2024-2025学年河南省新乡市新乡市一中数学高一下期末综合测试模拟试题含解析.doc

2024-2025学年河南省新乡市新乡市一中数学高一下期末综合测试模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．某校高二理（1）班学习兴趣小组为了调查学生喜欢数学课的人数比例，设计了如下调查方法：
（1）在本校中随机抽取100名学生，并编号1，2，3，…，100；
（2）在箱内放置了两个黄球和三个红球，让抽取到的100名学生分别从箱中随机摸出一球，记住其颜色并放回；
（3）请下列两类学生站出来，一是摸到黄球且编号数为奇数的学生，二是摸到红球且不喜欢数学课的学生。
若共有32名学生站出来，那么请用统计的知识估计该校学生中喜欢数学课的人数比例大约是（ ）
A．80% B．85% C．90% D．92%
2．已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( )
A． B．
C． D．
3．已知变量和满足关系，变量与正相关． 下列结论中正确的是（ ）
A．与负相关，与负相关
B．与正相关，与正相关
C．与正相关，与负相关
D．与负相关，与正相关
4．下列正确的是(　　)
A．若a，b∈R，则
B．若x<0，则x＋≥－2＝－4
C．若ab≠0，则
D．若x<0，则2x＋2－x>2
5．已知直线与圆交于M，N两点，若，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知等差数列的前项和为，若，则的值为
A．10 B．15 C．25 D．30
7．记复数的虚部为，已知满足，则为（　　）
A． B． C．2 D．
8．在平面直角坐标系中，，分别是轴和轴上的动点，若直线恰好与以为直径的圆相切，则圆面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．下列结论正确的是（ ）．
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，则
10．若圆上有且仅有两点到直线的距离等于1，则实数r的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知向量，且，则_______．
12．对于下列数排成的数阵：

它的第10行所有数的和为 ________
13．设数列是首项为0的递增数列，函数满足：对于任意的实数，总有两个不同的根，则的通项公式是________．
14．终边在轴上的角的集合是_____________________．
15．设的内角，，所对的边分别为，，.已知，，如果解此三角形有且只有两个解，则的取值范围是_____．
16．已知函数的定义域为，则实数的取值范围为_____．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC=2，点M，N分别是边AB，CD上的点，且MN∥BC，.若将矩形ABCD沿MN折起使其形成60°的二面角(如图)．

(1)求证:平面CND⊥平面AMND；
(2)求直线MC与平面AMND所成角的正弦值.
18．如图，在多面体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为梯形，且，，．

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
19．已知直线和.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值.
20．已知等比数列的公比是的等差中项，数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
21．已知，，且.
（1）求函数的最小正周期；
（2）若用和分别表示函数W的最大值和最小值.当时，求的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
先分别计算号数为奇数的概率、摸到黄球的概率、摸到红球的概率，从而可得摸到黄球且号数为奇数的学生，进而可得摸到红球且不喜欢数学课的学生人数，由此可得估计该校学生中喜欢数学课的人数比例．
【详解】
解：由题意，号数为奇数的概率为0.5，摸到黄球的概率为，摸到红球的概率为
那么按概率计算摸到黄球且号数为奇数的学生有个
共有32名学生站出来，则有12个摸到红球且不喜欢数学课的学生，
不喜欢数学课的学生有：，
喜欢数学课的有80个，
估计该校学生中喜欢数学课的人数比例大约是：．
故选：．
本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2、A
【解析】
试题分析：因为与正相关，排除选项C、D，又因为线性回归方程恒过样本点的中心，故排除选项B；故选A．
考点：线性回归直线.
3、A
【解析】
因为变量和满足关系，一次项系数为，所以与负相关；变量与正相关，设，所以，得到 ，一次项系数小于零，所以与负相关，故选A.
4、D
【解析】
对于A，当ab<0时不成立；对于B，若x<0，则x＋＝－ ≤－2 ＝－4，当且仅当x＝－2时，等号成立，因此B选项不成立；对于C，取a＝－1，b＝－2，＋＝－<a＋b＝－3，所以C选项不成立；对于D，若x<0，则2x＋2－x>2成立．
故选D.
5、C
【解析】
先求得圆心到直线的距离，再根据圆的弦长公式求解.
【详解】
圆心到直线的距离为：
由圆的弦长公式：
得
解得
故选：C
本题主要考查了直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
6、B
【解析】
直接利用等差数列的性质求出结果．
【详解】
等差数列{an}的前n项和为Sn，若S17＝85，
则：85，
解得：a9＝5，
所以：a7+a9+a11＝3a9＝1．
故选：B．
本题考查的知识要点：等差数列的通项公式的应用，及性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．
7、A
【解析】
根据复数除法运算求得，从而可得虚部.
【详解】
由得：
本题正确选项：
本题考查复数虚部的求解问题，关键是通过复数除法运算得到的形式.
8、A
【解析】
根据题意画出图像，数形结合，根据圆面积最小的条件转化为直径等于原点到直线的距离，再求解圆面积即可.
【详解】
根据题意画出图像如图所示，

