2025届安徽省定远育才实验学校数学高一下期末学业水平测试试题含解析.doc

2025届安徽省定远育才实验学校数学高一下期末学业水平测试试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1． (2015新课标全国I理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有

A．14斛 B．22斛
C．36斛 D．66斛
2．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ）

A．3 B．11 C．38 D．123
3．在中，（，，分别为角、、的对边），则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
4．某快递公司在我市的三个门店，，分别位于一个三角形的三个顶点处，其中门店，与门店都相距，而门店位于门店的北偏东方向上，门店位于门店的北偏西方向上，则门店，间的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，且，则在方向上的投影为( )
A． B． C． D．
6．在数列中,,则数列的前n项和的最大值是（ ）
A．136 B．140 C．144 D．148
7．下列条件：①；②；③；其中一定能推出成立的有（ ）
A．0个 B．3个 C．2个 D．1个
8．若函数在处取最小值，则等于（ ）
A．3 B． C． D．4
9．过正方形的顶点，作平面，若，则平面和平面所成的锐二面角的大小是

A． B．
C． D．
10．如图是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色部分的有484个点，据此可估计黑色部分的面积为（ ）

A．4 B．5 C．8 D．9
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知数列的前n项和，则________.
12．已知中，的对边分别为，若，则的周长的取值范围是__________．
13．数列满足：（且为常数），，当时，则数列的前项的和为________.
14．函数的定义域为A，若时总有为单函数.例如，函数=2x+1（）是单函数.下列命题：
①函数=（xR）是单函数；②若为单函数，且则；③若f：AB为单函数，则对于任意bB，它至多有一个原象；
④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数.其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号）
15．已知点及其关于原点的对称点均在不等式表示的平面区域内，则实数的取值范围是____．
16．数列满足，则的前60项和为_____．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在中，角、、的对边分别为、、，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，点在边上，且，，求边的长.
18．某网站推出了关于扫黑除恶情况的调查，调查数据表明，扫黑除恶仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占.现从参与关注扫黑除恶的人群中随机选出人，并将这人按年龄分组:第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示.

(1)求出的值；
(2)求这人年龄的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数(精确到小数点后一位).
19．如图，在中，已知点D在边BC上，，的面积是面积的倍，且，.

（1）求；
（2）求边BC的长.
20．设正项等比数列且的等差中项为．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前n项为，数列满足，为数列的前项和，求．
21．已知直线：，一个圆的圆心在轴上且该圆与轴相切，该圆经过点．
（1）求圆的方程；
（2）求直线被圆截得的弦长．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
试题分析：设圆锥底面半径为r，则，所以，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B.
考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式
2、B
【解析】
试题分析：通过框图的要求；将第一次循环的结果写出，通过判断框；再将第二次循环的结果写出，通过判断框；输出结果．
解；经过第一次循环得到a=12+2=3
经过第一次循环得到a=32+2=11
不满足判断框的条件，执行输出11
故选B
点评：本题考查程序框图中的循环结构常采用将前几次循环的结果写出找规律．
3、B
【解析】
利用二倍角公式，正弦定理，结合和差公式化简等式得到，得到答案.
【详解】

故答案选B
本题考查了正弦定理，和差公式，意在考查学生的综合应用能力.
4、C
【解析】
根据题意，作出图形，结合图形利用正弦定理，即可求解，得到答案.
【详解】
如图所示，依题意知，，，
由正弦定理得：，则.
故选C.

本题主要考查了三角形的实际应用问题，其中解答中根据题意作出图形，合理使用正弦定理求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
5、C
【解析】
通过数量积计算出夹角，然后可得到投影.
【详解】
，，
即，，
在方向上的投影为，
故选C.
本题主要考查向量的几何背景，建立数量积方程是解题的关键，难度不大.
6、C
【解析】
可得数列为等差数列且前8项为正数，第9项为0，从第10项开始为负数，可得前8或9项和最大，由求和公式计算可得．
【详解】
解：∵在数列中,，
，即数列为公差为−4的等差数列，
，
令可得，
∴递减的等差数列中前8项为正数，第9项为0，从第10项开始为负数，
∴数列的前8或9项和最大，
由求和公式可得
故选：C．
本题考查等差数列的求和公式和等差数列的判定，属基础题．
7、D
【解析】
利用特殊值证得①②不一定能推出，利用平方差公式证得③能推出.
【详解】
对于①，若，而，故①不一定能推出；
对于②，若，而，故②不一定能推出；
对于③，由于，所以，故，也即.故③一定能推出.
故选：D.
本小题主要考查不等式的性质，考查实数大小比较，属于基础题.
8、A
【解析】
将函数的解析式配凑为，再利用基本不等式求出该函数的最小值，利用等号成立得出相应的值，可得出的值.
【详解】
当时，，则
，
当且仅当时，即当时，等号成立，因此，，故选A.
本题考查基本不等式等号成立的条件，利用基本不等式要对代数式进行配凑，注意“一正、二定、三相等”这三个条件的应用，考查计算能力，属于中等题.
9、B
【解析】
法一：建立如图(1)所示的空间直角坐标系，不难求出平面APB与平面PCD的法向量分别为n1＝(0,1,0)，n2＝(0,1,1)，故平面ABP与平面CDP所成二面角的余弦值为＝，故所求的二面角的大小是45°.

