北京市中央美术学院附属实验学校2024-2025学年数学高一下期末达标测试试题含解析.doc

北京市中央美术学院附属实验学校2024-2025学年数学高一下期末达标测试试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知圆的圆心为（-2,1），其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．若，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，则与( ).
A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向
4．若，，且与夹角为，则（ ）
A．3 B． C．2 D．
5．设，，均为正实数，则三个数，，( )
A．都大于2 B．都小于2
C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2
6．若直线与直线平行，则实数
A．0 B．1 C． D．
7．以分别表示等差数列的前项和，若，则的值为
A．7 B． C． D．
8．等比数列{an}中，Tn表示前n项的积，若T5＝1，则(　　)
A．a1＝1 B．a3＝1 C．a4＝1 D．a5＝1
9．在中，a、b分别为内角A、B的对边，如果，，，则（ ）
A． B． C． D．
10．某船从处向东偏北方向航行千米后到达处，然后朝西偏南的方向航行6千米到达处，则处与处之间的距离为（ ）
A．千米 B．千米 C．3千米 D．6千米
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知，，若，则________.
12．若直线l1：ax＋3y＋1＝0与l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0互相平行，则a的值为________．
13．函数的递增区间是__________.
14．在正方体中，是的中点，连接、，则异面直线、所成角的正弦值为_______.
15．已知实数满足条件，则的最大值是________.
16．设的内角，，所对的边分别为，，.已知，，如果解此三角形有且只有两个解，则的取值范围是_____．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．针对国家提出的延迟退休方案，某机构进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：

支持
保留
不支持
岁以下

岁以上（含岁）

(1)在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取个人，已知从持“不支持”态度的人中抽取了人，求的值；
(2)在接受调查的人中，有人给这项活动打出的分数如下：，，，，，，，，，，把这个人打出的分数看作一个总体，从中任取一个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过的概率．
18．如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为

（1）求的值； （2）求的值．
19．已知向量，．
（I）若，共线，求的值．
（II）若，求的值；
（III）当时，求与夹角的余弦值．
20．智能手机的出现，改变了我们的生活,同时也占用了我们大量的学习时间.某市教育机构从名手机使用者中随机抽取名，得到每天使用手机时间(单位：分钟)的频率分布直方图(如图所示),其分组是: ，.

（1）根据频率分布直方图，估计这名手机使用者中使用时间的中位数是多少分钟? (精确到整数)
（2）估计手机使用者平均每天使用手机多少分钟? (同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
（3）在抽取的名手机使用者中在和中按比例分别抽取人和人组成研究小组，然后再从研究小组中选出名组长.求这名组长分别选自和的概率是多少？
21．已知等差数列满足，的前项和为.
（1）求及；
（2）记，求
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
设直径的两个端点分别A（a，2）、B（2，b），圆心C为点（-1，1），由中点坐标公式得解得a=-4，b=1．∴半径r=∴圆的方程是：（x+1）1+（y-1）1=5，即x1+y1+4x-1y=2．
故选C．
2、A
【解析】
根据平面向量夹角公式可求得，结合的范围可求得结果.
【详解】
设与的夹角为
，又
故选：
本题考查平面向量夹角的求解问题，关键是熟练掌握两向量夹角公式，属于基础题.
3、A
【解析】
通过计算两个向量的数量积，然后再判断两个向量能否写成的形式，这样可以选出正确答案.
【详解】
因为，，所以，而不存在实数，使成立，因此与不共线，故本题选A.
本题考查了两个平面向量垂直的判断，考查了平面向量共线的判断，考查了数学运算能力.
4、B
【解析】
由题意利用两个向量数量积的定义，求得的值，再根据，计算求得结果．
【详解】
由题意若，，且与夹角为，可得，
.
故选：B．
本题考查向量数量积的定义、向量的模的方法，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不要错选成A答案.
5、D
【解析】
由题意得，
当且仅当时，等号成立，
所以至少有一个不小于，故选D.
6、B
【解析】
根据两直线的平行关系，列出方程，即可求解实数的值，得到答案．
【详解】
由题意，当时，显然两条直线不平行，所以；
由两条直线平行可得：，解得，
当时，直线方程分别为：，，显然平行，符合题意；
当时，直线方程分别为，，很显然两条直线重合，不合题意，舍去，
所以，故选B．
本题主要考查了两直线的位置关系的应用，其中解答中熟记两直线平行的条件，准去计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
7、B
【解析】
根据等差数列前n项和的性质，当n为奇数时，，即可把转化为求解.
【详解】
因为数列是等差数列，所以，故,选B.
本题主要考查了等差数列前n项和的性质，属于中档题.
8、B
【解析】
分析：由题意知，由此可知，所以一定有．
详解
， ．
故选B．
点睛：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．
9、A
【解析】
先求出再利用正弦定理求解即可.
【详解】
，，，
由正弦定理可得，
解得，
故选：A.
本题注意考查正弦定理的应用，属于中档题.正弦定理主要有三种应用：求边和角、边角互化、外接圆半径.
10、B
【解析】
通过余弦定理可得答案.
【详解】
设处与处之间的距离为千米，由余弦定理可得，则.
本题主要考查余弦定理的实际应用，难度不大.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
先算出的坐标，然后利用即可求出
【详解】
因为，
所以
因为，所以
即，解得
故答案为：
本题考查的是向量在坐标形式下的相关计算，较简单.
12、-3
【解析】
试题分析：由两直线平行可得：，经检验可知时两直线重合，所以．
考点：直线平行的判定．
13、；
【解析】
先利用辅助角公式对函数化简，由
可求解.
【详解】
函数，
由，
可得，
所以函数的单调增区间为.
故答案为：
本题考查了辅助角公式、正弦函数的图像与性质，需熟记公式与性质，属于基础题.
14、
【解析】
作出图形，设正方体的棱长为，取的中点，连接、，推导出，并证明出，可得出异面直线、所成的角为，并计算出、，可得出，进而得解.
【详解】
如下图所示，设正方体的棱长为，取的中点，连接、，
为的中点，则，，且，

