2024-2025学年江苏省南通市通州区海安县数学高一下期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

2024-2025学年江苏省南通市通州区海安县数学高一下期末学业质量监测模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知，，，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．为了得到函数的图像，只需把函数的图像（ ）
A．向右平移个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的3倍；
B．向左平移个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的3倍；
C．向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩短到原来的倍；
D．向左平移个单位长度，再把各点的横坐标缩短到原来的倍
3．奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（ ）．
A． B．
C． D．
4．设，，均为正实数，则三个数，，( )
A．都大于2 B．都小于2
C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2
5．已知向量，，且，，，则一定共线的三点是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
6．已知数列的通项为，我们把使乘积为整数的叫做“优数”，则在内的所有“优数”的和为（ ）
A．1024 B．2012 C．2026 D．2036
7．直线x+2y﹣3＝0与直线2x+ay﹣1＝0垂直，则a的值为（　　）
A．﹣1 B．4 C．1 D．﹣4
8．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
10．正方体中，则异面直线与所成的角是
A．30° B．45° C．60° D．90°
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知为等差数列，为其前项和，若，则，则______．
12．设数列满足,,,，______.
13．若为的最小内角，则函数的值域为_____．
14．某球的体积与表面积的数值相等，则球的半径是
15．不等式的解集为________
16．圆台两底面半径分别为2 cm和5 cm，母线长为cm，则它的轴截面的面积是________cm2.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某地区有小学21所，中学14所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取5所学校，对学生进行视力检查．
（1）求应从小学、中学中分别抽取的学校数目；
（2）若从抽取的5所学校中抽取2所学校作进一步数据分析：
①列出所有可能抽取的结果；
②求抽取的2所学校至少有一所中学的概率．
18．化简：
（1）；
（2）.
19．已知不等式的解集为或.
（1）求实数a，b的值；
（2）解不等式.
20．如图，已知以点为圆心的圆与直线相切．过点的动直线与圆A相交于M，N两点，Q是的中点，直线与相交于点P．

（1）求圆A的方程；
（2）当时，求直线的方程．
21．已知函数
（1）求函数的定义域：
（2）求函数的单调递减区间：
（3）求函数了在区间上的最大值和最小值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
根据对数函数的单调性可知都大于1，把化成后可得的大小，从而可得的大小关系.
【详解】
因为及都是上的增函数，故
，，
又，故，选B.
对数的大小比较，可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系，如果底数不统一，可以利用对数的运算性质统一底数.不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递.
2、B
【解析】
根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【详解】
把函数y＝2sinx，x∈R的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得函数y＝2sin（x）的图象，
再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），可得函数y＝2sin（），x∈R的图象，
故选：B．
本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．
3、A
【解析】

因为函数式奇函数，在上单调递减，
根据奇函数的性质得到在上函数仍是减函数，
再根据可画出函数在上的图像，
根据对称性画出在上的图像．
根据图像得到的解集是：．
故选A．
4、D
【解析】
由题意得，
当且仅当时，等号成立，
所以至少有一个不小于，故选D.
5、A
【解析】
根据向量共线定理进行判断即可.
【详解】
因为，且，有公共点B，所以A，B，D三点共线．
故选：A.
本题考查了用向量共线定理证明三点共线问题，属于常考题.
6、C
【解析】
根据优数的定义，结合对数运算，求得的范围，再用等比数列的前项和公式进行求和.
【详解】
根据优数的定义，