法二：将其补成正方体．如图(2)，不难发现平面ABP和平面CDP所成的二面角就是平面ABQP和平面CDPQ所成的二面角，其大小为45°.
10、B
【解析】
由几何概型中的随机模拟试验可得：，将正方形面积代入运算即可．
【详解】
由题意在正方形区域内随机投掷1089个点，
其中落入白色部分的有484个点，
则其中落入黑色部分的有605个点，
由随机模拟试验可得：，又，
可得，故选B．
本题主要考查几何概型概率公式以及模拟实验的基本应用，属于简单题，求不规则图形的面积的主要方法就是利用 模拟实验，列出未知面积与已知面积之间的方程求解.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
先利用求出，在利用裂项求和即可.
【详解】
解：当时，，
当时，，
综上，，，

，
故答案为：.
本题考查和的关系求通项公式，以及裂项求和，是基础题.
12、
【解析】
中，由余弦定理可得，∵ ，∴ ，化简可得 ．∵，∴，解得 （当且仅当 时，取等号）．故 ．再由任意两边之和大于第三边可得 ，故有 ，故的周长的取值范围是，故答案为．
点睛：由余弦定理求得，代入已知等式可得，利用基本不等式求得，故．再由三角形任意两边之和大于第三边求得 ，由此求得△ABC的周长的取值范围．
13、
【解析】
直接利用分组法和分类讨论思想求出数列的和.
【详解】
数列满足：（且为常数），，
当时，则，
所以（常数），
故，
所以数列的前项为首项为，公差为的等差数列.
从项开始，由于，所以奇数项为、偶数项为，
所以，
故答案为：
本题考查了由递推关系式求数列的性质、等差数列的前项和公式，需熟记公式，同时也考查了分类讨论的思想，属于中档题.
14、②③
【解析】
命题①：对于函数，设，故和可能相等，也可能互为相反数，即命题①错误；
命题②：假设，因为函为单函数，所以，与已知矛盾，故，即命题②正确；
命题③：若为单函数，则对于任意，，假设不只有一个原象与其对应，设为，则，根据单函数定义，，又因为原象中元素不重复，故函数至多有一个原象，即命题③正确；
命题④：函数在某区间上具有单调性，并不意味着在整个定义域上具有单调性，即命题④错误,
综上可知，真命题为②③.
故答案为②③．
15、
【解析】
根据题意，设与关于原点的对称，分析可得的坐标，由二元一次不等式的几何意义可得，解可得的取值范围，即可得答案．
【详解】
根据题意，设与关于原点的对称，则的坐标为，
若、均在不等式表示的平面区域内，则有，
解可得：，即的取值范围为，；
故答案为，．
本题考查二元一次不等式表示平面区域的问题，涉及不等式的解法，属于基础题．
16、1830
【解析】
由题意可得，，，，，，…，，变形可得，，，，，，，，…，利用数列的结构特征，求出的前60项和．
【详解】
解： ，
∴，，，，，，…，，
∴，，，，，，，，…，
从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列，
的前60项和为，
故答案为：．
本题主要考查递推公式的应用，考查利用构造等差数列求数列的前项和，属于中档题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
（1）利用正弦定理边角互化思想以及两角和的正弦公式可求出的值，结合角的范围可得出角的大小；
（2）利用余弦定理得出，由三角形的面积公式，代入数据得出，将该等式代入等式可解出边的长.
【详解】
（1）由及正弦定理，
可得，即，
由可得，所以，
因为，，所以，，；
（2）由于，由余弦定理得，
又因为，所以的面积，
把，，代入得，所以，解得．
本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了余弦定理和三角形面积公式来解三角形，解题时要根据题中相关条件列方程组进行求解，考查方程思想的应用以及运算求解能力，属于中等题.
18、 (1)0.035 (2)平均数为：41.5岁 中位数为：42.1岁
【解析】
（1）根据频率之和为1，结合题中条件，直接列出式子计算，即可得出结果；
（2）根据每组的中间值乘该组的频率再求和，即可得出平均数；根据中位数两边的频率之和相等，即可求出中位数.
【详解】
(1)由题意可得：，
解得；
(2)由题中数据可得：岁，
设中位数为，则，
∴岁.
本题主要考查完善频率分布直方图，以及由频率分布直方图求平均数，中位数等，熟记频率的性质，以及平均数与中位数的计算方法即可，属于常考题型.
19、（1）；（2）
【解析】
（1）利用三角形面积公式得出和的表达式，由，化简得出的值；
（2）由结合，得出，在中，利用余弦定理得出，再由余弦定理得出，进而得出，由直角三角形的边角关系得出，最后由得出的长.
【详解】
（1）因为，，且，
所以
即，所以.
（2）由（1）知，所以
在中，，，
由余弦定理
所以.
且
所以，解得.
所以.即边BC的长为.
本题主要考查了三角形面积公式以及余弦定理的应用，属于中档题.
20、（1）；（2）.
【解析】
（1）利用已知条件列出方程，求出首项与公比，然后求解通项公式．
（2）化简数列的通项公式，利用裂项相消法求解数列的和即可．
【详解】
（1）设等比数列的公比为，
由题意，得，解得，
所以.
（2）由（1）得，
∴，
∴，
∴.
本题考查数列的递推关系式以及数列求和，考查转化思想以及计算能力．
21、（1）；（2）.
【解析】
（1）由题意设圆心，半径，将点代入圆C的方程可求得a，可得圆的方程；（2）求出圆心C到直线l的距离d，利用勾股定理求出l被圆C所截得弦长．
【详解】
（1）∵圆心在轴上且该圆与轴相切，
∴设圆心，半径，，
设圆的方程为，
将点代入得，
∴，
∴ 所求圆的方程为.
（2）∵圆心到直线：的距离，
∴直线被圆截得的弦长为.
本题考查了直线与圆的位置关系及圆的方程的应用问题，考查了垂径定理的应用，是基础题．