2024-2025学年上海市杨浦高中数学高一第二学期期末学业质量监测试题含解析.doc

2024-2025学年上海市杨浦高中数学高一第二学期期末学业质量监测试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．数列中，若，则下列命题中真命题个数是（ ）
（1）若数列为常数数列，则；
（2）若，数列都是单调递增数列；
（3）若，任取中的项构成数列的子数（），则都是单调数列.
A．个 B． 个 C．个 D．个
2．已知是等差数列的前项和，.若对恒成立，则正整数构成的集合是（ ）
A． B． C． D．
3．已知数列中，，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知非零实数a，b满足，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数在区间上恒成立，则实数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6．若圆的半径为4，a、b、c为圆的内接三角形的三边，若abc＝16，则三角形的面积为( )
A．2 B．8 C． D．
7．对某班学生一次英语测试的成绩分析，各分数段的分布如下图（分数取整数），由此，估计这次测验的优秀率（不小于80分）为（ ）

A．92% B．24% C．56% D．76%
8．《九章算术》卷第六《均输》中，提到如下问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容，各多少？”其大致意思是说，若九节竹每节的容量依次成等差数列，下三节容量四升，上四节容量三升，则中间两节的容量各是（　　）
A．升、升 B．升、升
C．升、升 D．升、升
9．甲、乙、丙三人随意坐下，乙不坐中间的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为2，则此直线方程为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．经过点且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的直线方程是________.
12．已知，均为单位向量，它们的夹角为，那么__________．
13．若，其中是第二象限角，则____.
14．设为实数，为不超过实数的最大整数，如，.记，则的取值范围为，现定义无穷数列如下：，当时，；当时，，若，则________.
15．在中，，，点为延长线上一点，，连接，则=______.
16．若直线与圆相切，则________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥底面 ABCD，侧棱PA=PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD ，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2,O为AD中点．

（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）线段AD上是否存在点，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出值；若不存在，请说明理由．
18．为迎接世博会，要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60 000，四周空白的宽度为10 cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5 cm，怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸（单位：cm），能使整个矩形广告面积最小.
19．已知，，，且.
（1）若，求的值；
（2）设，，若的最大值为，求实数的值.
20．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为

（1）求频率分布直方图中的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率.
21．设为正项数列的前项和，且满足.
（1）求的通项公式；
（2）令，，若恒成立，求的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
对（1），由数列为常数数列，则，解方程可得的值；
对（2），由函数，，求得导数和极值，可判断单调性；
对（3），由，判断奇偶性和单调性，结合正弦函数的单调性，即可得到结论．
【详解】
数列中，若，，，
（1）若数列为常数数列，则，
解得或，故（1）不正确；
（2）若，，
，
由函数，，
，
由，可得极值点唯一且为，
极值为，
由，可得，
则，即有.
由于，，
由正弦函数的单调性，可得，
则数列都是单调递增数列，故（2）正确；
（3）若，任取中的9项，，，，，
构成数列的子数列，，2，，9，是单调递增数列；
由，可得，为奇函数；
当时，，时，；
当时，；时，，
运用正弦函数的单调性可得或时，数列单调递增；
或时，数列单调递减．
所以数列都是单调数列，故（3）正确；
故选：C.
本题考查数列的单调性的判断和运用，考查正弦函数的单调性，以及分类讨论思想方法，属于难题．
2、A
【解析】
先分析出，即得k的值.
【详解】
因为
因为
所以.
所以,
所以正整数构成的集合是.
故选A
本题主要考查等差数列前n项和的最小值的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
3、A
【解析】
由递推关系，结合，，可求得，，的值，可得数列是一个周期为6的周期数列，进而可求的值。
【详解】
因为，由，，得；
由，，得；
由，，得；
由，，得；
由，，得；
由，，得
由此推理可得数列是一个周期为6的周期数列，所以，故选A。
本题考查由递推关系求数列中的项，考查数列周期的判断，属基础题。
4、D
【解析】
根据不等式的基本性质，一一进行判断即可得出正确结果．
【详解】
A. ，取，显然不成立，所以该选项错误；
B. ，取，显然不成立，所以该选项错误；
C. ，取，显然不成立，所以该选项错误；
D. ，由已知且，所以，
即．所以该选项正确.
故选：．
本题考查不等式的基本性质，属于容易题．
5、D
【解析】
直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形为正弦型函数，进一步利用恒成立问题的应用求出结果.
【详解】
函数,
由因为，所以，
即，
当时，函数的最大值为，
由于在区间上恒成立，
故，实数的最小值是.
故选：D
本题考查了两角和的余弦公式、辅助角公式以及三角函数的最值，需熟记公式与三角函数的性质，同时考查了不等式恒成立问题，属于基出题
6、C
【解析】
试题分析：由正弦定理可知，∴，∴．
考点：正弦定理的运用．
7、C
【解析】
试题分析：．故C正确．
考点：频率分布直方图．
8、D
【解析】
由题意知九节竹的容量成等差数列，至下而上各节的容量分别为a1，a2，…，an，公差为d，利用等差数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出中间一节的容量．
【详解】
由题意知九节竹的容量成等差数列,
至下而上各节的容量分别为a1，a2，…，a9，公差为d，
即=4，=3，
∴=4，=3，
解得,，
∴中间两节的容量,，
故选：D.
本题考查等差数列的通项公式，利用等差数列的通项公式列出方程组，解出首项与公差即可，考查计算能力，属于基础题.
9、A
【解析】
甲、乙、丙三人随意坐下有种结果，
乙坐中间则有，乙不坐中间有种情况，
概率为，故选A.
点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．
(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.
10、D
【解析】
由题意可得直线的斜率和截距，由斜截式可得答案．
【详解】
解：∵直线的倾斜角为45°，∴直线的斜率为k＝tan45°＝1，
由斜截式可得方程为：y＝x+2，
故选：D．
本题考查直线的斜截式方程，属基础题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、或
【解析】
当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入求得的值，即可求得直线方程，当直线过原点时，直线的方程为，综合可得答案.
【详解】
当直线不过原点时，设直线的方程为，
把点代入可得：，即
此时直线的方程为：
当直线过原点时，直线的方程为，即
综上可得：满足条件的直线方程为：或
故答案为：或
过原点的直线横纵截距都为0，在解题的时候容易漏掉.
12、.
【解析】
分析：由，均为单位向量，它们的夹角为，求出数量积，先将平方，再开平方即可的结果.
详解：∵

