圆的方程；
（2）若直线与圆交于、两点，过、两点分别作直线的垂线交轴于、两点，求线段的长．
21．已知数列{}的首项.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)记，若，求最大正整数.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
利用不等式的性质进行分析，对错误的命题可以举反例说明．
【详解】
当时，A不正确；，则，B错误；当时，，，C错误；由不等式的性质正确．
故选：D.
本题考查不等式的性质，掌握不等式性质是解题关键．可通过反例说明命题错误．
2、C
【解析】
利用基本不等式及函数的单调性即可判断.
【详解】
解：对于．时，，故错误．
对于．，可得，，当且仅当，即时取等号，故最小值不可能为1，故错误．
对于，可得，，当且仅当时取等号，最小值为1．
对于.，函数在上单调递增，在上单调递减，，故不对；
故选：．
本题考查基本不等式，难点在于应用基本不等式时对“一正二定三等”条件的理解与灵活应用，属于中档题．
3、C
【解析】
选择以作为基底表示，根据变形成，即可求解.
【详解】

在中，根据平行四边形法则，有，
是的中点，
，
由题：，即，
，
，
所以，所以
解得：
故选：C
此题考查平面向量的线性运算，根据平面向量基本定理处理系数关系.
4、D
【解析】
直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形为正弦型函数，进一步利用恒成立问题的应用求出结果.
【详解】
函数,
由因为，所以，
即，
当时，函数的最大值为，
由于在区间上恒成立，
故，实数的最小值是.
故选：D
本题考查了两角和的余弦公式、辅助角公式以及三角函数的最值，需熟记公式与三角函数的性质，同时考查了不等式恒成立问题，属于基出题
5、A
【解析】
试题分析：因为直线：与直线：平行 ，所以或-2，又时两直线重合，所以．
考点：两条直线平行的条件．
点评：此题是易错题，容易选C，其原因是忽略了两条直线重合的验证．
6、B
【解析】
a2－a1＝d＝，
又＝b1b3＝(－9)×(－1)＝9，
因为b2与－9，－1同号，所以b2＝－3.
所以b2(a2－a1)＝－8.
本题选择B选项.
7、A
【解析】
先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．
【详解】
解：先画出图形，将平移到，为直线与所成的角，
设正方体的边长为，，，，
，
，
故选：．

本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及余弦定理的应用，属于基础题．
8、D
【解析】
直接由二倍角的余弦公式，即可得解.
【详解】
由二倍角公式得：，
故选D.
本题考查了二倍角的余弦公式，属于基础题.
9、B
【解析】
根据题意，打电话的顺序是任意的，打电话给甲乙丙三人的概率都相等均为，从而可得到正确的选项．
【详解】
∵打电话的顺序是任意的，打电话给甲、乙、丙三人的概率都相等，
∴第一个打电话给甲的概率为．
故选：B．
此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
10、D
【解析】
利用不等式的性质、对数、指数函数的图像和性质，对每一个选项逐一分析判断得解.
【详解】
对于选项A, 不一定成立，如a=1＞b=-2,但是，所以该选项是错误的；
对于选项B, 所以该选项是错误的；
对于选项C,ab符号不确定，所以不一定成立，所以该选项是错误的；
对于选项D, 因为a>b,所以，所以该选项是正确的.
故选D
本题主要考查不等式的性质，考查对数、指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、4
【解析】
根据圆台轴截面等腰梯形计算．
【详解】
，
设圆高为，由圆台轴截面是等腰梯形得：，即，，
故答案为：4.
本题考查求圆台的高，解题关键是掌握圆台的性质，圆台轴截面是等腰梯形．
12、
【解析】
根据两点求斜率的公式求得直线的斜率，然后求得直线的倾斜角.
【详解】
依题意，故直线的倾斜角为.
本小题主要考查两点求直线斜率的公式，考查直线斜率和倾斜角的对应关系，属于基础题.
13、1
【解析】
由题意整体代入可得，由基本不等式可得．
【详解】
由，，，
则．
当且仅当＝，即a＝3且b＝时，取得最小值1．
故答案为：1．
本题考查基本不等式求最值，整体法并凑出可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属于基础题．
14、
【解析】
以为轴建立平面直角坐标系，设，用t表示，求其最小值即可得到本题答案.
【详解】
过点A作BC的垂线，垂足为O，以为轴建立平面直角坐标系.
作PM垂直BC交于点M，QH垂直y轴交于点H，CN垂直HQ交于点N.
设，则，故有

所以，，当时，取最小值.

