2025年昆明市第二中学高一下数学期末联考试题含解析.doc

2025年昆明市第二中学高一下数学期末联考试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．以下有四个说法：
①若、为互斥事件，则；
②在中，，则；
③和的最大公约数是；
④周长为的扇形，其面积的最大值为；
其中说法正确的个数是（ ）
A． B．
C． D．
2．将所有的正奇数按以下规律分组，第一组：1；第二组：3，5，7；第三组：9，11，13，15，17；… 表示n是第i组的第j个数，例如，，则（ ）
A． B． C． D．
3．在中，为的三等分点，则( )
A． B． C． D．
4．若、、为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．某社区义工队有24名成员，他们年龄的茎叶图如下表所示，先将他们按年龄从小到大编号为1至24号，再用系统抽样方法抽出6人组成一个工作小组，则这个小组年龄不超过55岁的人数为（ ）
3
9

4
0
1
1
2
5

5
1
3
6
6
7
7
8
8
8
9
6
0
0
1
2
3
3
4
5

A．1 B．2 C．3 D．4
6．的直观图如图所示，其中，则在原图中边的长为（ ）

A． B． C．2 D．
7．如图所示，在中，，点在边上，点在线段上，若,则 （ ）

A． B． C． D．
8．为了了解运动员对志愿者服务质量的意见，打算从1200名运动员中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段间隔为
A．40 B．20 C．30 D．12
9．在中，角的对边分别为.若，，，则边的大小为（ ）
A．3 B．2 C． D．
10．若为圆的弦的中点，则直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在锐角△ABC中，BC＝2，sinB+sinC＝2sinA，则AB+AC＝_____
12．设满足约束条件，则目标函数 的最大值为______．
13．若数列满足（）,且，，__.
14．定义运算，如果，并且不等式对任意实数x恒成立，则实数m的范围是______.
15．在中，，过直角顶点作射线交线段于点，则的概率为______．
16．已知直线：与直线：平行，则______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设数列是等差数列，其前n项和为；数列是等比数列，公比大于0，其前项和为．已知，，，．
（1）求数列和数列的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，若对任意的恒成立，求实数m的取值范围．
18．在等差数列{an}中，2a9＝a12+13，a3＝7，其前n项和为Sn．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{}的前n项和Tn，并证明Tn＜．
19．已知余切函数.
（1）请写出余切函数的奇偶性，最小正周期，单调区间；（不必证明）
（2）求证：余切函数在区间上单调递减.
20．设函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若对于，恒成立，求的取值范围.
21．已知.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在闭区间上的最小值并求当取最小值时，的取值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
设、为对立事件可得出命题①的正误；利用大边对大角定理和余弦函数在上的单调性可判断出命题②的正误；列出和各自的约数，可找出两个数的最大公约数，从而可判断出命题③的正误；设扇形的半径为，再利用基本不等式可得出扇形面积的最大值，从而判断出命题④的正误.
【详解】
对于命题①，若、为对立事件，则、互斥，则，命题①错误；
对于命题②，由大边对大角定理知，，且，函数在上单调递减，所以，，命题②正确；
对于命题③，的约数有、、、、、，的约数有、、、、、、、，则和的最大公约数是，命题③正确；
对于命题④，设扇形的半径为，则扇形的弧长为，
扇形的面积为，由基本不等式得，
当且仅当，即当时，等号成立，所以，扇形面积的最大值为，命题④错误.故选C.
本题考查命题真假的判断，涉及互斥事件的概率、三角形边角关系、公约数以及扇形面积的最值，判断时要结合这些知识点的基本概念来理解，考查推理能力，属于中等题.
2、C
【解析】
由等差数列求和公式及进行简单的合情推理可得：2019为第1010个正奇数，设2019在第n组中，则有，，解得：n=32，又前31组共有961个奇数，则2019为第32组的第1010-961=49个数，得解．
【详解】
由已知有第n组有2n-1个连续的奇数，
则前n组共有个连续的奇数，
又2019为第1010个正奇数，
设2019在第n组中，
则有，，
解得：n=32，
又前31组共有961个奇数，
则2019为第32组的第1010-961=49个数，
即2019=（32，49），
故选：C．
本题考查归纳推理，解题的关键是根据等差数列求和公式分析出规律，再结合数列的性质求解，属于中等题.
3、B
【解析】
试题分析：因为，所以，以点为坐标原点，分别为轴建立直角坐标系，设，又为的三等分点所以，，所以，故选B.
考点：平面向量的数量积.
【一题多解】若，则，
即有，为边的三等分点，则
,故选B．
4、B
【解析】
利用等式的性质或特殊值法来判断各选项中不等式的正误.
【详解】
对于A选项，若，则，故A不成立；
对于B选项，，在不等式同时乘以，得，
另一方面在不等式两边同时乘以，得，，故B成立；
对于选项C，在两边同时除以，可得，所以C不成立；
对于选项D，令，，则有，，，所以D不成立.
故选B.
本题考查不等式正误的判断，常用的判断方法有：不等式的基本性质、特殊值法以及比较法，在实际操作中，可结合不等式结构合理选择相应的方法进行判断，考查推理能力，属于基础题.
5、B
【解析】
求出样本间隔，结合茎叶图求出年龄不超过55岁的有8人，然后进行计算即可．
【详解】
解：样本间隔为，年龄不超过55岁的有8人，
则这个小组中年龄不超过55岁的人数为人．
故选：．
本题主要考查茎叶图以及系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键，属于基础题．
6、D
【解析】
由直观图确定原图形中三角形边的关系及长度，然后计算．
【详解】
在原图形中，，，
∴．
故选：D.
本题考查直观图，考查由直观图还原原平面图形.掌握斜二测画法的规则是解题关键.
7、B
【解析】
本题首先可根据点在边上设，然后将化简为，再然后根据点在线段上解得，最后通过计算即可得出结果．
【详解】
因为点在边上，所以可设，
所以，
因为点在线段上，所以三点共线，
所以，解得，
所以，，故选B．
本题考查向量共线的相关性质以及向量的运算，若向量与向量共线，则，考查计算能力，是中档题．
8、C
【解析】
根据系统抽样的定义和方法，结合题意可分段的间隔等于个体总数除以样本容量，即可求解.
【详解】
根据系统抽样的定义和方法，结合题意可分段的间隔，故选C.
本题主要考查了系统抽样的定义和方法，其中解答中熟记系统抽样的定义和方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
9、A
【解析】
直接利用余弦定理可得所求.
【详解】
因为，所以，解得或（舍）.
故选A.
本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了一元二次方程的解法，属于基础题．
10、D
【解析】
圆的圆心为O，求出圆心坐标，利用垂径定理，可以得到
，求出直线的斜率，利用两直线垂直斜率关系可以求出直线的斜率，利用点斜式写出直线方程，最后化为一般式方程.
【详解】
设圆的圆心为O，坐标为（1，0），根据圆的垂径定理可知：
，因为，所以，
因此直线的方程为，故本题选D.
本题考查了圆的垂径定理、两直线垂直斜率的关系，考查了斜率公式.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、1
【解析】
由正弦定理化已知等式为边的关系，可得结论．
【详解】
∵sinB+sinC＝2sinA，由正弦定理得，即．
故答案为1．
本题考查正弦定理，解题时利用正弦定理进行边角关系的转化即可．
12、7
【解析】
首先画出可行域，然后判断目标函数的最优解，从而求出目标函数的最大值.
【详解】
如图，画出可行域，