，故答案为.
点睛：平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.
13、
【解析】
首先要用诱导公式得到角的正弦值，根据角是第二象限的角得到角的余弦值，再用诱导公式即可得到结果．
【详解】
解：
，又是第二象限角故，

故答案为．
本题考查同角的三角函数的关系，本题解题的关键是诱导公式的应用，熟练应用诱导公式是解决三角函数问题的必备技能，属于基础题．
14、
【解析】
根据已知条件，计算数列的前几项，观察得出无穷数列呈周期性变化，即可求出的值。
【详解】
当时，，，
，，……，无穷数列周期性变化，周期为2，所以。
本题主要考查学生的数学抽象能力，通过取整函数得到数列，观察数列的特征，求数列中的某项值。
15、.
【解析】
由题意,画出几何图形.由三线合一可求得,根据补角关系可求得.再结合余弦定理即可求得.
【详解】
在中,,
作,如下图所示:

由三线合一可知为中点
则
所以
点为延长线上一点,
则在中由余弦定理可得

所以
故答案为:
本题考查了等腰三角形性质,余弦定理在解三角形中的应用,属于基础题.
16、1
【解析】
利用圆心到直线的距离等于半径列方程，解方程求得的值.
【详解】
由于直线和圆相切，所以圆心到直线的距离，即，由于，所以.
故答案为：
本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）只需证明，又由面面垂直的性质定理知平面；
（Ⅱ）连接、，假设存在点，使得它到平面的距离为，设，由，求得的值即可．
试题解析：（Ⅰ）证明：在中，为中点，所以．
又侧面底面，平面平面，平面，
所以平面．
（Ⅱ）连接、

假设存在点，使得它到平面的距离为．
设，则
因为，为的中点，
所以，且
所以
因为，且
所以
在中，
所以
所以
由，即
解得
所以存在点满足题意，此时．
考点：1．平面与平面垂直的性质；2．几何体的体积．
18、高200，宽100
【解析】
设广告矩形栏目高与宽分别为acm, cm
整个矩形广告面积为

当且仅当时取等号
19、 (1)0 (2)
【解析】
（1）通过可以算出，移项、两边平方即可算出结果.（2）通过向量的运算，解出，再通过最大值根的分布，求出的值.
【详解】
（1）通过可以算出，
即
故答案为0.
（2），设，，，
即的最大值为；
①当时，（满足条件）；
②当时，
（舍）；
③当时，（舍）
故答案为
当式子中同时出现时，常常可以利用换元法，把用进行表示，但计算过程中也要注意自变量的取值范围；二次函数最值一定要注意对称轴是否在规定区间范围内，再讨论最后的结果.
20、（Ⅰ）0.006；（Ⅱ）；（Ⅲ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）在频率分布直方图中，由频率总和即所有矩形面积之和为，可求；（Ⅱ）在频率分布直方图中先求出50名受访职工评分不低于80的频率为，由频率与概率关系可得该部门评分不低于80的概率的估计值为;（Ⅲ）受访职工评分在[50,60)的有3人，记为，受访职工评分在[40,50)的有2 人，记为，列出从这5人中选出两人所有基本事件，即可求相应的概率.
试题解析：（Ⅰ）因为，所以……..4分)
（Ⅱ）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为，
所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为………8分
（Ⅲ）受访职工评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3（人），即为;
受访职工评分在[40,50)的有： 50×0.004×40＝2（人），即为.
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是
又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即，故所求的概率为
考点：1.频率分布直方图；2.概率和频率的关系；3.古典概型.
本题考查频率分布直方图、概率与频率关系、古典概型，属中档题；利用频率分布直方图解题的时，注意其表达的意义，同时要理解频率是概率的估计值这一基础知识；在利用古典概型解题时，要注意列出所有的基本事件，千万不可出现重、漏的情况.
21、（1）（2）
【解析】
（1）代入求得，根据与的关系可求得，可知数列为等差数列，利用等差数列通项公式求得结果；验证后可得最终结果；（2）由（1）可得，采用裂项相消的方法求得，可知，从而得到的范围.
【详解】
（1）由题知：，……①
令得：，解得：
当时，……②
①-②得： ∴，即
是以为首项，为公差的等差数列
经验证满足

（2）由（1）知：

即
本题考查等差数列通项公式的求解、裂项相消法求和，关键是能够利用与的关系证得数列为等差数列，从而求得通项公式，属于常规题型.