故答案为：
本题主要考查利用建立平面直角坐标系解决向量的取值范围问题.
15、
【解析】
利用面面垂直的性质定理得到平面，又直线，利用线面垂直性质定理得.
【详解】
在长方体中，设平面为平面，平面为平面，
直线为直线，由于，，由面面垂直的性质定理可得：平面，
因为，由线面垂直的性质定理，可得.

空间中点、线、面的位置关系问题，一般是利用线面平行或垂直的判定定理或性质定理进行求解.
16、
【解析】
根据得到周期，再利用周期以及奇函数将自变量转变到给定区间计算函数值.
【详解】
因为，所以，所以，又因为，所以，则，
故，又因为是奇函数，
所以，则.
（1）形如的函数是周期函数，周期；
（2）若要根据奇偶性求解分段函数的表达式，记住一个原则：“用未知表示已知”，也就是将自变量变形，利用已知范围和解析式求解.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）系统抽样；（2）①分布表见解析；②直方图见解析.
【解析】
（1）因需要研究的个体很多，且差异不明显，适宜用系统抽样.
（2）①直接计算频率即可.
②根据①中计算出的数据，用每一组的频率/组距作为纵坐标，即可做出频率分布直方图.
【详解】
某厂生产的一批零件1000个, 差异不明显, 且因需要研究的个体很多.
所以适宜用系统抽样.
（2）①频率分布表为
分组
频数
频率

2
0.1

6
0.3

8
0.4

4
0.2
合计
20
1
②频率分布直方图为.
分组
频数
频率
频率/组距

2
0.1
0.02

6
0.3
0.06

8
0.4
0.08

4
0.2
0.04
合计
20
1

本题考查频率分布表和根据频率分布表绘制频率分布直方图，属于基础题.
18、（1）；，；（3）.
【解析】
（1）令求出，然后令，由得出，两式相减可得出数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求出数列的通项公式；
（2）令可计算出，再令，由可得出，两式相减求出，求出，再检验是否满足的表达式，由此可得出数列的通项公式，求出，
由，以及可得出的值；
（3）化简可得，分类讨论，当、时，不等式成立，当时，，利用判断数列的单调性，得出该数列的最大项，可知满足不等式，且和不满足该不等式，由此可得出实数的取值范围，进而求出正整数的值.
【详解】
（1）对任意的，.
当时，，解得；
当时，由得出，两式相减得，
化简得，即，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
因此，；
（2）对于任意，有.
当时，，；
当时，由，
可得，
上述两式相减得，
.
适合上式，因此，.
由于和两项之间插入个数，使得这个数成等差数列，这个数列的公差为.
，且，
所以，；
（3）由，得.
当、，该不等式显然成立；
当时，，由，得，设，
，
当时，，即
当时，，即，则.
所以，数列的最大项为，又，.
由题意可中，满足不等式，和不满足不等式.
，则，因此正整数的值为.
本题考查利用求数列的通项公式、等差数列定义的应用，同时也考查了数列不等式的求解，涉及数列单调性的应用，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.
19、（1）；（2）5； -2
【解析】
（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简即可
（2）由求出的范围，再根据函数图像求最值即可
【详解】
（1），
，令，
即单减区间为；
（2）由，当时，的最小值为：-2；
当时，的最大值为：5
本题考查三角函数解析式的化简，函数基本性质的求解（周期、单调性、在给定区间的最值），属于中档题
20、（1）；（2）.
【解析】
（1）计算原点到直线的距离，作为圆的半径，从而可得出圆的方程；
（2）计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可计算出，过点作，垂足为，求出直线的倾斜角为，再利用锐角三角函数的定义可求出.
【详解】
（1）把直线化为一般式，即，
到直线的距离为，圆的半径为，
圆的方程为；
（2）直线的一般方程为，
点到直线的距离为，
圆的半径为，则，
过点作，垂足为，．
又的倾斜角为，，
．
因此，线段的长为．

本题考查圆的方程的求解，同时也考查了直线截圆所得弦长的计算，涉及了锐角三角函数的定义的应用，考查计算能力，属于中等题.
21、（1）详见解析；（2）99.
【解析】
（1）利用数列递推公式取倒数，变形可得，从而可证数列为等比数列；（2）确定数列的通项，利用等比数列的求和公式求和，即可求最大的正整数．
【详解】
解（1）∵，∴，
∵，∴
∴数列为等比数列.
（2）由（1）可求得，∴.
∴.
因为在上单调递增，又因为，
∴
本题考查数列递推公式，考查等比数列的证明，考查等比数列的求和公式，属于中档题．