江苏省扬州市2025年数学高一第二学期期末调研模拟试题含解析.doc

江苏省扬州市2025年数学高一第二学期期末调研模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．下列命题中不正确的是（ ）
A．平面∥平面，一条直线平行于平面，则一定平行于平面
B．平面∥平面，则内的任意一条直线都平行于平面
C．一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行
D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线
2．已知向量，，则在方向上的投影为（）
A． B． C． D．
3．若，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．在区间内任取一个实数，则此数大于2的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．对于空间中的两条直线，和一个平面，下列结论正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
6．已知，则值为
A． B． C． D．
7．在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 （　　）
A． B． C． D．
8．如图所示，在正四棱锥中，分别是，，的中点，动点在线段上运动时，下列结论不恒成立的是( ).

A．与异面 B．面 C． D．
9．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数的部分图象如图所示，则的值为( )

A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．对于下列数排成的数阵：

它的第10行所有数的和为 ________
12．已知正四棱锥的底面边长为，高为，则该四棱锥的侧面积是______________
13．一个几何体的三视图如图所示（单位:m）,则该几何体的体积为 .

14．已知，则____．
15．用数学归纳法证明“”时，由不等式成立，推证时，则不等式左边增加的项数共__项
16．设是数列的前项和，且，，则__________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图所示，平面平面，四边形为矩形，，点为的中点.

(1)若，求三棱锥的体积；
(2)点为上任意一点，在线段上是否存在点，使得?若存在，确定点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.
18．直线经过点，且与圆相交与两点，截得的弦长为，求的方程.
19．在公差不为零的等差数列中，成等比数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，设数列的前项和，求证.
20．如图所示，在平面四边形中，为正三角形.

（1）在中，角的对边分别为，若，求角的大小；
（2）求面积的最大值.
21．设函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若对于，恒成立，求的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
逐一考查所给的选项是否正确即可.
【详解】
逐一考查所给的选项：
A. 平面∥平面，一条直线平行于平面，可能a在平面内或与相交，不一定平行于平面，题中说法错误；
B. 由面面平行的定义可知：若平面∥平面，则内的任意一条直线都平行于平面，题中说法正确；
C. 由面面平行的判定定理可得：若一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行，题中说法正确；
D. 分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线，不可能相交，题中说法正确.
本题选择A选项.
本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：
（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；
（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.
2、D
【解析】
直接利用向量的数量积和向量的投影的定义，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，向量，，
则在方向上的投影为：．
故选D．
本题主要考查了平面向量的数量积的应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
3、A
【解析】

,
则

,当且仅当取等号.
所以选项是正确的.
点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.
4、D
【解析】
根据几何概型长度型直接求解即可.
【详解】
根据几何概型可知，所求概率为：
本题正确选项：
本题考查几何概型概率问题的求解，属于基础题.
5、C
【解析】
依次分析每个选项中两条直线与平面的位置关系，确定两条直线的位置关系即可.
【详解】
平行于同一平面的两条直线不一定相互平行，
故选项A错误，
平行于平面的直线不一定与该平面内的直线平行，
故选项B错误，
垂直于平面的直线，垂直于与该平面平行的所有线，
故选项C正确，
垂直于同一平面的两条直线相互平行，
故选项D错误.
故选：C.
本题考查了直线与平面位置关系的辨析，属于基础题.
6、B
【解析】
利用三角函数的诱导公式，得到，即可求解.
【详解】
由题意，可得，
故选B.
本题主要考查了三角函数的诱导公式的化简、求值，其中解答中熟练应用三角函数的诱导公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
7、D
【解析】
利用，得出异面直线与所成的角为，然后在中利用锐角三角函数求出.
【详解】
如下图所示，设正方体的棱长为，
四边形为正方形，所以，，
所以，异面直线与所成的角为，
在正方体中，平面，平面，，