圆心为线段中点，
为直角三角形，所以，
作直线且交于点，
直线与圆相切，所以，
要使圆面积的最小，即使半径最小，
由图知，当点、、共线时，圆的半径最小，
此时原点到直线的距离为，
由点到直线的距离公式： ，解得，
所以圆面积的最小值.
故选：A
本题主要考查点到直线距离公式和圆切线的应用，考查学生分析转化能力和数形结合的思想，属于中档题.
9、C
【解析】
分析：根据不等式性质逐一分析即可.
详解：A. 若，则 ,因为不知道c的符号，故错误；B. 若，则
可令a=-1，b=-2，则结论错误；D. 若，则，令a=1，b=2，可得结论错误，故选C.
点睛：考查不等式的基本性质，做此类题型最好的方法就是举例子注意排除即可.属于基础题.
10、B
【解析】
因为圆心(5,1)到直线4x＋3y＋2＝0的距离为＝5，又圆上有且仅有两点到直线4x＋3y＋2＝0的距离为1，则4<r<6.选B.
点睛：判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
先由向量共线，求出，再由向量模的坐标表示，即可得出结果.
【详解】
因为，且，
所以，解得，
所以，因此.
故答案为
本题主要考查求向量的模，熟记向量共线的坐标表示，以及向量模的坐标表示即可，属于基础题型.
12、
【解析】
由题意得第10行的第一个数的绝对值为，第10行的最后一个数的绝对值为，再根据奇数为负数，偶数为正数，得到第10行的各个数，由此能求出第10行所有数的和．
【详解】
第1行1个数，第2行2个数，则第9行9个数，故第10行的第一个数的绝对值为，
第10行的最后一个数的绝对值为，
且奇数为负数，偶数为正数，
故第10行所有数的和为
，
故答案为：．
本题以数阵为背景，观察数列中项的特点，求数列通项和前项和，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时要注意等差数列性质的合理运用．
13、
【解析】
利用三角函数的图象与性质、诱导公式和数列的递推公式，可得，再利用“累加”法和等差数列的前n项和公式，即可求解．
【详解】
由题意，因为，当时，，
又因为对任意的实数，总有两个不同的根，所以，
所以，
又，
对任意的实数，总有两个不同的根，所以，
又，
对任意的实数，总有两个不同的根，所以，
由此可得，
所以，
所以．
故答案为：．
本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，以及诱导公式，数列的递推关系式和“累加”方法等知识的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
14、
【解析】
由于终边在y轴的非负半轴上的角的集合为
而终边在y轴的非正半轴上的角的集合为，
终边在轴上的角的集合是，
所以，故答案为.
15、
【解析】
由余弦定理写出c与x的等式，再由有两个正解，解出x的取值范围
【详解】
根据余弦定理： 代入数据并整理有，有且仅有两个解，记为 则：