令，则可得
令，解得
则在内的所有“优数”的和为：

故选：C.
本题考查新定义问题，本质是考查对数的运算，等比数列前项和公式.
7、A
【解析】
由两直线垂直的条件，列出方程即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，直线与直线垂直，
则满足，解得，
故选：A．
本题主要考查了两直线位置关系的应用，其中解答中熟记两直线垂直的条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
8、A
【解析】
先分别求出集合，，由此能求出．
【详解】
集合，，1，，
或，
，，．
故选：．
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
9、A
【解析】
由题意结合函数的解析式分别求得的值，然后求解两者之差即可.
【详解】
由题意可得：，，
则.
故选：A.
求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
10、C
【解析】
连接A，易知：平行 A，
∴异面直线与所成的角即异面直线与A所成的角，
连接，易知△为等边三角形，
∴异面直线与所成的角是60°
故选C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
利用等差中项的性质求出的值，再利用等差中项的性质求出的值.
【详解】
由等差中项的性质可得，得，
由等差中项的性质得，.
故答案为：.
本题考查等差数列中项的计算，充分利用等差中项的性质进行计算是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.
12、8073
【解析】
对分奇偶讨论求解即可
【详解】
当为偶数时，
当为奇数时，
故当为奇数时，
故
故答案为8073
本题考查数列递推关系，考查分析推理能力，对分奇偶讨论发现规律是解决本题的关键，是难题
13、
【解析】
依题意， ，利用辅助角公式得，利用正弦函数的单调性即可求得的取值范围，在利用换元法以及同角三角函数基本关系式把所求问题转化结合基本不等式即可求解．
【详解】
∵为的最小内角，故，
又，
因为，故，
∴取值范围是．
令，则且
∴，令，
由双勾函数可知在上为增函数，故，
故.
故答案为：.
本题考查同角的三角函数的基本关系、辅助角公式以及正弦型函数的值域，注意根据代数式的结构特点换元后将三角函数的问题转化为双勾函数的问题，本题属于中档题．
14、3
【解析】
试题分析：，解得.
考点：球的体积和表面积
15、
【解析】
因为所以，
即不等式的解集为.
16、63
【解析】
首先画出轴截面，然后结合圆台的性质和轴截面整理计算即可求得最终结果.
【详解】
画出轴截面，
如图，过A作AM⊥BC于M，
则BM＝5－2＝3(cm)，
AM＝＝9(cm)，
所以S四边形ABCD＝＝63(cm2)．

本题主要考查圆台的空间结构特征及相关元素的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）3所、2所；（2）①共10种 ；
②
【解析】
（1）根据分层抽样的方法，得到分层抽样的比例，即可求解样本中小学与中学抽取的学校数目；
（2）①3所小学分别记为；2所中学分别记为，利用列举法，即可求得抽取的2所学校的所有结果；
②利用古典概型的概率计算公式，即可求得相应的概率．
【详解】
（1）学校总数为35所，所以分层抽样的比例为，
计算各类学校应抽取的数目为：，
故从小学、中学中分别抽取的学校数目为3所、2所．
（2）①3所小学分别记为；2所中学分别记为
应抽取的2所学校的所有结果为：
共10种．
②设“抽取的2所学校至少有一所中学”作为事件．
其结果共有7种，所以概率为．
本题主要考查了分层抽样的应用，以及古典概型及其概率的计算，其中解答中认真审题，合理利用列举法求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
18、（1）（2）
【解析】
（1）中可将“1”转化成，即可求解；
（2）结合诱导公式化简，再结合和角公式化简
【详解】
（1）
（2）

本题考查三角函数的化简求值，合理运用公式化简，熟悉基本的和差角公式和诱导公式是解题关键，属于中档题
19、（1）；（2）答案不唯一，见解析
【解析】
（1）题意说明是方程的解，代入可得，把代入可求得原不等式的解集，从而得值；
（2）因式分解后讨论和6的大小可得不等式的解集.
【详解】
（1）依题意，得：，解得，
所以，不等式为，解得，或，所以，
所以，；
（2）不等式为：，即，
当时，解集为
当时，解集为
当时，解集为
本题考查解一元二次不等式，考查一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，在解含参数的一元二次不等式时要注意分类讨论.
20、 (1) .(2) 或
【解析】
（1）圆心到切线的距离等于圆的半径，从而易得圆标准方程；
（2）考虑直线斜率不存在时是否符合题意，在斜率存在时，设直线方程为，根据垂径定理由弦长得出圆心到直线的距离，现由点（圆心）到直线的距离公式可求得．
【详解】
（1）由于圆A与直线相切，∴，
∴圆A的方程为．
（2）①当直线与x轴垂直时，易知与题意相符，使．
②当直线与x轴不垂直时，设直线的方程为即，连接，
则，∵，∴，由，得．
∴直线，故直线的方程为或．
本题考查直线与圆的位置关系，解题关键是垂径定理的应用，在圆中与弦长有关的问题通常都是用垂径定理解决．
21、（1）.
（2）,.
（3）,.
【解析】
（1）根据分母不等于求出函数的定义域.
（2）化简函数的表达式,利用正弦函数的单调减区间求解函数的单调减区间即可.
（3）通过满足求出相位的范围,利用正弦函数的值域,求解函数的最大值和最小值.
【详解】
解：（1）函数的定义域为：
,即,
（2）

,
令且,
解得：,
即
所以的单调递减区间：,.
（3）由,可得：,
当,即：时,
当,即：时,
本题考查三角函数的最值以及三角函数的化简与应用,两角和与差的三角函数的应用考查计算能力.