作出初始目标函数，平移目标函数，当目标函数过点时，目标函数取得最大值，
，解得,
.
故填：7.
本题考查了线性规划问题，属于基础题型.
13、1
【解析】
由数列满足，即，得到数列的奇数项和偶数项分别构成公比为的等比数列，利用等比数列的极限的求法，即可求解．
【详解】
由题意，数列满足，即，
又由，，所以数列的奇数项构成首项为1，公比为，偶数项构成首项为，公比为的等比数列，
当为奇数时，可得，
当为偶数时，可得．
所以．
故答案为：1.
本题主要考查了等比数列的定义，以及无穷等比数列的极限的计算，其中解答中得出数列的奇数项和偶数项分别构成公比为的等比数列是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
14、
【解析】
先由题意得到，根据题意求出的最大值，即可得出结果.
【详解】
由题意得到，
其中，
因为，所以，
又不等式对任意实数x恒成立，
所以.
故答案
本题主要考查由不等式恒成立求参数的问题，熟记三角函数的性质即可，属于常考题型.
15、
【解析】
设，求出的长，由几何概型概率公式计算．
【详解】
设，由题意得，，∴的概率是．
故答案为：．
本题考查几何概型，考查长度型几何概型．掌握几何概型概率公式是解题关键．
16、4
【解析】
利用直线平行公式得到答案.
【详解】
直线：与直线：平行

故答案为4
本题考查了直线平行的性质，属于基础题型.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；；（2）
【解析】
(1) 根据等比数列与等差数列,分别设公比与公差再用基本量法求解即可.
(2)由(1)有再错位相减求解,利用不等式恒成立的方法求解即可.
【详解】
解：（1）设等比数列的公比为q,由,,可得．
∵,可得．
故；
设等差数列的公差为d,由,得,
由,得,
∴． 故；
（2）根据题意知,
①
②
①—②得
∴,
对任意的恒成立,∴
本题主要考查了等差等比数列的基本量求解方法以及错位相减和不等式恒成立的问题.属于中档题.
18、（1）（2）见解析
【解析】
（1）等差数列{an}的公差设为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；
（2）运用等差数列的求和公式，求得（），再由数列的裂项相消求和可得Tn，再由不等式的性质即可得证．
【详解】
（1）等差数列{an}的公差设为d，2a9＝a12+13，a3＝7，
可得2（a1+8d）＝a1+11d+13，a1+2d＝7，
解得a1＝3，d＝2，
则an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
（2）Snn（3+2n+1）＝n（n+2），
（），
前n项和Tn（1）
（1）（）．
本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
19、（1）奇函数；周期为，单调递减速区间： （2）证明见解析
【解析】
（1）直接利用函数的性质写出结果．
（2）利用单调性的定义和三角函数关系式的变换求出结果．
【详解】
（1）奇函数；周期为，单调递减区间：
（2）任取，，，有

因为，所以，
于是，，
从而，.
因此余切函数在区间上单调递减.
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
20、（1）见解析；（2）.
【解析】
（1）由得，然后分、、三种情况来解不等式；
（2）由恒成立，由参变量分离法得出，并利用基本不等式求出在上的最小值，即可得出实数的取值范围.
【详解】
（1），，.
当时，不等式的解集为；
当时，原不等式为，该不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
（2）由题意，当时，恒成立，
即时，恒成立.
由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，
所以，，因此，实数的取值范围是.
本题考查含参二次不等式的解法，同时也考查了利用二次不等式恒成立求参数的取值范围，在含单参数的二次不等式恒成立问题时，可充分利用参变量分离法，转化为函数的最值来求解，可避免分类讨论，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.
21、（1）；（2），
【解析】
(1)先化简,再求最小正周期;
(2)由,得,再结合的函数图像求最小值.
【详解】
(1)

,
即,
所以的最小正周期是;
(2)由(1)知,
又由,得,
所以当时,的最小值为,
即时,的最小值为.
本题考查三角恒等变换,考查三角函数图像的性质应用,属于中档题.