，，，
在中，，，
因此，异面直线与所成角的余弦值为，故选D.
本题考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线，选择合适的三角形，利用锐角三角函数或余弦定理求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题．
8、D
【解析】
如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN.
(1)由正四棱锥S−ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC.
∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，
∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=N，
∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP.故C正确．
(2)由异面直线的定义可知：EP与SD是异面直线，故A正确；
(3)由(1)可知：平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此B正确．
(4)当P与M重合时，有∥，其他情况都是异面直线即D不正确．
故选D
点睛：本题抓住正四棱锥的特征，顶点在底面的投影为底面正方形的中心，即SO⊥底面ABCD，EP为动直线，所以要证EP∥面，可先证EP所在的平面平行于面SBD，要证⊥可先证AC垂直于EP所在的平面，所以化动为静的处理思想在立体中常用.
9、B
【解析】
sin(π+α)−3cos(2π−α)=0，即：sinα+3cosα=0，①
又∵sin2α+cos2α=1，②
由①②联立解得：cos2α=.
∴cos2α=2cos2α−1=.
故选B.
10、C
【解析】
结合函数图像，由函数的最值求出A，由周期求出，再由求出的值.
【详解】
由图像可知：,故，
又，
所以
又，故：.
故选:C
本题考查了利用图像求三角函数的解析式，考查了学生综合分析，数形结合的能力，属于中档题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
由题意得第10行的第一个数的绝对值为，第10行的最后一个数的绝对值为，再根据奇数为负数，偶数为正数，得到第10行的各个数，由此能求出第10行所有数的和．
【详解】
第1行1个数，第2行2个数，则第9行9个数，故第10行的第一个数的绝对值为，
第10行的最后一个数的绝对值为，
且奇数为负数，偶数为正数，
故第10行所有数的和为
，
故答案为：．
本题以数阵为背景，观察数列中项的特点，求数列通项和前项和，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时要注意等差数列性质的合理运用．
12、
【解析】
四棱锥的侧面积是
13、
【解析】
该几何体是由两个高为1的圆锥与一个高为2的圆柱组合而成,所以该几何体的体积为.
考点：本题主要考查三视图及几何体体积的计算.
14、
【解析】
由于，则，然后将代入中，化简即可得结果.
【详解】
，
，
，故答案为.
本题考查了同角三角函数的关系，属于基础题. 同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.
15、
【解析】
由题意有：由不等式成立，推证时，则不等式左边增加的项数共项，得解.
【详解】
解：当时，不等式左边为，
当时，不等式左边为，
则由不等式成立，推证时，则不等式左边增加的项数共项，
故答案为： .
本题考查了数学归纳法，重点考查了运算能力，属基础题.
16、
【解析】
原式为，整理为： ，即，即数列是以-1为首项，-1为公差的等差的数列，所以 ，即 .
【点睛】这类型题使用的公式是 ，一般条件是 ，若是消 ，就需当 时构造 ，两式相减 ，再变形求解；若是消 ，就需在原式将 变形为： ，再利用递推求解通项公式.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)；(2)存在，为中点，证明见解析.
【解析】
（1）先根据面积垂直的性质得到平面；再由题中数据，结合棱锥体积公式，即可求出结果；
（2）先由线面垂直的性质得到为中点时，有.再给出证明：取中点，连接，，，由线面垂直的判定定理，以及面面垂直的性质定理，证明平面，再由线面垂直的性质定理，即可得出结果.
【详解】
(1)因为四边形为矩形，所以，
又平面平面，
所以平面；
又，所以，
因此三棱锥的体积为：；
(2)当为中点时，有.
证明如下:取中点，连接，，.

∵为的中点，为的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴四点共面.
∵平面平面，平面平面，
平面，，
∴平面，又平面，
∴，
∵，为的中点，
∴，
又，
∴平面，又平面，
∴，即.
本题主要考查求棱锥的体积，以及补全线线垂直的条件，熟记棱锥体积公式，以及线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理即可，属于常考题型.
18、或
【解析】
直线截圆得的弦长为，结合圆的半径为5，利用勾股定理可得圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式列方程求出直线斜率，由点斜式可得结果.
【详解】
设直线的方程为，即，
因为圆的半径为5，截得的弦长为
所以圆心到直线的距离，
即或，
∴所求直线的方程为或.
本题主要考查点到直线距离公式以及圆的弦长的求法，求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.
19、（Ⅰ）（Ⅱ）见解析
【解析】
（Ⅰ）根据题意列出方程组，利用等差数列的通项公式化简求解即可；（Ⅱ）将的通项公式代入所给等式化简求出的通项公式，利用裂项相消法求出，由推出，由数列是递增数列推出.
【详解】
（Ⅰ）设等差数列的公差为（），
因为，所以
解得，
所以.
（Ⅱ）
，

.
因为，所以，
又因为，所以数列是递增数列，于是.
综上，.
本题考查等差数列的基本量的求解，裂项相消法求和，数列性质的应用，属于中档题.
20、（1）；（2）.
【解析】
（1）由正弦和角公式,化简三角函数表达式,结合正弦定理即可求得角的大小;
（2）在中,设,由余弦定理及正弦定理用表示出.再根据三角形面积公式表示出,即可结合正弦函数的图像与性质求得最大值.
【详解】
（1）由题意可得：

∴
整理得
∴
∴
∴
又
∴
（2）在中,设,
由余弦定理得：,
∵为正三角形,
∴,
在中,由正弦定理得：,
∴,
∴,
∵
,
∵,
∴为锐角,,

,
,
∵
∴当时,.
本题考查了三角函数式的化简变形,正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用,三角形面积的表示方法,正弦函数的图像与性质的综合应用,属于中档题.
21、（1）见解析；（2）.
【解析】
（1）由得，然后分、、三种情况来解不等式；
（2）由恒成立，由参变量分离法得出，并利用基本不等式求出在上的最小值，即可得出实数的取值范围.
【详解】
（1），，.
当时，不等式的解集为；
当时，原不等式为，该不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
（2）由题意，当时，恒成立，
即时，恒成立.
由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，
所以，，因此，实数的取值范围是.
本题考查含参二次不等式的解法，同时也考查了利用二次不等式恒成立求参数的取值范围，在含单参数的二次不等式恒成立问题时，可充分利用参变量分离法，转化为函数的最值来求解，可避免分类讨论，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.