本题主要考查余弦定理以及韦达定理，属于中档题．
16、
【解析】
根据对数的真数对于0，再结合不等式即可解决．
【详解】
函数的定义域为等价于对于任意的实数，恒成立
当时成立
当时，等价于
综上可得
本题主要考查了函数的定义域以及不等式恒成立的问题，函数的定义域常考的由
1、，2、，3、．属于基础题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析；（2）.
【解析】
（1）转化为证明MN⊥平面CND；（2）过点C作CH⊥ND与点H，则MH是MC在平面AMND内的射影，所以∠CMH即直线MC与平面AMND所成的角.
【详解】
（1）∵在矩形ABCD中，MN∥BC，
∴MN⊥ND，MN⊥NC，
又∵ND，NC是平面CND内的两条相交直线，
∴MN⊥平面CND，又MN平面AMND，
∴平面CND⊥平面AMND.
（2）由（1）知∠CND＝60°，
又，AB＝3，BC=2，MN∥BC，
所以CN＝1，DN=2，
由余弦定理得 ，
所以∠DCN＝90°，
过点C作CH⊥ND与点H，连接MH，
则∠CMH即直线MC与平面AMND所成的角，
又，
所以
故直线MC与平面AMND所成角的正弦值为.
本题考查面面平行证明和线面角. 面面平行证明要转化为线面平行证明；求线面角关键在于作出直线在平面内的射影.
18、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析
【解析】
（Ⅰ）转化为证明；（Ⅱ）转化为证明，；（Ⅲ）根据线面平行的性质定理.
【详解】
（Ⅰ）因为四边形为正方形，所以，由于平面，
平面，所以平面.
（Ⅱ）因为四边形为正方形，
所以.平面平面，
平面平面，
所以平面.所以.
取中点，连接.由，，，
可得四边形为正方形.
所以.所以.所以.
因为，所以平面.
（Ⅲ）存在，当为的中点时，平面，此时.
证明如下：
连接交于点，由于四边形为正方形，
所以是的中点，同时也是的中点.
因为，又四边形为正方形，
所以，
连接，所以四边形为平行四边形.
所以.又因为平面，平面，
所以平面.

本题考查空间线面的关系.线面关系的证明要紧扣判定定理，转化为线线关系的证明.
19、（1）；（2）.
【解析】
（1）借助两直线垂直的充要条件建立方程求解；（2）借助两直线平行充要条件建立方程求解.
【详解】
（1）若，则.
（2）若，则或2.
经检验，时，与重合，时，符合条件，∴.
【点晴】
解析几何是运用代数的方法和知识解决几何问题一门学科,是数形结合的典范,也是高中数学的重要内容和高考的热点内容.解答本题时充分运用和借助题设条件中的垂直和平行条件,建立了含参数的直线的方程,然后再运用已知条件进行分析求解,从而将问题进行转化和化归,进而使问题获解.如本题的第一问中求参数的值时，是直接运用垂直的充要条件建立方程,这是方程思想的运用；再如第二问中求参数的值时也是运用了两直线平行的条件,但要注意的是这个条件不是两直线平行的充要条件,所以一定代回进行检验,这也是学生经常会出现错误的地方.
20、（1），；（2）.
【解析】
（1）先由题意，列出方程组，求出首项与公比，即可得出通项公式；
（2）根据题意，求出，再由（1）的结果，得到，利用错位相减法，即可求出结果.
【详解】
（1）因为等比数列的公比，，是的等差中项，
所以，即，解得，
因此，；
（2）因为数列的前项和为，
所以，（）
又当也满足上式，所以，；
由（1），；
所以其前项和①
因此②
①式减去②式可得： ，
因此.
本题主要考查等差数列与等比数列的综合应用，以及错位相减法求数列的和，熟记等差数列与等比数列的通项公式以及求和公式即可，属于常考题型.
21、（1）；（2）.
【解析】
（1）根据向量数量积的计算公式和三角恒等变换公式可将化简为，进而求得函数的最小正周期；
（2）由可求得的范围，进而可求得的最大值和最小值，最后得解.
【详解】
（1）

∴；
（2），，，
∴当时，，
当时，，∴.
本题考查向量数量积的计算公式和三角恒等变换公式，考查三角函数的单调性和周期性，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.