为的中点，，，
在正方体中，且，则四边形为平行四边形，
，所以，异面直线、所成的角为，
在中，，，.
因此，异面直线、所成角的正弦值为.
故答案为：.
本题考查异面直线所成角的正弦值的计算，考查计算能力，属于中等题.
15、8
【解析】
画出满足约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义求解最大值即可.
【详解】
实数,满足条件的可行域如下图所示:

将目标函数变形为:,
则要求的最大值,即使直线的截距最大,
由图可知,直线过点时截距最大,
,
故答案为:8.
本题考查线性规划的简单应用,解题关键是明确目标函数的几何意义.
16、
【解析】
由余弦定理写出c与x的等式，再由有两个正解，解出x的取值范围
【详解】
根据余弦定理： 代入数据并整理有，有且仅有两个解，记为 则：

本题主要考查余弦定理以及韦达定理，属于中档题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)120;(2).
【解析】
（1）参与调查的总人数为20000，其中从持“不支持”态度的人数5000中抽取了30人，由此能求出n.（2）总体的平均数为9，与总体平均数之差的绝对值超过0.6的数有8.2,8.3,9.7，由此能求出任取1个数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率.
【详解】
（1）参与调查的总人数为8000+4000+2000+1000+2000+3000=20000,其中不支持态度的人数2000+3000=5000中抽取了30人，所以n=.
（2）总体的平均数
与总体平均数之差的绝对值超过0.6的数有8.2,8.3,9.7，所以任取一个数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率.
本题主要考查了样本容量的求法，分层抽样，用列举法求古典概型的概率，属于中档题.
18、（1）
（2）
【解析】
试题分析：（1）根据题意，由三角函数的定义可得 与的值，进而可得出与的值，从而可求与的值就，结合两角和正切公式可得答案；（2）由两角和的正切公式，可得出 的值，再根据的取值范围，可得出的取值范围，进而可得出的值.
由条件得cosα＝，cosβ＝.
∵ α，β为锐角，
∴ sinα＝＝，sinβ＝＝.
因此tanα＝＝7，tanβ＝＝.
(1) tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2) ∵ tan2β＝＝＝，
∴ tan(α＋2β)＝＝＝－1.
∵ α，β为锐角，∴ 0<α＋2β<，∴ α＋2β＝
19、（I）; （II）; （III）
【解析】
（1）根据题意，由向量平行的坐标公式可得﹣2x=4，解可得x的值，即可得答案；
（2）若，则有，结合向量数量积的坐标可得，即4x﹣2=0，解可得x的值，即可得答案；
（3）根据题意，由x的值可得的坐标，由向量的坐标计算公式可得、和的值，结合，计算可得答案．
解：（I）∵与共线，∴，
（II）∵，∴，∴
（III）∵，∵，，
∴，
又∵，
∴．
20、 (1) 分钟. (2)58分钟；(3)
【解析】
（1）根据中位数将频率二等分可直接求得结果；（2）每组数据中间值与对应小矩形的面积乘积的总和即为平均数；（3）采用列举法分别列出所有基本事件和符合题意的基本事件，根据古典概型概率公式求得结果.
【详解】
（1）设中位数为，则
解得：（分钟）
这名手机使用者中使用时间的中位数是分钟
（2）平均每天使用手机时间为：（分钟）
即手机使用者平均每天使用手机时间为分钟
（3）设在内抽取的两人分别为，在内抽取的三人分别为，
则从五人中选出两人共有以下种情况：

两名组长分别选自和的共有以下种情况：
所求概率
本题考查根据频率分布直方图计算平均数和中位数、古典概型概率问题的求解；关键是能够明确平均数和中位数的估算原理，从而计算得到结果；解决古典概型的常用方法为列举法，属于常考题型.
21、（1），（2）
【解析】
（1）利用等差数列的通项公式，结合，可以得到两个关于首项和公差的二元一次方程，解这个方程组即可求出首项和公差，最后利用等差数列的通项公式 和前项和公式求出及；
（2）利用裂项相消法可以求出.
【详解】
解：（1）设等差数列的公差为d,

（2）由（1）知：

本题考查了等差数列的通项公式和前项和公式，考查了裂项相消法求数列前项和，考查了数学运算能力.